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18. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图(1)所示. 小球滚动过程中的速度$y$(单位：m/s)与时间$x$(单位：s)之间的关系如图(2)所示.
(1)求$AB$所在直线的函数解析式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时间.
(1)求$AB$所在直线的函数解析式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时间.
答案
18.解:(1)设$OA$所在直线的函数解析式为$y=kx(k≠0),\therefore k=2.$
$\therefore OA$所在直线的函数解析式为$y=2x.$ $\therefore A$点的坐标为$(2,4).$
设$AB$所在直线的函数解析式为$y=mx+b(m≠0)$,
得$\begin{cases}4=2m+b,\\2=3.5m+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{20}{3},\end{cases}$ $\therefore y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}.$
$\therefore AB$所在直线的函数解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}.$
(2)当$y=0$时,$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$,解得$x=5. \therefore 5-2=3(\mathrm{s}).$
$\therefore$该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时间为3 s.
$\therefore OA$所在直线的函数解析式为$y=2x.$ $\therefore A$点的坐标为$(2,4).$
设$AB$所在直线的函数解析式为$y=mx+b(m≠0)$,
得$\begin{cases}4=2m+b,\\2=3.5m+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{20}{3},\end{cases}$ $\therefore y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}.$
$\therefore AB$所在直线的函数解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}.$
(2)当$y=0$时,$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$,解得$x=5. \therefore 5-2=3(\mathrm{s}).$
$\therefore$该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时间为3 s.
解析
【分析】
(1) 求AB所在直线的解析式需先确定直线上两个点的坐标：首先观察OA段是过原点的直线，已知x=1时y=2，可先求出OA的解析式，得到速度最大的A点坐标（A点对应小球到达斜面底端的时刻），再结合AB段已知的点(3.5,2)，用待定系数法设一次函数解析式为y=mx+b，代入两点坐标解二元一次方程组即可求解。
(2) 小球从斜面底端开始滚动的时刻对应A点的横坐标2s，停止时速度为0，将y=0代入AB的解析式求出对应的总时间，减去2s就是斜面底端到停止的用时。
【解析】
(1) 设OA所在直线的函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(1,2)$代入得$2=k×1$，解得$k=2$，因此OA的解析式为$y=2x$。
当$x=2$时，$y=2×2=4$，即A点坐标为$(2,4)$。
设AB所在直线的函数解析式为$y=mx+b(m≠0)$，将$A(2,4)$和点$(3.5,2)$代入得：
$\begin{cases}4=2m+b\\2=3.5m+b\end{cases}$
两式相减消去b得：$-2=1.5m$，解得$m=-\dfrac{4}{3}$，
将$m=-\dfrac{4}{3}$代入$4=2m+b$，解得$b=\dfrac{20}{3}$，
因此AB所在直线的函数解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$。
(2) 小球停止时速度为0，将$y=0$代入AB的解析式：
$0=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$，解得$x=5$，
小球到达斜面底端的时刻为2s，因此所求时间为$5-2=3(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$；(2) $\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图像与坐标轴交点
【点评】
本题结合运动情境考查一次函数的应用，解题关键是从速度-时间图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再结合实际意义计算所求量，计算时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 求AB所在直线的解析式需先确定直线上两个点的坐标：首先观察OA段是过原点的直线，已知x=1时y=2，可先求出OA的解析式，得到速度最大的A点坐标（A点对应小球到达斜面底端的时刻），再结合AB段已知的点(3.5,2)，用待定系数法设一次函数解析式为y=mx+b，代入两点坐标解二元一次方程组即可求解。
(2) 小球从斜面底端开始滚动的时刻对应A点的横坐标2s，停止时速度为0，将y=0代入AB的解析式求出对应的总时间，减去2s就是斜面底端到停止的用时。
【解析】
(1) 设OA所在直线的函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(1,2)$代入得$2=k×1$，解得$k=2$，因此OA的解析式为$y=2x$。
当$x=2$时，$y=2×2=4$，即A点坐标为$(2,4)$。
设AB所在直线的函数解析式为$y=mx+b(m≠0)$，将$A(2,4)$和点$(3.5,2)$代入得：
$\begin{cases}4=2m+b\\2=3.5m+b\end{cases}$
两式相减消去b得：$-2=1.5m$，解得$m=-\dfrac{4}{3}$，
将$m=-\dfrac{4}{3}$代入$4=2m+b$，解得$b=\dfrac{20}{3}$，
因此AB所在直线的函数解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$。
(2) 小球停止时速度为0，将$y=0$代入AB的解析式：
$0=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$，解得$x=5$，
小球到达斜面底端的时刻为2s，因此所求时间为$5-2=3(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$；(2) $\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图像与坐标轴交点
【点评】
本题结合运动情境考查一次函数的应用，解题关键是从速度-时间图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再结合实际意义计算所求量，计算时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
19. 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 $ABCD$ 进行测量规划. 如图所示，点 $E,F$ 处是它的两个门，且 $DE=CF$，要修建两条直路 $AF,BE$，$AF$ 与 $BE$ 相交于点 $O$（两个门 $E,F$ 的大小忽略不计）.
(1)这两条路是否等长？它们有什么位置关系？请说明理由.
(2)同学们测得 $AD=4\ \mathrm{m}$，$AE=3\ \mathrm{m}$，根据实际需要，某小组同学想在四边形地面 $OBCF$ 上再修一条 $2.5\ \mathrm{m}$ 长的直路，这条直路的一端在门 $F$ 处，另一端 $P$ 在已经修建好的路段 $OB$ 或花园的边界 $BC$ 上，并且另一端 $P$ 与点 $B$ 处的距离不小于 $1.5\ \mathrm{m}$. 请问：能否修建成这样的直路？若能，能修建几条？并说明理由.
(1)这两条路是否等长？它们有什么位置关系？请说明理由.
(2)同学们测得 $AD=4\ \mathrm{m}$，$AE=3\ \mathrm{m}$，根据实际需要，某小组同学想在四边形地面 $OBCF$ 上再修一条 $2.5\ \mathrm{m}$ 长的直路，这条直路的一端在门 $F$ 处，另一端 $P$ 在已经修建好的路段 $OB$ 或花园的边界 $BC$ 上，并且另一端 $P$ 与点 $B$ 处的距离不小于 $1.5\ \mathrm{m}$. 请问：能否修建成这样的直路？若能，能修建几条？并说明理由.
答案
19.解:(1)两条路等长;它们的位置关系是互相垂直.理由如下:
$\because$四边形$ABCD$是正方形,$\therefore BA=AD=CD,∠ BAE=∠ D=90°.$
$\because DE=CF,\therefore AD-DE=CD-CF.\therefore AE=DF.$
在$△ BAE$和$△ ADF$中,$\begin{cases}BA=AD,\\∠ BAE=∠ D=90°,\\AE=DF,\end{cases}$$\therefore△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AF,∠ ABE=∠ DAF.$
$\because∠ BAE=∠ BAO+∠ DAF=90°,\therefore∠ BAO+∠ ABE=90°.$
在$△ AOB$中,$∠ AOB=180°-(∠ BAO+∠ ABO)=90°,$
$\therefore AF⊥ BE. \therefore$道路$AF$与$BE$等长,且它们相互垂直.
(2)能建成一条这样的直路,且点$P$在边界$BC$上.理由如下:
$\because AD=AB=CD=4\ \mathrm{m},AE=3\ \mathrm{m},\therefore DE=CF=1\ \mathrm{m}.$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m}).$
由(1),得$AF=BE=5\ \mathrm{m},AF⊥ BE,$
$\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}BE· OA=\dfrac{1}{2}AB· AE.$
$\therefore OA=\dfrac{AB· AE}{BE}=\dfrac{4×3}{5}=2.4(\mathrm{m}).\therefore OF=AF-OA=5-2.4=2.6(\mathrm{m}).$
根据“垂线段最短”,得点$F$到路段$OB$的最短距离为2.6 m,
$\therefore$路段$OB$上不存在点$P$,使点$P$到点$F$的距离等于2.5 m. $\therefore$点$P$不在路段$OB$上.
设点$P$在边界$BC$上.
解法一:在$\mathrm{Rt}△ PCF$中,由勾股定理,得$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}(\mathrm{m}),$
$\therefore BP=BC-PC=(4-\dfrac{\sqrt{21}}{2})\ \mathrm{m}.$
$\because 4-\dfrac{\sqrt{21}}{2}＞1.5,\therefore$点$P$符合题意.
解法二:在$\mathrm{Rt}△ PCF$中,$PF$是斜边,且$PF=2.5\ \mathrm{m},\therefore CP＜PF=2.5\ \mathrm{m}.$
$\because BP=BC-PC=4-PC,\therefore 4-PC＞1.5. \therefore$点$P$符合题意,即能建成一条这样的直路.
$\because$四边形$ABCD$是正方形,$\therefore BA=AD=CD,∠ BAE=∠ D=90°.$
$\because DE=CF,\therefore AD-DE=CD-CF.\therefore AE=DF.$
在$△ BAE$和$△ ADF$中,$\begin{cases}BA=AD,\\∠ BAE=∠ D=90°,\\AE=DF,\end{cases}$$\therefore△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AF,∠ ABE=∠ DAF.$
$\because∠ BAE=∠ BAO+∠ DAF=90°,\therefore∠ BAO+∠ ABE=90°.$
在$△ AOB$中,$∠ AOB=180°-(∠ BAO+∠ ABO)=90°,$
$\therefore AF⊥ BE. \therefore$道路$AF$与$BE$等长,且它们相互垂直.
(2)能建成一条这样的直路,且点$P$在边界$BC$上.理由如下:
$\because AD=AB=CD=4\ \mathrm{m},AE=3\ \mathrm{m},\therefore DE=CF=1\ \mathrm{m}.$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m}).$
由(1),得$AF=BE=5\ \mathrm{m},AF⊥ BE,$
$\therefore S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}BE· OA=\dfrac{1}{2}AB· AE.$
$\therefore OA=\dfrac{AB· AE}{BE}=\dfrac{4×3}{5}=2.4(\mathrm{m}).\therefore OF=AF-OA=5-2.4=2.6(\mathrm{m}).$
根据“垂线段最短”,得点$F$到路段$OB$的最短距离为2.6 m,
$\therefore$路段$OB$上不存在点$P$,使点$P$到点$F$的距离等于2.5 m. $\therefore$点$P$不在路段$OB$上.
设点$P$在边界$BC$上.
解法一:在$\mathrm{Rt}△ PCF$中,由勾股定理,得$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}(\mathrm{m}),$
$\therefore BP=BC-PC=(4-\dfrac{\sqrt{21}}{2})\ \mathrm{m}.$
$\because 4-\dfrac{\sqrt{21}}{2}＞1.5,\therefore$点$P$符合题意.
解法二:在$\mathrm{Rt}△ PCF$中,$PF$是斜边,且$PF=2.5\ \mathrm{m},\therefore CP＜PF=2.5\ \mathrm{m}.$
$\because BP=BC-PC=4-PC,\therefore 4-PC＞1.5. \therefore$点$P$符合题意,即能建成一条这样的直路.
解析
【分析】
(1)判断AF和BE的数量与位置关系，可借助正方形的性质构造全等三角形：正方形内角均为90°、邻边相等，结合已知DE=CF可推得AE=DF，证明△BAE≌△ADF即可得到两条线段相等，再通过角的等量代换推导两条线段的夹角为90°，即可得到垂直关系。
(2)先计算各已知线段长度，分两类讨论点P的位置：①若P在OB段，利用等面积法求出点A到BE的距离，进而得到点F到BE的最短距离，与2.5m比较判断是否存在符合条件的点；②若P在BC段，利用勾股定理计算PC的长度，再推导BP的长度，验证是否满足BP≥1.5m的要求，最终确定符合条件的直路数量。
【解析】
(1)两条路等长，且互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°。
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF。
在△BAE和△ADF中，
$\begin{cases}BA=AD\\∠BAE=∠D=90°\\AE=DF\end{cases}$
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF。
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，
∴∠BAO+∠ABE=90°，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABO)=90°，
∴AF⊥BE，即道路AF与BE等长且互相垂直。
(2)能建成1条这样的直路，且点P在边界BC上，理由如下：
∵AD=AB=CD=4m，AE=3m，
∴DE=CF=4-3=1m。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(m)$，
由(1)得AF=BE=5m，AF⊥BE，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{4×3}{5}=2.4(m)$，
∴OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)。
根据垂线段最短可知，点F到路段OB的最短距离为2.6m＞2.5m，因此路段OB上不存在点P使得PF=2.5m，即点P不在OB上。
设点P在边界BC上，在Rt△PCF中，由勾股定理得：$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∴$BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$，满足BP≥1.5m的要求，因此该点P符合题意。
综上，能修建1条符合要求的直路。
【答案】
(1)AF与BE等长，且互相垂直；
(2)能修建成这样的直路，共能修建1条。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际应用场景考查几何综合知识，既需要熟练掌握全等三角形、正方形、勾股定理等基础知识点，也需要具备分类讨论的思维，结合实际条件筛选符合要求的情况，能够有效提升逻辑推理和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
(1)判断AF和BE的数量与位置关系，可借助正方形的性质构造全等三角形：正方形内角均为90°、邻边相等，结合已知DE=CF可推得AE=DF，证明△BAE≌△ADF即可得到两条线段相等，再通过角的等量代换推导两条线段的夹角为90°，即可得到垂直关系。
(2)先计算各已知线段长度，分两类讨论点P的位置：①若P在OB段，利用等面积法求出点A到BE的距离，进而得到点F到BE的最短距离，与2.5m比较判断是否存在符合条件的点；②若P在BC段，利用勾股定理计算PC的长度，再推导BP的长度，验证是否满足BP≥1.5m的要求，最终确定符合条件的直路数量。
【解析】
(1)两条路等长，且互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°。
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF。
在△BAE和△ADF中，
$\begin{cases}BA=AD\\∠BAE=∠D=90°\\AE=DF\end{cases}$
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF。
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，
∴∠BAO+∠ABE=90°，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABO)=90°，
∴AF⊥BE，即道路AF与BE等长且互相垂直。
(2)能建成1条这样的直路，且点P在边界BC上，理由如下：
∵AD=AB=CD=4m，AE=3m，
∴DE=CF=4-3=1m。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(m)$，
由(1)得AF=BE=5m，AF⊥BE，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{4×3}{5}=2.4(m)$，
∴OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)。
根据垂线段最短可知，点F到路段OB的最短距离为2.6m＞2.5m，因此路段OB上不存在点P使得PF=2.5m，即点P不在OB上。
设点P在边界BC上，在Rt△PCF中，由勾股定理得：$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∴$BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}(m)$，
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$，满足BP≥1.5m的要求，因此该点P符合题意。
综上，能修建1条符合要求的直路。
【答案】
(1)AF与BE等长，且互相垂直；
(2)能修建成这样的直路，共能修建1条。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际应用场景考查几何综合知识，既需要熟练掌握全等三角形、正方形、勾股定理等基础知识点，也需要具备分类讨论的思维，结合实际条件筛选符合要求的情况，能够有效提升逻辑推理和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
