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1. 下列各组条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (
A.$AB// CD,AD=BC$
B.$AB=CD,AD=BC$
C.$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$
D.$AB=AD,CB=CD$
B
)A.$AB// CD,AD=BC$
B.$AB=CD,AD=BC$
C.$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$
D.$AB=AD,CB=CD$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题思路为：首先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析每个选项给出的条件是否符合判定定理，同时注意区分平行四边形与等腰梯形、筝形等其他特殊四边形的特征，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们先明确平行四边形的常用判定定理：
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
接下来逐一分析选项：
A. $AB// CD,AD=BC$：满足该条件的四边形可能是等腰梯形，不符合平行四边形判定，故A错误；
B. $AB=CD,AD=BC$：两组对边分别相等，符合上述第2条判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，故B正确；
C. $∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$：该条件是两组邻角相等，不符合“两组对角分别相等”的判定要求，满足该条件的四边形可能是等腰梯形，故C错误；
D. $AB=AD,CB=CD$：该条件是两组邻边分别相等，属于筝形的特征，不符合平行四边形对边相等的判定要求，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；特殊四边形的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，注意区分对边与邻边、对角与邻角的差异，不要混淆平行四边形和其他特殊四边形的判定条件即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平行四边形的判定，解题思路为：首先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析每个选项给出的条件是否符合判定定理，同时注意区分平行四边形与等腰梯形、筝形等其他特殊四边形的特征，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们先明确平行四边形的常用判定定理：
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
接下来逐一分析选项：
A. $AB// CD,AD=BC$：满足该条件的四边形可能是等腰梯形，不符合平行四边形判定，故A错误；
B. $AB=CD,AD=BC$：两组对边分别相等，符合上述第2条判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，故B正确；
C. $∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$：该条件是两组邻角相等，不符合“两组对角分别相等”的判定要求，满足该条件的四边形可能是等腰梯形，故C错误；
D. $AB=AD,CB=CD$：该条件是两组邻边分别相等，属于筝形的特征，不符合平行四边形对边相等的判定要求，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；特殊四边形的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，注意区分对边与邻边、对角与邻角的差异，不要混淆平行四边形和其他特殊四边形的判定条件即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知矩形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论中成立的是 (
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
C
)A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
答案
2.C
解析
【分析】
遇到三角形两边中点的问题，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。本题中E、F分别是AP、RP的中点，因此我们可以连接AR，构造出△APR，此时EF就是△APR的中位线，EF的长度等于AR长度的一半。接下来判断AR的长度是否变化：因为R是定点，A是矩形的固定顶点，所以AR是固定长度的线段，因此EF的长度也保持不变。
【解析】
解：连接AR。
∵ E是AP的中点，F是RP的中点，
∴ EF是△APR的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$。
∵ 点A是矩形的固定顶点，点R固定不动，
∴ 线段AR的长度是定值，
∴ $EF=\frac{1}{2}AR$也为定值，即线段EF的长不变。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，定长线段判定
【点评】
本题是几何动态类基础题，解题的关键是通过连接辅助线AR，将未知的动态线段EF转化为定长线段AR的一半，核心考查对三角形中位线定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到三角形两边中点的问题，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。本题中E、F分别是AP、RP的中点，因此我们可以连接AR，构造出△APR，此时EF就是△APR的中位线，EF的长度等于AR长度的一半。接下来判断AR的长度是否变化：因为R是定点，A是矩形的固定顶点，所以AR是固定长度的线段，因此EF的长度也保持不变。
【解析】
解：连接AR。
∵ E是AP的中点，F是RP的中点，
∴ EF是△APR的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$。
∵ 点A是矩形的固定顶点，点R固定不动，
∴ 线段AR的长度是定值，
∴ $EF=\frac{1}{2}AR$也为定值，即线段EF的长不变。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，定长线段判定
【点评】
本题是几何动态类基础题，解题的关键是通过连接辅助线AR，将未知的动态线段EF转化为定长线段AR的一半，核心考查对三角形中位线定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是 (
A.$AB// DC$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB=DC$
C
)A.$AB// DC$
B.$AC=BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB=DC$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先梳理思路：首先根据三角形中位线定理可知，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形首先是平行四边形。要让这个平行四边形成为矩形，根据矩形的判定规则，需要平行四边形有一个内角是直角，也就是一组邻边互相垂直。再结合中位线和原四边形对角线的平行关系，就可以把邻边垂直的条件转化为原四边形对角线互相垂直，对照选项判断即可。
【解析】
解：已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理：
EF是△ACD的中位线，因此$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；
同理可推出$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
由此可得$EF// GH$且$EF=GH$，所以四边形EFGH是平行四边形。
若要平行四边形EFGH为矩形，需满足有一个内角为直角，即$EF⊥ EH$。
因为$EF// AC$，$EH// BD$，所以当$AC⊥ BD$时，$EF⊥ EH$，此时平行四边形EFGH是矩形。
对选项逐一判断：
A选项$AB// DC$，仅能说明原四边形为梯形，中点四边形仍为普通平行四边形，不符合要求；
B选项$AC=BD$，可推出$EF=EH$，中点四边形为菱形，不符合要求；
C选项$AC⊥ BD$，符合推导所得的条件；
D选项$AB=DC$，无法推出对角线垂直，中点四边形仍为普通平行四边形，不符合要求。
故选C。
【答案】C
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，中点四边形性质
【点评】
本题主要考查中点四边形的判定规律，解题关键是明确中点四边形的形状由原四边形的对角线关系决定，结合矩形的判定条件就能快速推导得出所需添加的前提，属于基础类的几何规律应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理思路：首先根据三角形中位线定理可知，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形首先是平行四边形。要让这个平行四边形成为矩形，根据矩形的判定规则，需要平行四边形有一个内角是直角，也就是一组邻边互相垂直。再结合中位线和原四边形对角线的平行关系，就可以把邻边垂直的条件转化为原四边形对角线互相垂直，对照选项判断即可。
【解析】
解：已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理：
EF是△ACD的中位线，因此$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；
同理可推出$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
由此可得$EF// GH$且$EF=GH$，所以四边形EFGH是平行四边形。
若要平行四边形EFGH为矩形，需满足有一个内角为直角，即$EF⊥ EH$。
因为$EF// AC$，$EH// BD$，所以当$AC⊥ BD$时，$EF⊥ EH$，此时平行四边形EFGH是矩形。
对选项逐一判断：
A选项$AB// DC$，仅能说明原四边形为梯形，中点四边形仍为普通平行四边形，不符合要求；
B选项$AC=BD$，可推出$EF=EH$，中点四边形为菱形，不符合要求；
C选项$AC⊥ BD$，符合推导所得的条件；
D选项$AB=DC$，无法推出对角线垂直，中点四边形仍为普通平行四边形，不符合要求。
故选C。
【答案】C
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，中点四边形性质
【点评】
本题主要考查中点四边形的判定规律，解题关键是明确中点四边形的形状由原四边形的对角线关系决定，结合矩形的判定条件就能快速推导得出所需添加的前提，属于基础类的几何规律应用题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠B=∠D=90°,BC=1,CD=2,则对角线AC的长为 (
A.$\sqrt{21}$
B.$\frac{\sqrt{21}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{21}}{3}$
D.$\frac{5\sqrt{21}}{3}$
C
)A.$\sqrt{21}$
B.$\frac{\sqrt{21}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{21}}{3}$
D.$\frac{5\sqrt{21}}{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
观察图形可知四边形包含两个直角和60°的特殊角，我们可以通过延长BC、AD交于点E，构造出含30°角的直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出相关边长，再结合勾股定理先计算出AB的平方，最后在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度。
【解析】
解：延长BC交AD的延长线于点E。
∵∠DAB=60°，∠B=90°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=90°
在Rt△CDE中，∠E=30°，CD=2，
∴CE=2CD=4
∴BE=BC+CE=1+4=5
在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则AE=2x
由勾股定理得：$AB^2 + BE^2 = AE^2$
即$x^2 +5^2=(2x)^2$
$x^2+25=4x^2$
$3x^2=25$，解得$x^2=\frac{25}{3}$
在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{\frac{25}{3} +1}=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$
【答案】
C
【知识点】
直角三角形30°角性质，勾股定理
【点评】
本题的核心是通过构造辅助线将不规则四边形转化为特殊直角三角形求解，解题关键是合理作出辅助线，灵活运用特殊直角三角形的性质和勾股定理计算。
【难度系数】
0.65
观察图形可知四边形包含两个直角和60°的特殊角，我们可以通过延长BC、AD交于点E，构造出含30°角的直角三角形，利用30°直角三角形的性质求出相关边长，再结合勾股定理先计算出AB的平方，最后在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度。
【解析】
解：延长BC交AD的延长线于点E。
∵∠DAB=60°，∠B=90°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=90°
在Rt△CDE中，∠E=30°，CD=2，
∴CE=2CD=4
∴BE=BC+CE=1+4=5
在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则AE=2x
由勾股定理得：$AB^2 + BE^2 = AE^2$
即$x^2 +5^2=(2x)^2$
$x^2+25=4x^2$
$3x^2=25$，解得$x^2=\frac{25}{3}$
在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{\frac{25}{3} +1}=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$
【答案】
C
【知识点】
直角三角形30°角性质，勾股定理
【点评】
本题的核心是通过构造辅助线将不规则四边形转化为特殊直角三角形求解，解题关键是合理作出辅助线，灵活运用特殊直角三角形的性质和勾股定理计算。
【难度系数】
0.65
1. 如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,∠C=60°,AD=15 cm,BC=49 cm,则CD的长为
34 cm
.答案
1.34 cm
解析
【分析】
要求等腰梯形的腰长CD，我们可以通过平移腰的常用辅助线方法，将梯形转化为熟悉的平行四边形和三角形求解。首先过D作DE平行AB交BC于E，先利用平行四边形的性质得到BE的长度，再结合等腰梯形腰相等的性质推出DE=CD，结合∠C=60°可判定△DEC是等边三角形，最后通过线段差求出EC长度，即可得到CD的长。
【解析】
解：过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=15 cm，AB=DE。
∵等腰梯形ABCD中AB=CD，
∴DE=CD。
又
∵∠C=60°，
∴△DEC是等边三角形，即CD=EC。
∵EC=BC-BE=49-15=34（cm），
∴CD=34 cm。
【答案】
34 cm
【知识点】
等腰梯形的性质、等边三角形的判定、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查梯形计算中平移腰的经典辅助线用法，通过转化将陌生的梯形问题变为熟悉的平行四边形、三角形问题，是梯形相关题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
要求等腰梯形的腰长CD，我们可以通过平移腰的常用辅助线方法，将梯形转化为熟悉的平行四边形和三角形求解。首先过D作DE平行AB交BC于E，先利用平行四边形的性质得到BE的长度，再结合等腰梯形腰相等的性质推出DE=CD，结合∠C=60°可判定△DEC是等边三角形，最后通过线段差求出EC长度，即可得到CD的长。
【解析】
解：过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=15 cm，AB=DE。
∵等腰梯形ABCD中AB=CD，
∴DE=CD。
又
∵∠C=60°，
∴△DEC是等边三角形，即CD=EC。
∵EC=BC-BE=49-15=34（cm），
∴CD=34 cm。
【答案】
34 cm
【知识点】
等腰梯形的性质、等边三角形的判定、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查梯形计算中平移腰的经典辅助线用法，通过转化将陌生的梯形问题变为熟悉的平行四边形、三角形问题，是梯形相关题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC=15 cm,BD=20 cm,高DH=12 cm,则梯形ABCD的面积为
150 cm²
.答案
2.150 cm²
解析
【分析】
梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，本题已知高$DH=12\mathrm{cm}$，因此只需要求出上底$AD$与下底$BC$的和即可。我们可以通过平移对角线的方法，将上下底的和转化为一条线段的长度：过$D$作$AC$的平行线交$BC$延长线于$E$，构造平行四边形，把$AD$转化为$CE$，此时$AD+BC=BE$，再结合勾股定理分别计算直角三角形$BDH$和$EDH$的直角边，得到$BE$的长度，最终代入面积公式求解。
【解析】
解：过点$D$作$DE// AC$，交$BC$的延长线于点$E$。
∵$AD// BC$，$DE// AC$，
∴四边形$ACED$是平行四边形，
∴$DE=AC=15\mathrm{cm}$，$AD=CE$，
∴$AD+BC=CE+BC=BE$。
∵$DH⊥ BC$，
∴$∠ DHB=∠ DHE=90°$。
在$Rt△ BDH$中，$BD=20\mathrm{cm}$，$DH=12\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\mathrm{cm}$。
在$Rt△ EDH$中，$DE=15\mathrm{cm}$，$DH=12\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$HE=\sqrt{DE^2-DH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\mathrm{cm}$。
∴$BE=BH+HE=16+9=25\mathrm{cm}$。
梯形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}(AD+BC)× DH=\frac{1}{2}× BE× DH=\frac{1}{2}×25×12=150\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$150\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
梯形面积计算；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题采用平移对角线的辅助线方法，将梯形上下底之和转化为三角形的底，把梯形面积转化为等面积的三角形面积求解，是梯形类问题的常用辅助线技巧，结合勾股定理即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7
梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，本题已知高$DH=12\mathrm{cm}$，因此只需要求出上底$AD$与下底$BC$的和即可。我们可以通过平移对角线的方法，将上下底的和转化为一条线段的长度：过$D$作$AC$的平行线交$BC$延长线于$E$，构造平行四边形，把$AD$转化为$CE$，此时$AD+BC=BE$，再结合勾股定理分别计算直角三角形$BDH$和$EDH$的直角边，得到$BE$的长度，最终代入面积公式求解。
【解析】
解：过点$D$作$DE// AC$，交$BC$的延长线于点$E$。
∵$AD// BC$，$DE// AC$，
∴四边形$ACED$是平行四边形，
∴$DE=AC=15\mathrm{cm}$，$AD=CE$，
∴$AD+BC=CE+BC=BE$。
∵$DH⊥ BC$，
∴$∠ DHB=∠ DHE=90°$。
在$Rt△ BDH$中，$BD=20\mathrm{cm}$，$DH=12\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\mathrm{cm}$。
在$Rt△ EDH$中，$DE=15\mathrm{cm}$，$DH=12\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$HE=\sqrt{DE^2-DH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\mathrm{cm}$。
∴$BE=BH+HE=16+9=25\mathrm{cm}$。
梯形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}(AD+BC)× DH=\frac{1}{2}× BE× DH=\frac{1}{2}×25×12=150\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$150\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
梯形面积计算；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题采用平移对角线的辅助线方法，将梯形上下底之和转化为三角形的底，把梯形面积转化为等面积的三角形面积求解，是梯形类问题的常用辅助线技巧，结合勾股定理即可快速算出结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ B=50°$,$∠ C=80°$,$AD=2$,$BC=5$,则$CD$的长为________.
答案
3.3
解析
【分析】
求解梯形中线段长度的问题，可采用梯形常用的辅助线思路：平移一腰，将梯形转化为平行四边形和三角形，把分散的边长、角度条件整合到三角形中求解。首先过点D作AB的平行线交BC于点E，先利用平行四边形性质得到BE与AD相等，再在△DEC中通过角度关系判定等腰三角形，即可得到CD的长度。
【解析】
解：过点D作$DE// AB$，交$BC$于点$E$。
$\because AD// BC$，$DE// AB$，
$\therefore$四边形$ABED$是平行四边形，
$\therefore BE=AD=2$，$∠ DEC=∠ B=50°$。
$\because BC=5$，
$\therefore EC=BC-BE=5-2=3$。
在$△ DEC$中，$∠ C=80°$，
$\therefore ∠ EDC=180°-∠ DEC-∠ C=180°-50°-80°=50°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ EDC$，
$\therefore CD=EC=3$。
【答案】
3
【知识点】
梯形辅助线作法；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是梯形计算的典型基础题，核心考点是梯形常见辅助线的用法，通过平移腰将梯形转化为平行四边形和三角形，能快速把已知条件整合到同一个图形中建立联系，熟练掌握该类辅助线作法可大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
求解梯形中线段长度的问题，可采用梯形常用的辅助线思路：平移一腰，将梯形转化为平行四边形和三角形，把分散的边长、角度条件整合到三角形中求解。首先过点D作AB的平行线交BC于点E，先利用平行四边形性质得到BE与AD相等，再在△DEC中通过角度关系判定等腰三角形，即可得到CD的长度。
【解析】
解：过点D作$DE// AB$，交$BC$于点$E$。
$\because AD// BC$，$DE// AB$，
$\therefore$四边形$ABED$是平行四边形，
$\therefore BE=AD=2$，$∠ DEC=∠ B=50°$。
$\because BC=5$，
$\therefore EC=BC-BE=5-2=3$。
在$△ DEC$中，$∠ C=80°$，
$\therefore ∠ EDC=180°-∠ DEC-∠ C=180°-50°-80°=50°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ EDC$，
$\therefore CD=EC=3$。
【答案】
3
【知识点】
梯形辅助线作法；平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是梯形计算的典型基础题，核心考点是梯形常见辅助线的用法，通过平移腰将梯形转化为平行四边形和三角形，能快速把已知条件整合到同一个图形中建立联系，熟练掌握该类辅助线作法可大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
