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一、选择题
1. 如下左图，$∠1=∠2,∠BAD=∠BCD$，有下列结论：①$AB// CD$；②$AD// BC$；③$∠B=∠D$；④$∠D=∠ACB$. 其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 如下左图，$∠1=∠2,∠BAD=∠BCD$，有下列结论：①$AB// CD$；②$AD// BC$；③$∠B=∠D$；④$∠D=∠ACB$. 其中正确的有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知的角相等条件入手，结合平行线的判定定理分析：首先观察∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，由∠1=∠2可直接判定AB//CD；再利用∠BAD=∠BCD，通过等式性质减去相等的∠1和∠2，得到∠DAC=∠BCA，这两个角是直线AD、BC被直线AC所截的内错角，可判定AD//BC；接下来利用平行线的性质，结合同角的补角相等可推导∠B和∠D的关系；最后判断第四个结论是否有依据即可。
【解析】
①
∵∠1=∠2，且∠1、∠2是AB、CD被AC所截的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD，故①正确；
②
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD - ∠1 = ∠BCD - ∠2，即∠DAC=∠BCA，∠DAC、∠BCA是AD、BC被AC所截的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD//BC，故②正确；
③
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠B + ∠BCD = 180°；又
∵AD//BC，同理得∠D + ∠BCD = 180°，根据“同角的补角相等”，可得∠B=∠D，故③正确；
④ 题中没有给出能推导∠D=∠ACB的相关条件，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；同角的补角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题的关键是准确识别内错角、同旁内角等角的位置关系，熟练运用相关定理推导，注意没有定理支撑的结论不能随意判定正确。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的角相等条件入手，结合平行线的判定定理分析：首先观察∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，由∠1=∠2可直接判定AB//CD；再利用∠BAD=∠BCD，通过等式性质减去相等的∠1和∠2，得到∠DAC=∠BCA，这两个角是直线AD、BC被直线AC所截的内错角，可判定AD//BC；接下来利用平行线的性质，结合同角的补角相等可推导∠B和∠D的关系；最后判断第四个结论是否有依据即可。
【解析】
①
∵∠1=∠2，且∠1、∠2是AB、CD被AC所截的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD，故①正确；
②
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD - ∠1 = ∠BCD - ∠2，即∠DAC=∠BCA，∠DAC、∠BCA是AD、BC被AC所截的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD//BC，故②正确；
③
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠B + ∠BCD = 180°；又
∵AD//BC，同理得∠D + ∠BCD = 180°，根据“同角的补角相等”，可得∠B=∠D，故③正确；
④ 题中没有给出能推导∠D=∠ACB的相关条件，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；同角的补角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题的关键是准确识别内错角、同旁内角等角的位置关系，熟练运用相关定理推导，注意没有定理支撑的结论不能随意判定正确。
【难度系数】
0.7
2. [2025·信阳二模]如上右图,已知$AB// CD,DE⊥ AC$,垂足为$E$,$∠ A=120°$,则$∠ D$的度数为 (
A.$30°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
A
)A.$30°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从已知的平行线条件入手，根据平行线同旁内角互补的性质，结合已知的∠A度数先求出∠C的度数；再利用DE垂直AC得到直角，根据直角三角形两个锐角互余的性质，即可计算出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠A + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A = 120°（已知）
∴∠C = 180° - 120° = 60°
∵DE⊥AC（已知）
∴∠DEC = 90°（垂直的定义）
在Rt△DEC中，∠D + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠D = 90° - 60° = 30°
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是灵活运用平行线性质和直角三角形的角的关系，找到已知角和未知角的关联，是平行线章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行线条件入手，根据平行线同旁内角互补的性质，结合已知的∠A度数先求出∠C的度数；再利用DE垂直AC得到直角，根据直角三角形两个锐角互余的性质，即可计算出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠A + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A = 120°（已知）
∴∠C = 180° - 120° = 60°
∵DE⊥AC（已知）
∴∠DEC = 90°（垂直的定义）
在Rt△DEC中，∠D + ∠C = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠D = 90° - 60° = 30°
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是灵活运用平行线性质和直角三角形的角的关系，找到已知角和未知角的关联，是平行线章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.8
3. 如果两条平行线被第三条直线所截,那么一组内错角的平分线 (
A.互相垂直
B.互相平行
C.互相重合
D.以上均不正确
B
)A.互相垂直
B.互相平行
C.互相重合
D.以上均不正确
答案
3. B
解析
【分析】
拿到这道题，我们可以按以下思路推导：首先明确已知条件：两条平行线被第三条直线所截，一组内错角相等，要判断这组内错角的角平分线的位置关系。第一步，根据平行线的性质，先得到这组内错角大小相等；第二步，结合角平分线的定义，可推出两个内错角的一半也相等；第三步，观察这两个相等的小角，它们是两条角平分线被原截线所截形成的内错角，再根据平行线的判定定理，就能推出两条角平分线的位置关系。
【解析】
我们可以借助图形推导：
设两条平行线为AB、CD，第三条截线为EF，EF分别交AB、CD于点E、F，此时∠AEF和∠EFD是一组内错角，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD。
1. 因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AEF=∠EFD；
2. 因为EG平分∠AEF，所以∠GEF=½∠AEF；同理FH平分∠EFD，所以∠EFH=½∠EFD；
3. 等量代换可得∠GEF=∠EFH，而∠GEF和∠EFH是直线EG、FH被EF所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出EG//FH。
因此两条内错角的平分线互相平行，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题的关键是结合角平分线的定义找到待判定位置关系的两条直线所形成的内错角相等，要注意区分平行线的性质（由线的平行得角的关系）和平行线的判定（由角的关系得线的平行）。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们可以按以下思路推导：首先明确已知条件：两条平行线被第三条直线所截，一组内错角相等，要判断这组内错角的角平分线的位置关系。第一步，根据平行线的性质，先得到这组内错角大小相等；第二步，结合角平分线的定义，可推出两个内错角的一半也相等；第三步，观察这两个相等的小角，它们是两条角平分线被原截线所截形成的内错角，再根据平行线的判定定理，就能推出两条角平分线的位置关系。
【解析】
我们可以借助图形推导：
设两条平行线为AB、CD，第三条截线为EF，EF分别交AB、CD于点E、F，此时∠AEF和∠EFD是一组内错角，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD。
1. 因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AEF=∠EFD；
2. 因为EG平分∠AEF，所以∠GEF=½∠AEF；同理FH平分∠EFD，所以∠EFH=½∠EFD；
3. 等量代换可得∠GEF=∠EFH，而∠GEF和∠EFH是直线EG、FH被EF所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出EG//FH。
因此两条内错角的平分线互相平行，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题的关键是结合角平分线的定义找到待判定位置关系的两条直线所形成的内错角相等，要注意区分平行线的性质（由线的平行得角的关系）和平行线的判定（由角的关系得线的平行）。
【难度系数】
0.8
4. 如下左图,已知$AB// CD,∠BEG=60^{\circ },∠G=40^{\circ }$,则$∠HFG$的度数为（
A.$20°$
B.$29°$
C.$30°$
D.$32°$
A
）A.$20°$
B.$29°$
C.$30°$
D.$32°$
答案
4. A
解析
【分析】
这是平行线间拐点的典型角度计算题，解题思路如下：首先遇到平行线之间的“折角”类问题，最常用的方法是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行的传递性得到新的平行线关系，再通过“两直线平行、内错角相等”的性质转化角的关系，最后结合已知角度的和差运算就能求出目标角。
【解析】
解：过点G作$GM// AB$，
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore GM// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because AB// GM$，
$\therefore ∠ BEG=∠ EGM=60{}^{\circ }$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ EGM=∠ EGF+∠ FGM$，$∠ EGF=∠ G=40{}^{\circ }$（已知），
$\therefore ∠ FGM=∠ EGM-∠ EGF=60{}^{\circ }-40{}^{\circ }=20{}^{\circ }$，
$\because GM// CD$，
$\therefore ∠ FGM=∠ HFG$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ HFG=20{}^{\circ }$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线章节的基础应用题型，核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线作法，通过作辅助线将未知角和已知角建立关联，解题时注意对应内错角不要找错即可。
【难度系数】
0.7
这是平行线间拐点的典型角度计算题，解题思路如下：首先遇到平行线之间的“折角”类问题，最常用的方法是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行的传递性得到新的平行线关系，再通过“两直线平行、内错角相等”的性质转化角的关系，最后结合已知角度的和差运算就能求出目标角。
【解析】
解：过点G作$GM// AB$，
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore GM// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because AB// GM$，
$\therefore ∠ BEG=∠ EGM=60{}^{\circ }$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ EGM=∠ EGF+∠ FGM$，$∠ EGF=∠ G=40{}^{\circ }$（已知），
$\therefore ∠ FGM=∠ EGM-∠ EGF=60{}^{\circ }-40{}^{\circ }=20{}^{\circ }$，
$\because GM// CD$，
$\therefore ∠ FGM=∠ HFG$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ HFG=20{}^{\circ }$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线章节的基础应用题型，核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线作法，通过作辅助线将未知角和已知角建立关联，解题时注意对应内错角不要找错即可。
【难度系数】
0.7
5. [2024·许昌二模]如上右图,已知$∠1=90°$,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是 (
A.$∠2=90°$
B.$∠3=90°$
C.$∠4=90°$
D.$∠5=90°$
C
)A.$∠2=90°$
B.$∠3=90°$
C.$∠4=90°$
D.$∠5=90°$
答案
5. C
解析
【分析】
本题考查平行线的判定，解题思路如下：首先回忆平行线的三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。已知∠1=90°，我们只需逐一分析每个选项中的角与∠1的位置关系，判断是否满足平行线的判定条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合平行线判定定理逐一分析选项：
A. ∠2与∠1属于邻补角，无论两条铁轨是否平行，都有∠1+∠2=180°，因此∠2=90°无法判定两条铁轨平行，该选项错误；
B. ∠3=90°时，∠3与∠1不满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的平行判定条件，无法判定两条铁轨平行，该选项错误；
C. ∠4与∠1是两条铁轨被截线所截形成的同位角，当∠4=90°时，∠1=∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定两条铁轨平行，该选项正确；
D. ∠5=90°时，∠5与∠1没有对应可判定平行的角的关系，无法判定两条铁轨平行，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定、同位角识别
【点评】
本题是平行线判定的常规基础题，重点考查学生对三线八角的识别能力和平行线判定定理的应用能力，熟练掌握角的位置关系和平行判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线的判定，解题思路如下：首先回忆平行线的三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。已知∠1=90°，我们只需逐一分析每个选项中的角与∠1的位置关系，判断是否满足平行线的判定条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合平行线判定定理逐一分析选项：
A. ∠2与∠1属于邻补角，无论两条铁轨是否平行，都有∠1+∠2=180°，因此∠2=90°无法判定两条铁轨平行，该选项错误；
B. ∠3=90°时，∠3与∠1不满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的平行判定条件，无法判定两条铁轨平行，该选项错误；
C. ∠4与∠1是两条铁轨被截线所截形成的同位角，当∠4=90°时，∠1=∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定两条铁轨平行，该选项正确；
D. ∠5=90°时，∠5与∠1没有对应可判定平行的角的关系，无法判定两条铁轨平行，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定、同位角识别
【点评】
本题是平行线判定的常规基础题，重点考查学生对三线八角的识别能力和平行线判定定理的应用能力，熟练掌握角的位置关系和平行判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 如下左图，直线$a// b$，直线$c$与直线$a,b$相交，若$∠ 1=54°$，则$∠ 3=\_\_\_\_\_\_°$.
1. 如下左图，直线$a// b$，直线$c$与直线$a,b$相交，若$∠ 1=54°$，则$∠ 3=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
1. 126
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知直线$a// b$，结合平行线的性质可先找到与$∠1$相等的角，再根据邻补角和为$180°$即可求出$∠3$的度数。首先，$∠1$和$∠4$是直线$a、b$被直线$c$所截形成的同位角，由平行线的性质可得$∠4=∠1$；其次$∠3$和$∠4$是邻补角，二者之和为$180°$，代入数值计算即可得到$∠3$的度数。
【解析】
$\because$ 直线$a// b$，$∠1$和$∠4$是同位角
$\therefore ∠4=∠1=54°$（两直线平行，同位角相等）
又$\because ∠3$和$∠4$互为邻补角
$\therefore ∠3+∠4=180°$（邻补角的和为$180°$）
$\therefore ∠3=180°-54°=126°$
【答案】
126
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质与邻补角性质的综合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先观察图形特征，已知直线$a// b$，结合平行线的性质可先找到与$∠1$相等的角，再根据邻补角和为$180°$即可求出$∠3$的度数。首先，$∠1$和$∠4$是直线$a、b$被直线$c$所截形成的同位角，由平行线的性质可得$∠4=∠1$；其次$∠3$和$∠4$是邻补角，二者之和为$180°$，代入数值计算即可得到$∠3$的度数。
【解析】
$\because$ 直线$a// b$，$∠1$和$∠4$是同位角
$\therefore ∠4=∠1=54°$（两直线平行，同位角相等）
又$\because ∠3$和$∠4$互为邻补角
$\therefore ∠3+∠4=180°$（邻补角的和为$180°$）
$\therefore ∠3=180°-54°=126°$
【答案】
126
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线性质与邻补角性质的综合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如上中图,已知∠1=75°,∠2:∠3=3:2,则∠3=
50°
,∠4=130°
.答案
2. 50° 130°
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据相交线中对顶角相等的性质，求出∠2的度数；再结合∠2与∠3的比例关系，通过设未知数的方法计算出∠3的度数；最后根据平角的定义（邻补角和为180°），用180°减去∠3的度数即可得到∠4的度数。
【解析】
1. 由对顶角相等的性质可得：$∠2 = ∠1 = 75°$
2. 已知$∠2:∠3 = 3:2$，设$∠2 = 3x$，$∠3 = 2x$
把$∠2 = 75°$代入得：$3x = 75°$，解得$x = 25°$
因此$∠3 = 2x = 2×25° = 50°$
3. 因为$∠3$与$∠4$组成平角，两角和为$180°$，所以：
$∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 50° = 130°$
【答案】
$50°$；$130°$
【知识点】
对顶角相等；平角定义；比例计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合了相交线性质和比例的应用，解题关键是准确识别图中的对顶角和邻补角关系，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据相交线中对顶角相等的性质，求出∠2的度数；再结合∠2与∠3的比例关系，通过设未知数的方法计算出∠3的度数；最后根据平角的定义（邻补角和为180°），用180°减去∠3的度数即可得到∠4的度数。
【解析】
1. 由对顶角相等的性质可得：$∠2 = ∠1 = 75°$
2. 已知$∠2:∠3 = 3:2$，设$∠2 = 3x$，$∠3 = 2x$
把$∠2 = 75°$代入得：$3x = 75°$，解得$x = 25°$
因此$∠3 = 2x = 2×25° = 50°$
3. 因为$∠3$与$∠4$组成平角，两角和为$180°$，所以：
$∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 50° = 130°$
【答案】
$50°$；$130°$
【知识点】
对顶角相等；平角定义；比例计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合了相交线性质和比例的应用，解题关键是准确识别图中的对顶角和邻补角关系，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.8
3. 如上右图,折叠长方形纸条,若$∠ 2=55°$,则$∠ 1=$
62.5°
.答案
3. 62.5°
解析
【分析】
解题时先提取题目中的两个关键性质：一是折叠的性质，折叠前后重叠的角大小相等；二是长方形对边互相平行，结合平角为180°的定义找角的数量关系。首先由折叠可知，和∠1重叠的角与∠1大小相等，再观察三个角（两个相等的∠1、∠2）刚好组成平角，因此可列等式计算∠1的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠后重合的角相等，因此与∠1重合的角的度数等于∠1。
因为长方形的对边互相平行，所以两个∠1与∠2的和为平角180°，即：
$2∠1 + ∠2 = 180°$
将$∠2=55°$代入上式：
$2∠1 = 180° - 55° = 125°$
解得$∠1 = 125° ÷ 2 = 62.5°$
【答案】
62.5°
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的常见题型，结合折叠变换和平行线的性质命题，解题的核心是准确找到折叠后相等的角，理清各角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时先提取题目中的两个关键性质：一是折叠的性质，折叠前后重叠的角大小相等；二是长方形对边互相平行，结合平角为180°的定义找角的数量关系。首先由折叠可知，和∠1重叠的角与∠1大小相等，再观察三个角（两个相等的∠1、∠2）刚好组成平角，因此可列等式计算∠1的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠后重合的角相等，因此与∠1重合的角的度数等于∠1。
因为长方形的对边互相平行，所以两个∠1与∠2的和为平角180°，即：
$2∠1 + ∠2 = 180°$
将$∠2=55°$代入上式：
$2∠1 = 180° - 55° = 125°$
解得$∠1 = 125° ÷ 2 = 62.5°$
【答案】
62.5°
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的常见题型，结合折叠变换和平行线的性质命题，解题的核心是准确找到折叠后相等的角，理清各角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
