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5. 如右图所示，$□ ABCD$的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则$△ DCE$的周长为
8
cm. 答案
5.8
解析
【分析】
解题首先从已知条件入手：①先利用平行四边形的性质，可得对角线互相平分，即O是AC中点，且平行四边形对边相等，因此邻边AD+CD的长度为周长的一半，即8cm；②再观察OE⊥AC的条件，结合O是AC中点，可知OE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，点E在垂直平分线上，因此AE=CE；③最后求△DCE的周长，将周长展开后把CE替换为AE，就能把周长转化为AD+CD的和，直接代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD，
∵□ABCD的周长为16 cm，
∴AD+CD = $\frac{1}{2}×16 = 8$ cm，
∵OE⊥AC，OA=OC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴△DCE的周长 = CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8 cm。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为平行四边形已知的邻边和，解题时要熟练掌握基础几何图形的性质，学会通过转化思想简化问题。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件入手：①先利用平行四边形的性质，可得对角线互相平分，即O是AC中点，且平行四边形对边相等，因此邻边AD+CD的长度为周长的一半，即8cm；②再观察OE⊥AC的条件，结合O是AC中点，可知OE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，点E在垂直平分线上，因此AE=CE；③最后求△DCE的周长，将周长展开后把CE替换为AE，就能把周长转化为AD+CD的和，直接代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD，
∵□ABCD的周长为16 cm，
∴AD+CD = $\frac{1}{2}×16 = 8$ cm，
∵OE⊥AC，OA=OC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴△DCE的周长 = CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8 cm。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为平行四边形已知的邻边和，解题时要熟练掌握基础几何图形的性质，学会通过转化思想简化问题。
【难度系数】
0.7
三、解答题.
如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M，N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON.
(1)试说明OM=ON；
(2)试判断CN与DM的关系，并加以证明.
如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M，N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON.
(1)试说明OM=ON；
(2)试判断CN与DM的关系，并加以证明.
答案
(1)略 (2)$CN=DM$、$CN⊥DM$,证明略.
解析
【分析】
第(1)问：我们可以利用正方形对角线的性质得到对应边、角相等，结合OM⊥ON的条件推导角相等，证明包含OM、ON的两个三角形全等，即可证得OM=ON。
第(2)问：先借助第(1)问的全等结论得到线段相等，再证明包含CN、DM的两个三角形全等，得到二者的数量关系，最后通过角的等量代换证明两条线段夹角为90°，得到二者的位置关系。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，AC⊥BD，即$∠ COB=90°$，
∴$∠ COM+∠ MOB=90°$，
∵$OM⊥ ON$，
∴$∠ MON=90°$，即$∠ BON+∠ MOB=90°$，
∴$∠ COM=∠ BON$，
在$△ COM$和$△ BON$中：
$\begin{cases}∠ OCM=∠ OBN \\OC=OB \\∠ COM=∠ BON\end{cases}$
∴$△ COM≌△ BON(\mathrm{ASA})$，
∴$OM=ON$。
(2)$CN=DM$且$CN⊥ DM$，证明如下：
由(1)的全等结论可得$CM=BN$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC=DC$，$∠ CBN=∠ DCM=90°$，
在$△ CBN$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}BN=CM \\∠ CBN=∠ DCM \\BC=DC\end{cases}$
∴$△ CBN≌△ DCM(\mathrm{SAS})$，
∴$CN=DM$，$∠ BCN=∠ CDM$，
设CN与DM交于点P，
在$\mathrm{Rt}△ DCM$中，$∠ CDM+∠ DMC=90°$，
∴$∠ BCN+∠ DMC=90°$，
∴$∠ CPM=180°-(∠ BCN+∠ DMC)=90°$，即$CN⊥ DM$。
【答案】
(1)$OM=ON$，证明如上；
(2)$CN=DM$且$CN⊥ DM$，证明如上。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是正方形与全等三角形的综合应用题，解题核心是结合已知条件找到对应全等三角形，通过全等得到边、角的等量关系，进而推导求证的结论。
【难度系数】
0.7
第(1)问：我们可以利用正方形对角线的性质得到对应边、角相等，结合OM⊥ON的条件推导角相等，证明包含OM、ON的两个三角形全等，即可证得OM=ON。
第(2)问：先借助第(1)问的全等结论得到线段相等，再证明包含CN、DM的两个三角形全等，得到二者的数量关系，最后通过角的等量代换证明两条线段夹角为90°，得到二者的位置关系。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，AC⊥BD，即$∠ COB=90°$，
∴$∠ COM+∠ MOB=90°$，
∵$OM⊥ ON$，
∴$∠ MON=90°$，即$∠ BON+∠ MOB=90°$，
∴$∠ COM=∠ BON$，
在$△ COM$和$△ BON$中：
$\begin{cases}∠ OCM=∠ OBN \\OC=OB \\∠ COM=∠ BON\end{cases}$
∴$△ COM≌△ BON(\mathrm{ASA})$，
∴$OM=ON$。
(2)$CN=DM$且$CN⊥ DM$，证明如下：
由(1)的全等结论可得$CM=BN$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC=DC$，$∠ CBN=∠ DCM=90°$，
在$△ CBN$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}BN=CM \\∠ CBN=∠ DCM \\BC=DC\end{cases}$
∴$△ CBN≌△ DCM(\mathrm{SAS})$，
∴$CN=DM$，$∠ BCN=∠ CDM$，
设CN与DM交于点P，
在$\mathrm{Rt}△ DCM$中，$∠ CDM+∠ DMC=90°$，
∴$∠ BCN+∠ DMC=90°$，
∴$∠ CPM=180°-(∠ BCN+∠ DMC)=90°$，即$CN⊥ DM$。
【答案】
(1)$OM=ON$，证明如上；
(2)$CN=DM$且$CN⊥ DM$，证明如上。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是正方形与全等三角形的综合应用题，解题核心是结合已知条件找到对应全等三角形，通过全等得到边、角的等量关系，进而推导求证的结论。
【难度系数】
0.7
动动脑筋
最多能背回家多少根香蕉
有只猴子在树林里采摘了100根香蕉，猴子家离香蕉堆500米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多背50根，可是猴子嘴馋，每走10米要吃1根香蕉（注意空手返回香蕉堆时不吃香蕉），问猴子最多能背回家多少根香蕉？
最多能背回家多少根香蕉
有只猴子在树林里采摘了100根香蕉，猴子家离香蕉堆500米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多背50根，可是猴子嘴馋，每走10米要吃1根香蕉（注意空手返回香蕉堆时不吃香蕉），问猴子最多能背回家多少根香蕉？
答案
解：
1. 先背50根香蕉从起点出发，行走250米，每10米吃掉1根香蕉，共吃掉$250÷10=25$根，剩余$50-25=25$根，将这25根放在250米处，空手返回起点，返回过程不吃香蕉。
2. 再背起点剩余的50根香蕉出发，行走250米，同样吃掉25根，剩余$50-25=25$根。
3. 此时250米处共有$25+25=50$根香蕉，全部背上，走完剩余的$500-250=250$米，需要吃掉$250÷10=25$根香蕉。
4. 最终到家剩余香蕉数量为$50-25=25$根。
答：猴子最多能背回家25根香蕉。
1. 先背50根香蕉从起点出发，行走250米，每10米吃掉1根香蕉，共吃掉$250÷10=25$根，剩余$50-25=25$根，将这25根放在250米处，空手返回起点，返回过程不吃香蕉。
2. 再背起点剩余的50根香蕉出发，行走250米，同样吃掉25根，剩余$50-25=25$根。
3. 此时250米处共有$25+25=50$根香蕉，全部背上，走完剩余的$500-250=250$米，需要吃掉$250÷10=25$根香蕉。
4. 最终到家剩余香蕉数量为$50-25=25$根。
答：猴子最多能背回家25根香蕉。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确两个限制条件：猴子单次最多背50根香蕉，空手返回时不吃香蕉，仅背香蕉行走时每10米吃1根。如果直接背50根走完全程，到家时香蕉会被全部吃完，因此需要设置中转点，先分两次把香蕉运到中转点存放，再一次性从中转点运回家，减少消耗。最优的方案是让两次运到中转点的香蕉总和刚好等于猴子单次最大运载量50根，因此中转点设置在距离起点250米的位置最合适。
【解析】
1. 第一次背50根香蕉从起点出发，行走250米，每10米吃1根香蕉，共吃掉$250÷10=25$根，剩余$50-25=25$根，将这25根放在250米处，空手返回起点（返回过程不吃香蕉）。
2. 第二次背起点剩余的50根香蕉出发，行走250米，同样吃掉25根，剩余$50-25=25$根。
3. 此时250米处共有$25+25=50$根香蕉，刚好是猴子单次最大运载量，全部背上走完剩余的$500-250=250$米，需要吃掉$250÷10=25$根香蕉。
4. 最终到家剩余香蕉数量为$50-25=25$根。
【答案】
25根
【知识点】
最优方案设计，整数四则运算，统筹规划
【点评】
这是一道趣味逻辑统筹题，需要打破直接全程搬运的思维定式，通过合理设置中转点降低运输消耗，能够很好地锻炼逻辑推理和资源统筹的能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先要明确两个限制条件：猴子单次最多背50根香蕉，空手返回时不吃香蕉，仅背香蕉行走时每10米吃1根。如果直接背50根走完全程，到家时香蕉会被全部吃完，因此需要设置中转点，先分两次把香蕉运到中转点存放，再一次性从中转点运回家，减少消耗。最优的方案是让两次运到中转点的香蕉总和刚好等于猴子单次最大运载量50根，因此中转点设置在距离起点250米的位置最合适。
【解析】
1. 第一次背50根香蕉从起点出发，行走250米，每10米吃1根香蕉，共吃掉$250÷10=25$根，剩余$50-25=25$根，将这25根放在250米处，空手返回起点（返回过程不吃香蕉）。
2. 第二次背起点剩余的50根香蕉出发，行走250米，同样吃掉25根，剩余$50-25=25$根。
3. 此时250米处共有$25+25=50$根香蕉，刚好是猴子单次最大运载量，全部背上走完剩余的$500-250=250$米，需要吃掉$250÷10=25$根香蕉。
4. 最终到家剩余香蕉数量为$50-25=25$根。
【答案】
25根
【知识点】
最优方案设计，整数四则运算，统筹规划
【点评】
这是一道趣味逻辑统筹题，需要打破直接全程搬运的思维定式，通过合理设置中转点降低运输消耗，能够很好地锻炼逻辑推理和资源统筹的能力。
【难度系数】
0.5
