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13. A城有肥料200 t，B城有肥料300 t.现要把这些肥料全部运往C，D两乡.从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t，从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240 t，D乡需要肥料260 t，设A城运往C乡的肥料为x t，运往C乡肥料的总运费为$y_1$元，运往D乡肥料的总运费为$y_2$元.
(1)写出$y_1$关于$x$的函数解析式以及$y_2$关于$x$的函数解析式，并指出自变量的取值范围.
(2)怎样调运可使总运费最少？并求出最少的运输费.
(1)写出$y_1$关于$x$的函数解析式以及$y_2$关于$x$的函数解析式，并指出自变量的取值范围.
(2)怎样调运可使总运费最少？并求出最少的运输费.
答案
13.解:(1)$y_1=20x+15(240-x)=5x+3\ 600(0≤ x≤ 200)$,
$y_2=25(200-x)+24[260-(200-x)]=25(200-x)+24(x+60)=-x+6\ 440(0≤ x≤ 200).$
(2)设总运费为$y$元,则$y=5x+3\ 600+(-x+6\ 440)=4x+10\ 040.$
$\because k=4＞0,\therefore$当$x=0$时,$y_{\mathrm{最小}}=10\ 040.$
$\therefore$从A城运往C乡0 t,运往D乡200 t;从B城运往C乡240 t,运往D乡60 t,此时总运费最少,最少的运输费用是10 040元.
$y_2=25(200-x)+24[260-(200-x)]=25(200-x)+24(x+60)=-x+6\ 440(0≤ x≤ 200).$
(2)设总运费为$y$元,则$y=5x+3\ 600+(-x+6\ 440)=4x+10\ 040.$
$\because k=4＞0,\therefore$当$x=0$时,$y_{\mathrm{最小}}=10\ 040.$
$\therefore$从A城运往C乡0 t,运往D乡200 t;从B城运往C乡240 t,运往D乡60 t,此时总运费最少,最少的运输费用是10 040元.
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先明确运往C乡的肥料来自A、B两城：A城运往C乡x t，那么B城运往C乡的肥料为C乡总需求量减去A城运的量，即(240-x)t，分别乘以对应运费求和即可得到$y_1$；同理，A城一共200 t肥料，运x t到C乡后，剩余(200-x)t运往D乡，D乡总需求量260 t，因此B城运往D乡的肥料量为D乡总需求减去A城运往D乡的量，再乘以对应运费求和得到$y_2$；自变量x的取值需要满足所有运输量非负，且A城肥料总量为200 t，因此x的范围是$0≤x≤200$。
解决第(2)问时，总运费为$y_1$与$y_2$的和，得到总运费关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围即可求出总运费最小值和对应的调运方案。
【解析】
(1) 运往C乡的总运费为A城、B城运往C乡的运费之和：
$y_1=20x+15(240-x)$
化简得：$y_1=5x+3600$
运往D乡的总运费为A城、B城运往D乡的运费之和：
A城运往D乡的肥料量为$(200-x)$t，B城运往D乡的肥料量为$260-(200-x)=x+60$t，因此：
$y_2=25(200-x)+24(x+60)$
化简得：$y_2=-x+6440$
结合运输量非负和A城肥料总量限制，自变量x的取值范围为$0≤x≤200$。
(2) 设总运费为y元，则：
$y=y_1+y_2=(5x+3600)+(-x+6440)=4x+10040$
该一次函数中$k=4＞0$，因此y随x的增大而增大，当x取最小值0时，总运费最小。
将x=0代入得：$y_{\mathrm{最小}}=4×0+10040=10040$
对应调运方案：A城运往C乡0 t，运往D乡$200-0=200$t；B城运往C乡$240-0=240$t，运往D乡$0+60=60$t。
【答案】
(1) $y_1=5x+3600(0≤x≤200)$，$y_2=-x+6440(0≤x≤200)$；
(2) 调运方案：A城运往C乡0 t，运往D乡200 t，B城运往C乡240 t，运往D乡60 t时总运费最少，最少运输费为10040元。
【知识点】
一次函数解析式，一次函数性质，最优方案设计
【点评】
本题是调运类最值的典型题型，解题核心是梳理清楚各运输路径的运量关系，正确列出函数表达式，再结合一次函数的增减性和自变量的实际取值范围求解最值，解题时注意验证各运输量是否符合实际供需要求。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，首先明确运往C乡的肥料来自A、B两城：A城运往C乡x t，那么B城运往C乡的肥料为C乡总需求量减去A城运的量，即(240-x)t，分别乘以对应运费求和即可得到$y_1$；同理，A城一共200 t肥料，运x t到C乡后，剩余(200-x)t运往D乡，D乡总需求量260 t，因此B城运往D乡的肥料量为D乡总需求减去A城运往D乡的量，再乘以对应运费求和得到$y_2$；自变量x的取值需要满足所有运输量非负，且A城肥料总量为200 t，因此x的范围是$0≤x≤200$。
解决第(2)问时，总运费为$y_1$与$y_2$的和，得到总运费关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围即可求出总运费最小值和对应的调运方案。
【解析】
(1) 运往C乡的总运费为A城、B城运往C乡的运费之和：
$y_1=20x+15(240-x)$
化简得：$y_1=5x+3600$
运往D乡的总运费为A城、B城运往D乡的运费之和：
A城运往D乡的肥料量为$(200-x)$t，B城运往D乡的肥料量为$260-(200-x)=x+60$t，因此：
$y_2=25(200-x)+24(x+60)$
化简得：$y_2=-x+6440$
结合运输量非负和A城肥料总量限制，自变量x的取值范围为$0≤x≤200$。
(2) 设总运费为y元，则：
$y=y_1+y_2=(5x+3600)+(-x+6440)=4x+10040$
该一次函数中$k=4＞0$，因此y随x的增大而增大，当x取最小值0时，总运费最小。
将x=0代入得：$y_{\mathrm{最小}}=4×0+10040=10040$
对应调运方案：A城运往C乡0 t，运往D乡$200-0=200$t；B城运往C乡$240-0=240$t，运往D乡$0+60=60$t。
【答案】
(1) $y_1=5x+3600(0≤x≤200)$，$y_2=-x+6440(0≤x≤200)$；
(2) 调运方案：A城运往C乡0 t，运往D乡200 t，B城运往C乡240 t，运往D乡60 t时总运费最少，最少运输费为10040元。
【知识点】
一次函数解析式，一次函数性质，最优方案设计
【点评】
本题是调运类最值的典型题型，解题核心是梳理清楚各运输路径的运量关系，正确列出函数表达式，再结合一次函数的增减性和自变量的实际取值范围求解最值，解题时注意验证各运输量是否符合实际供需要求。
【难度系数】
0.7
14. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日.为切实做好安全宣传教育工作,提升师生安全防范意识,某校组织七年级480名学生开展了一次安全知识测试.现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩(单位:分,满分100分),整理分析过程如下:
【收集数据】
甲班15名学生的测试成绩分别为78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,95,100.
乙班15名学生的测试成绩中,在$90≤x＜95$范围内的成绩为91,92,94,90,93.
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
(1)根据以上信息,可以求出:$a=$
(2)若规定测试成绩92分及以上为优秀,请估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少名.
(3)根据以上数据,你认为哪个班的学生的整体成绩较好?请说明理由(一条理由即可).
【收集数据】
甲班15名学生的测试成绩分别为78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,95,100.
乙班15名学生的测试成绩中,在$90≤x＜95$范围内的成绩为91,92,94,90,93.
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
(1)根据以上信息,可以求出:$a=$
100
,$b=$91
.(2)若规定测试成绩92分及以上为优秀,请估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少名.
(3)根据以上数据,你认为哪个班的学生的整体成绩较好?请说明理由(一条理由即可).
答案
14.(1)100 91
(2)解:由条件,可得$480×\dfrac{9+7}{30}=256$(名).
答:估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有256名.
(3)解:甲班学生测试的整体成绩较好.理由如下:
$\because$甲班成绩的平均数大于乙班,方差小于乙班,
$\therefore$甲班的整体成绩较好.(答案不唯一,合理即可)
(2)解:由条件,可得$480×\dfrac{9+7}{30}=256$(名).
答:估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有256名.
(3)解:甲班学生测试的整体成绩较好.理由如下:
$\because$甲班成绩的平均数大于乙班,方差小于乙班,
$\therefore$甲班的整体成绩较好.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
（1）求解a、b时，先明确对应统计量的定义：a是甲班成绩的众数，即一组数据中出现次数最多的数值，统计甲班各成绩的出现次数即可得到a；b是乙班成绩的中位数，15个数据的中位数是从小到大排列后的第8个数据，先确定乙班90分以下的人数，再结合90≤x＜95区间的成绩排序，即可找到第8个数据得到b。
（2）估计全校优秀人数属于用样本估计总体的问题，先计算抽取的30名样本中92分及以上的优秀人数占比，再用总人数480乘该占比即可得到估计值。
（3）判断班级整体成绩可结合平均数、中位数、众数、方差等统计量的意义分析：若平均数更高说明整体平均水平更好，若方差更小说明成绩更稳定，任选一个角度说明理由即可。
【解析】
(1) 观察甲班15名学生的成绩，100分共出现2次，出现次数最多，因此甲班成绩的众数a=100；
乙班共15名学生，中位数为成绩从小到大排列后的第8个数据。已知乙班90分以下的有7人，90≤x＜95范围内的成绩排序为90,91,92,93,94，因此第8个数据为91，即b=91。
(2) 抽取的甲、乙两班共30名学生中，92分及以上的优秀人数为9+7=16名，因此480名学生中优秀人数约为：
$480×\dfrac{9+7}{30}=256$（名）
(3) 甲班学生的整体成绩较好。理由：甲班成绩的平均数大于乙班，说明甲班平均水平更高；同时甲班方差小于乙班，说明甲班成绩更稳定，因此甲班整体成绩更好（理由合理即可）。
【答案】
(1) $\boxed{100}$；$\boxed{91}$
(2) 估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有$\boxed{256}$名。
(3) 甲班学生的整体成绩较好，理由：甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，因此甲班整体成绩较好（合理即可）。
【知识点】
众数与中位数，用样本估计总体，统计量的应用
【点评】
本题结合全民国家安全教育日的宣传活动背景命题，贴近生活实际，重点考查学生对统计核心概念的理解和实际应用能力，引导学生关注生活中的统计问题。
【难度系数】
0.7
（1）求解a、b时，先明确对应统计量的定义：a是甲班成绩的众数，即一组数据中出现次数最多的数值，统计甲班各成绩的出现次数即可得到a；b是乙班成绩的中位数，15个数据的中位数是从小到大排列后的第8个数据，先确定乙班90分以下的人数，再结合90≤x＜95区间的成绩排序，即可找到第8个数据得到b。
（2）估计全校优秀人数属于用样本估计总体的问题，先计算抽取的30名样本中92分及以上的优秀人数占比，再用总人数480乘该占比即可得到估计值。
（3）判断班级整体成绩可结合平均数、中位数、众数、方差等统计量的意义分析：若平均数更高说明整体平均水平更好，若方差更小说明成绩更稳定，任选一个角度说明理由即可。
【解析】
(1) 观察甲班15名学生的成绩，100分共出现2次，出现次数最多，因此甲班成绩的众数a=100；
乙班共15名学生，中位数为成绩从小到大排列后的第8个数据。已知乙班90分以下的有7人，90≤x＜95范围内的成绩排序为90,91,92,93,94，因此第8个数据为91，即b=91。
(2) 抽取的甲、乙两班共30名学生中，92分及以上的优秀人数为9+7=16名，因此480名学生中优秀人数约为：
$480×\dfrac{9+7}{30}=256$（名）
(3) 甲班学生的整体成绩较好。理由：甲班成绩的平均数大于乙班，说明甲班平均水平更高；同时甲班方差小于乙班，说明甲班成绩更稳定，因此甲班整体成绩更好（理由合理即可）。
【答案】
(1) $\boxed{100}$；$\boxed{91}$
(2) 估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有$\boxed{256}$名。
(3) 甲班学生的整体成绩较好，理由：甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，因此甲班整体成绩较好（合理即可）。
【知识点】
众数与中位数，用样本估计总体，统计量的应用
【点评】
本题结合全民国家安全教育日的宣传活动背景命题，贴近生活实际，重点考查学生对统计核心概念的理解和实际应用能力，引导学生关注生活中的统计问题。
【难度系数】
0.7
