三、操作题
在方格中平移三角形$ABC$，①使点$A$移到点$M$，画出平移后的三角形；②使点$A$移到点$N$，画出平移后的三角形。

解：
① 将点A向右平移4格，向下平移2格得到点M；将点B按相同方向（向右4格，向下2格）平移得到对应点B₁，将点C按相同方向平移得到对应点C₁；顺次连接M、B₁、C₁，得到平移后的三角形。
② 将点A向右平移4格，向下平移4格得到点N；将点B按相同方向（向右4格，向下4格）平移得到对应点B₂，将点C按相同方向平移得到对应点C₂；顺次连接N、B₂、C₂，得到平移后的三角形。

【分析】
要解决平移三角形的问题，需用到平移的基本性质：图形平移后，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同，图形的形状、大小保持不变。解题时先确定已知点A到目标点（M、N）的平移规律：横向数左右移动的格数，纵向数上下移动的格数，得到平移的方向和距离；再将三角形另外两个顶点B、C按照相同的规律平移得到对应点；最后依次连接三个对应顶点，即可得到平移后的三角形。
【解析】
① 首先观察点A到点M的位置：点A向右平移4格，再向下平移2格可到达点M。根据平移的性质，将点B、C也按照“向右平移4格，向下平移2格”的规则平移，分别得到对应点B₁、C₁，顺次连接M、B₁、C₁即可。
② 再观察点A到点N的位置：点A向右平移4格，再向下平移4格可到达点N。同理将点B、C也按照“向右平移4格，向下平移4格”的规则平移，分别得到对应点B₂、C₂，顺次连接N、B₂、C₂即可。
【答案】
① 将点A向右平移4格，向下平移2格得到点M；将点B按相同方向（向右4格，向下2格）平移得到对应点B₁，将点C按相同方向平移得到对应点C₁；顺次连接M、B₁、C₁，得到平移后的三角形。
② 将点A向右平移4格，向下平移4格得到点N；将点B按相同方向（向右4格，向下4格）平移得到对应点B₂，将点C按相同方向平移得到对应点C₂；顺次连接N、B₂、C₂，得到平移后的三角形。
【知识点】
平移的性质；平移作图
【点评】
本题是平移作图的基础题型，核心是利用平移的性质确定各顶点的平移规则，解题时要注意准确数出平移的格数，保证所有点的平移方向和距离一致，避免作图错误。
【难度系数】
0.8

四、看图填空
如图所示.
∵ ∠1=∠3(已知),∴ //().
∵ ∠5=∠B(已知),∴ //().
∵ ∠4=∠7(已知),∴ AC//().
∴ ∠1+∠AED=().

AE BD 内错角相等,两直线平行
AB CE 同位角相等,两直线平行
DE 内错角相等,两直线平行
180° 两直线平行,同旁内角互补

【分析】
本题考查平行线判定与性质的基础应用，解题思路如下：首先明确平行线的判定规则是“角的关系推平行”，性质规则是“平行推角的关系”；接下来每一问先识别给出的两个角属于三线八角中的哪类角，找到对应的截线和被截线，结合判定定理判断平行的直线；最后利用已证的平行关系，结合同旁内角的性质求角的和。
【解析】
1. ∠1和∠3是直线AE、BD被直线AC所截形成的内错角，已知∠1=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AE// BD}$；
2. ∠5和∠B是直线AB、CE被直线BD所截形成的同位角，已知∠5=∠B，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AB// CE}$；
3. ∠4和∠7是直线AC、DE被直线CE所截形成的内错角，已知∠4=∠7，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$\boldsymbol{AC// DE}$；
4. 已证$AC// DE$，直线AE截AC、DE形成的同旁内角为∠1和∠AED，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$\boldsymbol{∠1+∠AED=180°}$。
【答案】
AE BD 内错角相等,两直线平行
AB CE 同位角相等,两直线平行
DE 内错角相等,两直线平行
180° 两直线平行,同旁内角互补
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；三线八角识别
【点评】
本题是几何入门的基础题型，核心考查三线八角的识别能力，以及平行线判定定理、性质定理的区分应用，熟练掌握角的位置关系和对应定理是解题的关键，能帮助学生夯实平行线模块的基础概念。
【难度系数】
0.8

五、解答题
1. 如图，$AB// CD$，直线$EF$与$AB,CD$分别交于$M,N$两点，过点$M$作$MG⊥ EF$交$CD$于$G$点，且$GH$平分$∠ MGD$，$∠ EMB=40°$. 求$∠ MGH$的度数.

1. 解:$\because MG ⊥ EF$,
$\therefore ∠ GME=90°$.
$\therefore ∠ BMG=90°-∠ EMB=90°-40°=50°$.
$\because AB//CD$,
$\therefore ∠ MGN=∠ BMG=50°$.
$\therefore ∠ MGD=180°-∠ MGN=130°$.
$\because GH$平分$∠ MGD$,
$\therefore ∠ MGH=\dfrac{1}{2}∠ MGD=65°$.

【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，根据垂直的定义先得到90°的角，结合给出的∠EMB=40°，先算出∠BMG的度数；再利用AB//CD的平行线性质，得到内错角相等求出∠MGN的度数，接着根据平角为180°算出∠MGD的度数；最后根据角平分线的定义，∠MGH是∠MGD的一半，即可求出最终结果。
【解析】
$\because MG ⊥ EF$,
$\therefore ∠ GME=90°$,
$\therefore ∠ BMG=90°-∠ EMB=90°-40°=50°$,
$\because AB//CD$,
$\therefore ∠ MGN=∠ BMG=50°$,
$\therefore ∠ MGD=180°-∠ MGN=130°$,
$\because GH$平分$∠ MGD$,
$\therefore ∠ MGH=\dfrac{1}{2}∠ MGD=65°$.
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是梳理已知条件中角的位置和数量关系，依次运用垂线、平行线、角平分线的相关性质逐步推导，考查对基础几何概念和性质的掌握与运用能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图，OP 平分 $∠ MON$，$PA // ON$，$PB // OM$. 求证：(1) $∠ 2 = ∠ 3$；(2) PO 平分 $∠ APB$.

2. 证明:(1) $\because PB//OM$,
$\therefore ∠ 1=∠ 3$.
$\because OP$平分$∠ MON$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2. \therefore ∠ 2=∠ 3$.
(2) $\because PA//ON,\therefore ∠ 2=∠ APO$.
又$∠ 3=∠ 2,\therefore ∠ 3=∠ APO$.
$\therefore PO$平分$∠ APB$.

【分析】
要证明(1)∠2=∠3，可通过角的等量代换推导：首先由OP平分∠MON可得∠1=∠2，再结合PB//OM，根据平行线内错角相等可得∠1=∠3，等量代换即可得证；要证明(2)PO平分∠APB，只需证明∠APO=∠3，由PA//ON可得∠2=∠APO，结合(1)中已证的∠2=∠3，等量代换得到∠APO=∠3，即可证明PO平分∠APB。
【解析】
(1) 证明：
∵ $PB//OM$，
∴ $∠1=∠3$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $OP$平分$∠MON$，
∴ $∠1=∠2$（角平分线的定义），
∴ $∠2=∠3$（等量代换）。
(2) 证明：
∵ $PA//ON$，
∴ $∠2=∠APO$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $∠3=∠2$（已证），
∴ $∠3=∠APO$（等量代换），
∴ $PO$平分$∠APB$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) $\because PB//OM$，$\therefore ∠ 1=∠ 3$。$\because OP$平分$∠ MON$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 2=∠ 3$。
(2) $\because PA//ON$，$\therefore ∠ 2=∠ APO$。又$∠ 3=∠ 2$，$\therefore ∠ 3=∠ APO$，$\therefore PO$平分$∠ APB$。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，考察平行线性质与角平分线定义的结合应用，解题关键是准确找到角之间的数量关系，通过等量代换完成证明，能够锻炼基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8