6. 将一副直角三角板和一把宽度为 2 cm 的直尺按如图所示方式摆放:先把$60°$角和$45°$角的顶点及它们的直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于 A,B 两点. AB 的长是（）

A.$(2-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$
B.$(2\sqrt{3}-2)\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

6.B

【分析】
首先明确已知条件：直尺宽度为2cm，即直尺上下平行边的垂直距离是2cm；两个三角板的60°角、45°角顶点重合于点O，二者的一条直角边重合且垂直于直尺上沿，O点落在直尺下沿。解题时我们可以过O点作直尺上沿的垂线，垂足为E，OE的长度就是直尺宽度2cm，此时得到两个直角三角形△OEA和△OEB，再利用正切三角函数的定义分别求出AE、BE的长度，二者的差就是AB的长度。
【解析】
解：设两个三角板重合的锐角顶点为O，过点O作$OE⊥ AB$于点E，由题意得OE的长度等于直尺的宽度，即$OE=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEA$中，$∠ AOE=60°$，根据正切的定义：
$\tan∠ AOE=\frac{AE}{OE}$，代入数据得$AE=OE·\tan60°=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，$∠ BOE=45°$，同理可得：
$\tan∠ BOE=\frac{BE}{OE}$，代入数据得$BE=OE·\tan45°=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
因此$AB=AE-BE=2\sqrt{3}-2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
正切三角函数，解直角三角形，三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板和直尺的摆放场景考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是构造合适的直角三角形，明确三角板对应的角度和已知边长，通过正切函数求出对应线段长度后作差即可得到结果。
【难度系数】
0.7

7.若$\sqrt{12}$能与最简二次根式$\sqrt{x-1}$合并，则$x$的值为________.

7.4

【分析】
看到题目中“两个二次根式能合并”的条件，首先要联想到同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并。题目已经明确$\sqrt{x-1}$是最简二次根式，因此我们只需要先把$\sqrt{12}$化为最简形式，再令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解即可，最后还要验证求得的$x$是否满足$\sqrt{x-1}$为最简二次根式的条件。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{12}$
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：根据同类二次根式的性质列方程
因为$\sqrt{12}$能与最简二次根式$\sqrt{x-1}$合并，说明二者是同类二次根式，最简后被开方数相同，因此可得：
$x-1=3$
第三步：解方程并验证
解得$x=3+1=4$，当$x=4$时，$\sqrt{x-1}=\sqrt{3}$，符合最简二次根式的要求，成立。
【答案】
4
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类二次根式的判定规则，解题时要注意先把非最简的二次根式化为最简形式，再对应被开方数列式，避免直接用未化简的被开方数计算出错。
【难度系数】
0.8

8. 在一组数据21,30,8,5,20中插入一个数,恰好得中位数是19,则插入的数是.

8.18

【分析】
解题首先要回忆中位数的定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。首先先把原有的5个数据排序，插入1个数后总共有6个数据，属于偶数个，因此中位数是排序后第3位和第4位数据的平均数。已知中位数为19，可先算出中间两个数的和为19×2=38，再结合原排序后的数据特征，就能求出插入的数。
【解析】
1. 先将原数据从小到大排序：5，8，20，21，30。
2. 插入一个数后，数据总个数为$5+1=6$（个），偶数个数据的中位数是排序后第3个和第4个数据的平均数。
3. 由中位数是19，可得第3、4位数据的和为：$19×2=38$。
4. 观察原排序后的数据，若插入的数大于等于20，则中间两个数为20和21，平均数为20.5，不符合要求；若插入的数小于等于8，则中间两个数为8和20，平均数为14，不符合要求；因此插入的数在8和20之间，此时排序后第4位是20，那么第3位的数为$38-20=18$，即插入的数是18。
5. 验证：插入18后数据排序为5，8，18，20，21，30，中位数为$(18+20)÷2=19$，符合题意。
【答案】
18
【知识点】
中位数的定义、平均数的计算
【点评】
本题核心考查对中位数概念的理解与应用，解题的关键是明确偶数个数据中位数的计算规则，结合原有数据的排序情况确定中间两个数的取值，只要掌握中位数的基本计算方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

9.如图所示,已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象分别与$x,y$轴交于$A,B$两点.若$OA=2,OB=1$,则关于$x$的方程$kx+b=0$的解为________.

9.$x=-2$

【分析】
求解方程$kx+b=0$的解，首先明确其几何意义：该方程的解对应一次函数$y=kx+b$中$y=0$时的自变量$x$的值，也就是一次函数图象与$x$轴交点的横坐标。接下来结合已知的$OA=2$，确定$x$轴上点$A$的横坐标即可得到答案。
【解析】
一元一次方程$kx+b=0$的解，等价于一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。
由题可知，一次函数图象与$x$轴交于点$A$，$OA=2$，且点$A$在$x$轴负半轴，因此$A$点坐标为$(-2,0)$，即当$x=-2$时，$y=kx+b=0$。
所以关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的联系、一次函数的坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握一次函数与对应一元一次方程的内在联系，结合图象给出的线段长度确定交点坐标即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

10. 如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE。若BD=6，OE=$\sqrt{5}$，则菱形ABCD的面积是________。

10.$6\sqrt{5}$

【分析】
解题时先结合菱形的性质明确对角线的关系：菱形对角线互相平分，即O为AC、BD的中点；再观察AE⊥BC可得△AEC为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AC=2OE，求出AC的长度；最后利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC、BD互相垂直平分，即O是AC的中点，已知BD=6，
∵ AE⊥BC，
∴ △AEC是直角三角形，
∵ O是Rt△AEC斜边AC的中点，
∴ AC=2OE，
∵ OE=√5，
∴ AC=2×√5=2√5，
菱形的面积公式为$ S=\frac{1}{2} × AC × BD $，代入数值计算：
$ S=\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 6 = 6\sqrt{5} $
【答案】
$ 6\sqrt{5} $
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是找到直角三角形斜边中线与菱形对角线的关联，再代入面积公式计算，需要熟练掌握特殊几何图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6

11.计算: $6×(-\dfrac{1}{2})+\sqrt{3}×\sqrt{8}+(-15)^0.$

11.解:$6×(-\dfrac{1}{2})+\sqrt{3}×\sqrt{8}+(-15)^0=-3+\sqrt{24}+1=2\sqrt{6}-3+1=2\sqrt{6}-2.$

【分析】
本题属于实数混合运算题，解题时遵循先算乘除、后算加减的运算顺序，分三步分别计算每一项的结果：第一步计算有理数乘法$6×(-\frac{1}{2})$，第二步根据二次根式乘法法则计算$\sqrt{3}×\sqrt{8}$并化简，第三步根据零指数幂的性质计算$(-15)^0$，最后将三项结果合并即可得到最终答案，计算过程中要注意符号判断、二次根式化简规范。
【解析】
解：分别计算各项后合并化简：
1. 计算有理数乘法：$6×(-\dfrac{1}{2})=-3$
2. 计算二次根式乘法：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{8}=\sqrt{3×8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
3. 计算零指数幂：非零数的0次幂为1，故$(-15)^0=1$
将上述结果相加：$-3 + 2\sqrt{6} + 1 = 2\sqrt{6} - 2$
【答案】
$2\sqrt{6}-2$
【知识点】
有理数乘法运算，二次根式的运算，零指数幂的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查对各运算法则的掌握程度，运算时只要细心核对符号、正确化简二次根式，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

12. 如图所示,一艘船由 A 港沿北偏东 $60°$ 方向航行 10 km 至 B 港,然后沿北偏西 $30°$ 方向航行 10 km 至 C 港.
(1)求 A,C 两港之间的距离(结果保留到 0.1 km,参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732$);
(2)确定 C 港在 A 港的什么方向.

12.解:(1)由题意,可得$∠ PBC=30°,∠ MAB=60°$,
$\therefore∠ CBQ=60°,∠ BAN=30°.\therefore∠ ABQ=30°.\therefore∠ ABC=90°.$
$\because AB=BC=10\ \mathrm{km},\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\sqrt{2}\approx 14.1(\mathrm{km}).$
答:A,C两港之间的距离约为14.1 km.
(2)由(1),知$△ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore∠ BAC=45°.\therefore∠ CAM=60°-45°=15°.$
$\therefore C$港在A港北偏东$15°$的方向上.

【分析】
解题时首先结合方位角的性质推导△ABC的内角度数：图中各正北方向线互相平行，根据平行线的性质可推出∠ABC=90°，结合已知AB=BC=10km，可判断△ABC是等腰直角三角形。(1)求AC距离直接用勾股定理计算即可；(2)先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC的度数，再结合A港的方位角基准即可确定C港相对A港的方向。
【解析】
(1) 由题意可得，$∠PBC=30°$，$∠MAB=60°$，
$\therefore ∠CBQ=60°$，$∠BAN=30°$，
$\because BQ// AM$，$\therefore ∠ABQ=∠BAN=30°$，
$\therefore ∠ABC=∠ABQ+∠CBQ=30°+60°=90°$，
又$\because AB=BC=10\ \mathrm{km}$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\approx 10×1.414\approx14.1(\mathrm{km})$。
(2) 由(1)知$△ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore ∠BAC=45°$，
$\because ∠MAB=60°$，
$\therefore ∠CAM=∠MAB-∠BAC=60°-45°=15°$，
即C港在A港北偏东$15°$的方向上。
【答案】
(1) A、C两港之间的距离约为14.1 km；
(2) C港在A港北偏东$15°$的方向上。
【知识点】
方位角的应用；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是方位角与三角形知识结合的实际应用题，解题的核心是根据平行方位线的角度关系正确推导三角形的内角度数，再结合勾股定理和等腰三角形性质求解，解题时需注意方位角的表述规范，计算结果要按要求保留近似值。
【难度系数】
0.7