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20. 某商场购进足球和篮球共 60 个，篮球的数量不少于足球的 2 倍，付款总额不超过 4 500 元. 已知篮球和足球的进价分别为 80 元/个、50 元/个，售价分别为 120 元/个、100 元/个. 现购进 $ x $（$ x $ 为整数）个篮球.
(1) 求付款总额 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式，并求出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？
(3) 若足球的进价涨了 $ m(m＞0) $ 元/个，售价不变，将这 60 个球全部售出能获得的最大利润是 2 550 元，求 $ m $ 的值.
(1) 求付款总额 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式，并求出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？
(3) 若足球的进价涨了 $ m(m＞0) $ 元/个，售价不变，将这 60 个球全部售出能获得的最大利润是 2 550 元，求 $ m $ 的值.
答案
20.解:(1)根据题意,得$y=80x+50(60-x)=30x+3\ 000.$
$\because$篮球的数量不少于足球的2倍,付款总额不超过4 500元,
$\therefore\begin{cases}x≥2(60-x),\\30x+3\ 000≤4\ 500,\end{cases}$ 解得$40≤ x≤50.$
$\therefore$付款总额$y$与$x$之间的函数解析式为$y=30x+3\ 000$,自变量$x$的取值范围为$40≤ x≤50.$
(2)设商场将足球和篮球全部售出获得的利润为$w$元,
根据题意,得$w=(120-80)x+(100-50)(60-x)=40x+3\ 000-50x=-10x+3\ 000.$
$\because-10＜0,40≤ x≤50,$
$\therefore$当$x=40$时,$w$有最大值,最大值为$-10×40+3\ 000=2\ 600.$
$\therefore$该商场将足球和篮球全部售出,能获得的最大利润是2 600元.
(3)根据题意,得$w=(120-80)x+(100-50-m)(60-x)=40x+3\ 000-50x-60m+mx=(m-10)x+3\ 000-60m,$
当$m-10=0$,即$m=10$时,由题意,可知不成立;
当$m-10＞0$,即$m＞10$时,
当$x=50$时,$w$最大,即$50(m-10)+3\ 000-60m=2\ 550$,解得$m=-5$(不成立,舍去);
当$m-10＜0$,即$m＜10$时,
当$x=40$时,$w$最大,即$40(m-10)+3\ 000-60m=2\ 550$,解得$m=2.5,$
$\therefore m=2.5.$
$\because$篮球的数量不少于足球的2倍,付款总额不超过4 500元,
$\therefore\begin{cases}x≥2(60-x),\\30x+3\ 000≤4\ 500,\end{cases}$ 解得$40≤ x≤50.$
$\therefore$付款总额$y$与$x$之间的函数解析式为$y=30x+3\ 000$,自变量$x$的取值范围为$40≤ x≤50.$
(2)设商场将足球和篮球全部售出获得的利润为$w$元,
根据题意,得$w=(120-80)x+(100-50)(60-x)=40x+3\ 000-50x=-10x+3\ 000.$
$\because-10＜0,40≤ x≤50,$
$\therefore$当$x=40$时,$w$有最大值,最大值为$-10×40+3\ 000=2\ 600.$
$\therefore$该商场将足球和篮球全部售出,能获得的最大利润是2 600元.
(3)根据题意,得$w=(120-80)x+(100-50-m)(60-x)=40x+3\ 000-50x-60m+mx=(m-10)x+3\ 000-60m,$
当$m-10=0$,即$m=10$时,由题意,可知不成立;
当$m-10＞0$,即$m＞10$时,
当$x=50$时,$w$最大,即$50(m-10)+3\ 000-60m=2\ 550$,解得$m=-5$(不成立,舍去);
当$m-10＜0$,即$m＜10$时,
当$x=40$时,$w$最大,即$40(m-10)+3\ 000-60m=2\ 550$,解得$m=2.5,$
$\therefore m=2.5.$
解析
【分析】
本题是一次函数与一元一次不等式组结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 付款总额为篮球总进价与足球总进价之和，据此列y关于x的函数解析式；再根据“篮球数量不少于足球的2倍”“付款总额不超过4500元”两个限制条件列一元一次不等式组，解不等式组即可得到自变量x的取值范围。
(2) 总利润为篮球总利润与足球总利润之和，列利润w关于x的函数解析式，结合一次函数的增减性和x的取值范围，即可求出最大利润。
(3) 足球进价上涨m元后，重新计算足球单利，列新的利润w关于x的函数解析式，因一次项系数含参数m，需分一次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论函数增减性，结合最大利润为2550元求解m，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 已知购进x个篮球，则购进足球$(60-x)$个，根据付款总额的计算规则可得：
$y=80x+50(60-x)=30x+3000$
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥2(60-x)\\30x+3000≤4500\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥40$，解第二个不等式得$x≤50$，因此自变量x的取值范围为$40≤x≤50$（x为整数）。
(2) 设总利润为w元，篮球单利为$120-80=40$元，足球单利为$100-50=50$元，因此：
$w=40x+50(60-x)=-10x+3000$
$\because -10＜0$，$\therefore w$随x的增大而减小，结合$40≤x≤50$，当$x=40$时w取得最大值：
$w_{max}=-10×40+3000=2600$元。
(3) 足球进价上涨m元后，足球单利为$100-(50+m)=50-m$元，此时总利润：
$w=40x+(50-m)(60-x)=(m-10)x+3000-60m$
分情况讨论：
① 当$m-10=0$即$m=10$时，$w=2400≠2550$，不符合题意，舍去；
② 当$m-10＞0$即$m＞10$时，w随x增大而增大，x取最大值50时w最大，代入得：
$50(m-10)+3000-60m=2550$，解得$m=-5$，不符合$m＞0$的条件，舍去；
③ 当$m-10＜0$即$m＜10$时，w随x增大而减小，x取最小值40时w最大，代入得：
$40(m-10)+3000-60m=2550$，解得$m=2.5$，符合题意。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=30x+3000}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{40≤x≤50}$（x为整数）；
(2) 能获得的最大利润是$\boldsymbol{2600}$元；
(3) m的值为$\boldsymbol{2.5}$。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质
【点评】
本题将函数、不等式组和分类讨论思想结合考查，既要求学生能准确根据题意列函数关系式与不等式组，也需要熟练掌握一次函数增减性的应用，第三问的参数讨论是易错点，解题时要注意结合参数取值范围判断函数增减性，及时舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数与一元一次不等式组结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 付款总额为篮球总进价与足球总进价之和，据此列y关于x的函数解析式；再根据“篮球数量不少于足球的2倍”“付款总额不超过4500元”两个限制条件列一元一次不等式组，解不等式组即可得到自变量x的取值范围。
(2) 总利润为篮球总利润与足球总利润之和，列利润w关于x的函数解析式，结合一次函数的增减性和x的取值范围，即可求出最大利润。
(3) 足球进价上涨m元后，重新计算足球单利，列新的利润w关于x的函数解析式，因一次项系数含参数m，需分一次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论函数增减性，结合最大利润为2550元求解m，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 已知购进x个篮球，则购进足球$(60-x)$个，根据付款总额的计算规则可得：
$y=80x+50(60-x)=30x+3000$
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥2(60-x)\\30x+3000≤4500\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥40$，解第二个不等式得$x≤50$，因此自变量x的取值范围为$40≤x≤50$（x为整数）。
(2) 设总利润为w元，篮球单利为$120-80=40$元，足球单利为$100-50=50$元，因此：
$w=40x+50(60-x)=-10x+3000$
$\because -10＜0$，$\therefore w$随x的增大而减小，结合$40≤x≤50$，当$x=40$时w取得最大值：
$w_{max}=-10×40+3000=2600$元。
(3) 足球进价上涨m元后，足球单利为$100-(50+m)=50-m$元，此时总利润：
$w=40x+(50-m)(60-x)=(m-10)x+3000-60m$
分情况讨论：
① 当$m-10=0$即$m=10$时，$w=2400≠2550$，不符合题意，舍去；
② 当$m-10＞0$即$m＞10$时，w随x增大而增大，x取最大值50时w最大，代入得：
$50(m-10)+3000-60m=2550$，解得$m=-5$，不符合$m＞0$的条件，舍去；
③ 当$m-10＜0$即$m＜10$时，w随x增大而减小，x取最小值40时w最大，代入得：
$40(m-10)+3000-60m=2550$，解得$m=2.5$，符合题意。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=30x+3000}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{40≤x≤50}$（x为整数）；
(2) 能获得的最大利润是$\boldsymbol{2600}$元；
(3) m的值为$\boldsymbol{2.5}$。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质
【点评】
本题将函数、不等式组和分类讨论思想结合考查，既要求学生能准确根据题意列函数关系式与不等式组，也需要熟练掌握一次函数增减性的应用，第三问的参数讨论是易错点，解题时要注意结合参数取值范围判断函数增减性，及时舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
21. 如图所示,在正方形 ABCD 中,G 是对角线 CA 的延长线上的点,以线段 AG 为边作正方形 AEFG,连接 BE,与边 AD 交于点 P,连接 DG,与 BE 交于点 H.
(1)求证:$BE=DG$;
(2)判断 BE 与 DG 的位置关系,并说明理由;
(3)若$AB=2\sqrt{2},AG=2$,求 DG 的长.
(1)求证:$BE=DG$;
(2)判断 BE 与 DG 的位置关系,并说明理由;
(3)若$AB=2\sqrt{2},AG=2$,求 DG 的长.
答案
21.(1)证明:$\because$四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形,
$\therefore AB=AD,AE=AG,∠ BAD=∠ EAG=90°.$
$\therefore∠ BAD+∠ EAD=∠ EAG+∠ EAD$,即$∠ BAE=∠ DAG.$
在$△ BEA$和$△ DGA$中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAG,\\AE=AG,\end{cases}$
$\therefore△ BEA≌△ DGA(\mathrm{SAS}). \therefore BE=DG.$
(2)解:$BE⊥ DG$.理由如下:
由(1),知$∠ BAD=90°,△ BEA≌△ DGA,\therefore∠ ABE=∠ ADG.$
$\because∠ DAB=90°,\therefore∠ ABE+∠ BPA=90°.$
$\because∠ BPA=∠ DPH,\therefore∠ ADG+∠ DPH=90°.$
$\therefore∠ DHP=90°.\therefore BE⊥ DG.$
(3)解:如图所示,过点$G$作$GM⊥ DA$,交$DA$的延长线于点$M$.
由题意,可得$∠ DAC=45°,\therefore∠ GAM=∠ DAC=45°.$
$\because GM⊥ DA,\therefore∠ AMG=90°.$
$\therefore∠ AGM=180°-∠ AMG-∠ GAM=180°-90°-45°=45°.$
$\therefore AM=GM. \therefore△ AGM$是等腰直角三角形.
$\because AG^2=AM^2+GM^2=2^2,\therefore AM=GM=\sqrt{2}$(负值舍去).
$\because AB=2\sqrt{2},\therefore AD=AB=2\sqrt{2}.\therefore DM=AD+AM=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$
$\therefore DG=\sqrt{DM^2+GM^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}.$
解析
【分析】
(1)要证线段相等，优先考虑证明线段所在三角形全等。结合正方形邻边相等、内角为90°的性质，可得到△BEA和△DGA的两组对应边相等，再通过角的和差关系得到两组边的夹角相等，用SAS即可证明三角形全等，从而得到BE=DG。
(2)判断两条线段的位置关系，常见为垂直或平行。结合(1)的全等结论可得对应角∠ABE=∠ADG，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，可推导得到∠DHP=90°，即可得到BE与DG垂直的关系。
(3)求线段长度通常借助勾股定理，因此需要构造包含DG的直角三角形。过G作DA延长线的垂线，利用正方形对角线与边的夹角为45°，可得构造的△AGM为等腰直角三角形，先求出该三角形的直角边长，再得到Rt△DGM的两条直角边长，最后用勾股定理计算DG的长度即可。
【解析】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形，
$\therefore AB=AD,AE=AG,∠ BAD=∠ EAG=90°.$
$\therefore∠ BAD+∠ EAD=∠ EAG+∠ EAD$，即$∠ BAE=∠ DAG.$
在$△ BEA$和$△ DGA$中，$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAG,\\AE=AG,\end{cases}$
$\therefore△ BEA≌△ DGA(\mathrm{SAS}). \therefore BE=DG.$
(2)解：$BE⊥ DG$。理由如下：
由(1)知$△ BEA≌△ DGA,\therefore∠ ABE=∠ ADG.$
$\because∠ DAB=90°,\therefore∠ ABE+∠ BPA=90°.$
$\because∠ BPA=∠ DPH,\therefore∠ ADG+∠ DPH=90°.$
$\therefore∠ DHP=90°.\therefore BE⊥ DG.$
(3)解：如图所示，过点$G$作$GM⊥ DA$，交$DA$的延长线于点$M$.
由题意，可得$∠ DAC=45°,\therefore∠ GAM=∠ DAC=45°.$
$\because GM⊥ DA,\therefore∠ AMG=90°.$
$\therefore∠ AGM=180°-∠ AMG-∠ GAM=180°-90°-45°=45°.$
$\therefore AM=GM. \therefore△ AGM$是等腰直角三角形.
$\because AG^2=AM^2+GM^2=2^2,\therefore AM=GM=\sqrt{2}$(负值舍去).
$\because AB=2\sqrt{2},\therefore AD=AB=2\sqrt{2}.\therefore DM=AD+AM=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$
$\therefore DG=\sqrt{DM^2+GM^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}.$
【答案】
(1)$BE=DG$，证明成立；
(2)$BE⊥ DG$；
(3)$DG$的长为$2\sqrt{5}$，辅助线参考。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的几何综合题，前两问依托全等三角形的判定和性质考查几何推理能力，第三问通过构造直角三角形结合勾股定理求解线段长度，辅助线的构造是解题的关键，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证线段相等，优先考虑证明线段所在三角形全等。结合正方形邻边相等、内角为90°的性质，可得到△BEA和△DGA的两组对应边相等，再通过角的和差关系得到两组边的夹角相等，用SAS即可证明三角形全等，从而得到BE=DG。
(2)判断两条线段的位置关系，常见为垂直或平行。结合(1)的全等结论可得对应角∠ABE=∠ADG，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，可推导得到∠DHP=90°，即可得到BE与DG垂直的关系。
(3)求线段长度通常借助勾股定理，因此需要构造包含DG的直角三角形。过G作DA延长线的垂线，利用正方形对角线与边的夹角为45°，可得构造的△AGM为等腰直角三角形，先求出该三角形的直角边长，再得到Rt△DGM的两条直角边长，最后用勾股定理计算DG的长度即可。
【解析】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形，
$\therefore AB=AD,AE=AG,∠ BAD=∠ EAG=90°.$
$\therefore∠ BAD+∠ EAD=∠ EAG+∠ EAD$，即$∠ BAE=∠ DAG.$
在$△ BEA$和$△ DGA$中，$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAG,\\AE=AG,\end{cases}$
$\therefore△ BEA≌△ DGA(\mathrm{SAS}). \therefore BE=DG.$
(2)解：$BE⊥ DG$。理由如下：
由(1)知$△ BEA≌△ DGA,\therefore∠ ABE=∠ ADG.$
$\because∠ DAB=90°,\therefore∠ ABE+∠ BPA=90°.$
$\because∠ BPA=∠ DPH,\therefore∠ ADG+∠ DPH=90°.$
$\therefore∠ DHP=90°.\therefore BE⊥ DG.$
(3)解：如图所示，过点$G$作$GM⊥ DA$，交$DA$的延长线于点$M$.
由题意，可得$∠ DAC=45°,\therefore∠ GAM=∠ DAC=45°.$
$\because GM⊥ DA,\therefore∠ AMG=90°.$
$\therefore∠ AGM=180°-∠ AMG-∠ GAM=180°-90°-45°=45°.$
$\therefore AM=GM. \therefore△ AGM$是等腰直角三角形.
$\because AG^2=AM^2+GM^2=2^2,\therefore AM=GM=\sqrt{2}$(负值舍去).
$\because AB=2\sqrt{2},\therefore AD=AB=2\sqrt{2}.\therefore DM=AD+AM=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$
$\therefore DG=\sqrt{DM^2+GM^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}.$
【答案】
(1)$BE=DG$，证明成立；
(2)$BE⊥ DG$；
(3)$DG$的长为$2\sqrt{5}$，辅助线参考
。【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的几何综合题，前两问依托全等三角形的判定和性质考查几何推理能力，第三问通过构造直角三角形结合勾股定理求解线段长度，辅助线的构造是解题的关键，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
