13. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{3x}{x - 2} = \frac{m}{2 - x} + 5$ 的解为正数，求 $ m $ 的取值范围.

13. $m ＞ -10$ 且 $x ≠ -6$

【分析】
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的方程的解，再结合“解为正数”和“分式分母不为0（否则方程无意义）”两个限制条件，分别列不等式求解，最后综合两个不等式的结果就能得到m的取值范围。
【解析】
解：对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-2$（注意$x≠2$，否则原方程无意义），得：
$3x = -m + 5(x-2)$
展开并整理整式方程：
$3x = -m + 5x -10$
移项合并同类项：
$-2x = -m -10$
系数化为1，得：
$x = \frac{m+10}{2}$
因为原方程的解为正数，所以$x＞0$，即：
$\frac{m+10}{2} ＞ 0$
解得：$m ＞ -10$
又因为分母不能为0，即$x≠2$，所以：
$\frac{m+10}{2} ≠ 2$
解得：$m ≠ -6$
综上，m的取值范围是$m ＞ -10$且$m ≠ -6$。
【答案】
$m ＞ -10$且$m ≠ -6$
【知识点】
分式方程的解法、分式有意义的条件、一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，解题时容易遗漏分式分母不为0的隐含条件，仅得到$m＞-10$的不完整结果，求解此类问题时一定要注意验根。
【难度系数】
0.7

14. 某次知识竞赛共有 20 道题，每道题答对得 5 分，答错或不答都倒扣 3 分.
（1）如果小明考了 68 分，那么小明答对了几道题？
（2）小亮获得二等奖（70～90 分），请你算算小亮答对了几道题.

14. （1）16 （2）17 或 18

【分析】
（1）第一问可通过列一元一次方程求解：先设答对题数为未知数，用总题数减去答对题数表示答错或不答的题数，再根据“总得分=答对获得的分数-答错或不答扣掉的分数”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
（2）第二问属于范围类实际问题，可列一元一次不等式组求解：同样设答对题数为未知数，根据二等奖的得分范围列出关于总得分的不等式组，解不等式组后结合题数为正整数的实际要求，筛选出符合条件的整数解即可。
【解析】
（1）设小明答对了$x$道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
根据题意列方程：
$5x - 3(20 - x) = 68$
展开得：$5x - 60 + 3x = 68$
合并同类项得：$8x = 128$
解得：$x = 16$
（2）设小亮答对了$y$道题，则答错或不答的题数为$(20-y)$道，小亮的总得分是$5y - 3(20 - y)$分。
根据二等奖得分范围为70~90分，列不等式组：
$\begin{cases}5y - 3(20 - y) ≥ 70 \\5y - 3(20 - y) ≤ 90 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5y - 60 + 3y ≥ 70$
$8y ≥ 130$
$y ≥ 16.25$
解第二个不等式：
$5y - 60 + 3y ≤ 90$
$8y ≤ 150$
$y ≤ 18.75$
因为$y$为正整数，所以$y$可取17、18。
【答案】
（1）16；（2）17或18
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，实际问题整数解
【点评】
本题是典型的计分类实际应用问题，解题核心是理清得分和扣分的计算规则，列方程或不等式时不要漏算扣分，同时要注意题数为正整数的实际限制，最终解需要符合实际意义。
【难度系数】
0.7