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15. 如图所示,在菱形 ABCD 中,E,F 分别是边 AD,CD 上的点,连接 BE,BF,EF,且$∠ ABE=∠ CBF$.求证:$∠ BEF=∠ BFE$.
答案
15.证明:$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC,∠ A=∠ C.$
在$△ ABE$与$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ CBF,\end{cases}$ $\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BE=BF.\therefore∠ BEF=∠ BFE.$
在$△ ABE$与$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ CBF,\end{cases}$ $\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BE=BF.\therefore∠ BEF=∠ BFE.$
解析
【分析】
要证明∠BEF=∠BFE，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，只需证明BE=BF即可。观察图形可知BE、BF分别属于△ABE和△CBF，结合已知条件：四边形ABCD是菱形，可得到菱形邻边相等、对角相等的性质，即AB=BC、∠A=∠C，再加上题目给出的∠ABE=∠CBF，可通过ASA判定△ABE和△CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=BF，进而推导得出待证的角相等。
【解析】
证明:$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC,∠ A=∠ C.$
在$△ ABE$与$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ CBF,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BE=BF.$
$\therefore∠ BEF=∠ BFE.$
【答案】
证明:$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC,∠ A=∠ C.$
在$△ ABE$与$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ CBF,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BE=BF.$
$\therefore∠ BEF=∠ BFE.$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，侧重考查基础几何性质和判定的应用能力，解题核心是通过菱形的性质找到全等三角形的判定条件，再结合等腰三角形的性质完成推导，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要证明∠BEF=∠BFE，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，只需证明BE=BF即可。观察图形可知BE、BF分别属于△ABE和△CBF，结合已知条件：四边形ABCD是菱形，可得到菱形邻边相等、对角相等的性质，即AB=BC、∠A=∠C，再加上题目给出的∠ABE=∠CBF，可通过ASA判定△ABE和△CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=BF，进而推导得出待证的角相等。
【解析】
证明:$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC,∠ A=∠ C.$
在$△ ABE$与$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ CBF,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BE=BF.$
$\therefore∠ BEF=∠ BFE.$
【答案】
证明:$\because$四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=BC,∠ A=∠ C.$
在$△ ABE$与$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ CBF,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BE=BF.$
$\therefore∠ BEF=∠ BFE.$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，侧重考查基础几何性质和判定的应用能力，解题核心是通过菱形的性质找到全等三角形的判定条件，再结合等腰三角形的性质完成推导，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
16. 已知直角三角形的三边 $a,b,c$ 满足 $c＞a＞b$，分别以 $a,b,c$ 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图所示. 设三个正方形无重叠部分的面积为 $S_1$，均重叠部分的面积为 $S_2$，则 （
A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_1,S_2$ 的大小关系无法确定
第 16 题图
第 17 题图
C
）A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_1,S_2$ 的大小关系无法确定
第 16 题图
第 17 题图
答案
16.C
解析
【分析】
看到题目中直角三角形三边对应三个正方形的边长，首先想到利用勾股定理得到三个正方形面积的关系：$a^2+b^2=c^2$。接下来需要梳理$S_1$、$S_2$和三个正方形面积、大正方形面积的等量关系：先明确两个小正方形的面积和与大正方形内各部分面积的联系，再代入勾股定理的结论化简，即可推出$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵直角三角形三边长为$a,b,c$，由勾股定理可得：
$a^2+b^2=c^2$
根据图形的面积关系可知：两个小正方形的面积之和 = （大正方形面积 - 无重叠部分面积$S_1$） + 均重叠部分面积$S_2$，其中重叠部分$S_2$在两个小正方形面积中各被计算了1次，因此需要额外加1次$S_2$。
将面积代入上述关系得：
$a^2+b^2=(c^2 - S_1)+S_2$
把$a^2+b^2=c^2$代入上式：
$c^2=c^2 - S_1 + S_2$
两边同时减去$c^2$，化简得：
$0=-S_1+S_2$，即$S_1=S_2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积；面积和差关系
【点评】
本题不需要计算具体面积数值，核心是结合勾股定理梳理各部分面积的等量关系，通过代数化简即可得到结论，灵活考查了几何图形面积关系与勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.7
看到题目中直角三角形三边对应三个正方形的边长，首先想到利用勾股定理得到三个正方形面积的关系：$a^2+b^2=c^2$。接下来需要梳理$S_1$、$S_2$和三个正方形面积、大正方形面积的等量关系：先明确两个小正方形的面积和与大正方形内各部分面积的联系，再代入勾股定理的结论化简，即可推出$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵直角三角形三边长为$a,b,c$，由勾股定理可得：
$a^2+b^2=c^2$
根据图形的面积关系可知：两个小正方形的面积之和 = （大正方形面积 - 无重叠部分面积$S_1$） + 均重叠部分面积$S_2$，其中重叠部分$S_2$在两个小正方形面积中各被计算了1次，因此需要额外加1次$S_2$。
将面积代入上述关系得：
$a^2+b^2=(c^2 - S_1)+S_2$
把$a^2+b^2=c^2$代入上式：
$c^2=c^2 - S_1 + S_2$
两边同时减去$c^2$，化简得：
$0=-S_1+S_2$，即$S_1=S_2$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积；面积和差关系
【点评】
本题不需要计算具体面积数值，核心是结合勾股定理梳理各部分面积的等量关系，通过代数化简即可得到结论，灵活考查了几何图形面积关系与勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.7
17. 如图所示,在平面直角坐标系中,点$A_1,A_2,A_3,···$在$x$轴上,点$B_1,B_2,B_3,···$在直线$y=x$上,$△ OA_1B_1,△ B_1A_1A_2,△ B_2B_1A_2,△ B_2A_2A_3,△ B_3B_2A_3,···$都是等腰直角三角形.如果$OA_1=1$,那么点$B_{2025}$的坐标是 （
A.$(2^{2025},2^{2025})$
B.$(2^{2024},2^{2024})$
C.$(2^{2023},2^{2023})$
D.$(2^{2022},2^{2022})$
B
）A.$(2^{2025},2^{2025})$
B.$(2^{2024},2^{2024})$
C.$(2^{2023},2^{2023})$
D.$(2^{2022},2^{2022})$
答案
17.B
解析
【分析】
首先，直线$y=x$上的点横、纵坐标相等，且该直线与x轴夹角为$45°$，结合等腰直角三角形两直角边相等的性质，我们可以从已知$OA_1=1$入手，先计算前几个$B$点的坐标，总结坐标与下标之间的规律，再代入$n=2025$求解即可。
【解析】
解：$\because$点$B_1,B_2,B_3,\dots$在直线$y=x$上，$\therefore$直线$y=x$与x轴夹角为$45°$，所有点$B_n$的横坐标和纵坐标相等。
已知$OA_1=1$，$△ OA_1B_1$是等腰直角三角形，$\therefore A_1B_1=OA_1=1$，即$B_1$的横坐标为1，纵坐标为1，$\therefore B_1(1,1)=(2^0,2^0)$；
$\because△ B_1A_1A_2$是等腰直角三角形，$\therefore A_1A_2=A_1B_1=1$，$\therefore OA_2=OA_1+A_1A_2=1+1=2$，又$△ B_2B_1A_2$是等腰直角三角形，$\therefore B_2$的横坐标为2，纵坐标为2，即$B_2(2,2)=(2^1,2^1)$；
同理，$△ B_2A_2A_3$是等腰直角三角形，$A_2A_3=A_2B_2=2$，$OA_3=2+2=4$，$\therefore B_3(4,4)=(2^2,2^2)$；
以此类推，可得$B_n$的坐标为$(2^{n-1},2^{n-1})$；
当$n=2025$时，$2^{2025-1}=2^{2024}$，$\therefore B_{2025}$的坐标为$(2^{2024},2^{2024})$。
【答案】B
【知识点】
一次函数图象性质，等腰直角三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题是结合一次函数的规律探究题，解题核心是从简单情况入手，先求出前几个点的坐标，再归纳出通用规律，最后代入所求下标计算即可，解题时要注意坐标的指数和点的下标之间的对应关系，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.65
首先，直线$y=x$上的点横、纵坐标相等，且该直线与x轴夹角为$45°$，结合等腰直角三角形两直角边相等的性质，我们可以从已知$OA_1=1$入手，先计算前几个$B$点的坐标，总结坐标与下标之间的规律，再代入$n=2025$求解即可。
【解析】
解：$\because$点$B_1,B_2,B_3,\dots$在直线$y=x$上，$\therefore$直线$y=x$与x轴夹角为$45°$，所有点$B_n$的横坐标和纵坐标相等。
已知$OA_1=1$，$△ OA_1B_1$是等腰直角三角形，$\therefore A_1B_1=OA_1=1$，即$B_1$的横坐标为1，纵坐标为1，$\therefore B_1(1,1)=(2^0,2^0)$；
$\because△ B_1A_1A_2$是等腰直角三角形，$\therefore A_1A_2=A_1B_1=1$，$\therefore OA_2=OA_1+A_1A_2=1+1=2$，又$△ B_2B_1A_2$是等腰直角三角形，$\therefore B_2$的横坐标为2，纵坐标为2，即$B_2(2,2)=(2^1,2^1)$；
同理，$△ B_2A_2A_3$是等腰直角三角形，$A_2A_3=A_2B_2=2$，$OA_3=2+2=4$，$\therefore B_3(4,4)=(2^2,2^2)$；
以此类推，可得$B_n$的坐标为$(2^{n-1},2^{n-1})$；
当$n=2025$时，$2^{2025-1}=2^{2024}$，$\therefore B_{2025}$的坐标为$(2^{2024},2^{2024})$。
【答案】B
【知识点】
一次函数图象性质，等腰直角三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题是结合一次函数的规律探究题，解题核心是从简单情况入手，先求出前几个点的坐标，再归纳出通用规律，最后代入所求下标计算即可，解题时要注意坐标的指数和点的下标之间的对应关系，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.65
