11. 如图,小林从点P向西直走12m后,向左转,转动角度$α$,再走12m,如此重复,小林共走了96m回到点P,则$α$的度数为()

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.不存在

11. B 解析：根据题意可知，小林一共左转了96÷12 = 8（次）回到了点P，
∴小林从点P出发又回到点P正好走了一个正八边形，
∴α = 360°÷8 = 45°。

12. 将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置,若$∠ 1=50^{\circ}$,则$∠ 2$的度数为.

12. 70° 解析：如图，过点C作CG//PQ。
∵PQ//MN，
∴PQ//CG//MN，
∴∠2 = ∠BCG，∠1 = ∠DCG，
∴∠1 + ∠2 = ∠DCG + ∠BCG = ∠BCD。
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD = $\frac{(6 - 2)×180°}{6}$ = 120°。
∵∠1 = 50°，
∴∠2 = 120° - 50° = 70°。

13. 如图,$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数为.

13. 360° 解析：如图，设AC与DE交于点M，与BF交于点N。
∵∠FNM是△ABN的一个外角，∠EMN是△MCD的一个外角，
∴∠FNM = ∠A + ∠B，∠EMN = ∠C + ∠D。
∵∠FNM + ∠EMN + ∠E + ∠F = 360°，
∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360°。

14. 如图,在四边形ABCD中,$∠ A=∠ C=90^{\circ}$,BE平分$∠ ABC$,DF平分$∠ CDA$.
(1)若$∠ ABC=50^{\circ}$,求$∠ ADF$的度数.
(2)求证:$BE// DF$.
]

14. (1)
∵∠ABC = 50°，∠A = ∠C = 90°，
∴∠ADC = 360° - 90° - 50° - 90° = 130°。
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADC = 65°。
(2)证明：
∵∠A = ∠C = 90°，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF = ∠CDF = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ABE + ∠ADF = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ADC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，又
∵∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴∠ADF = ∠AEB，
∴BE//DF。

15. 如图,已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上,BM、CN分别是$∠ ABC$、$∠ DCE$的平分线,设$∠ BAD=α$,$∠ ADC=β$.
(1)如图1,若$α+β=180°$,判断BM、CN的位置关系,并说明理由.
(2)如图2,若$α+β＞180°$,BM、CN相交于点O.
①当$α=65°$,$β=155°$时,$∠ BOC$的度数为;
②$∠ BOC$与$α$、$β$有怎样的数量关系?请说明理由.
(3)如图3,若$α+β＜180°$,BM、CN的反向延长线相交于点O,则$∠ BOC=$.(用含$α$、$β$的代数式表示)
]

15. (1)CN//BM。理由如下：如图1。
∵α + β = 180°，
∴CD//AB，
∴∠ECD = ∠CBA。又
∵CN平分∠ECD，BM平分∠CBA，
∴∠1 = $\frac{1}{2}$∠ECD，∠2 = $\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠1 = ∠2，
∴CN//BM。

(2)①20° 解析：如图2。
∵BO、CO分别是∠ABC、∠DCE的平分线，
∴∠3 = ∠4，∠1 = ∠2。设∠1 = ∠2 = x，∠3 = ∠4 = y，
∴∠ECD = ∠1 + ∠2 = 2x，∠CBA = ∠3 + ∠4 = 2y。又
∵∠5 + ∠CBA + ∠A + ∠ADC = 360°，且∠A = α，∠ADC = β，
∴∠5 = 360° - α - β - 2y。又
∵∠5 + ∠ECD = 180°，
∴∠5 = 180° - 2x，
∴360° - α - β - 2y = 180° - 2x，
∴2x - 2y = α + β - 180°。
∵∠1 = ∠3 + ∠6，
∴∠6 = ∠1 - ∠3 = x - y，
∴2∠6 = α + β - 180° = 65° + 155° - 180° = 40°，
∴∠6 = 20°，即∠BOC = 20°。
②∠BOC = $\frac{α + β}{2}$ - 90°。理由如下：如图2。
∵BO、CO分别是∠ABC、∠DCE的平分线，
∴∠3 = ∠4，∠1 = ∠2。设∠1 = ∠2 = x，∠3 = ∠4 = y。同理①可得2x - 2y = α + β - 180°。
∵∠1 = ∠3 + ∠6，
∴∠6 = ∠1 - ∠3 = x - y，
∴2∠6 = α + β - 180°，
∴∠6 = $\frac{α + β}{2}$ - 90°，即∠BOC = $\frac{α + β}{2}$ - 90°。

(3)90° - $\frac{α + β}{2}$ 解析：如图3。
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的平分线，
∴∠4 = ∠5，∠1 = ∠2。设∠1 = ∠2 = x，∠4 = ∠5 = y，
∴∠BCD = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 2x，∠CBA = ∠4 + ∠5 = 2y。又
∵∠BCD + ∠CBA + ∠A + ∠D = 360°，且∠A = α，∠D = β，
∴∠BCD = 360° - α - β - 2y，
∴360° - α - β - 2y = 180° - 2x，
∴2x - 2y = α + β - 180°。又
∵∠4 = ∠3 + ∠BOC，
∴∠BOC = ∠4 - ∠3 = ∠4 - ∠1 = y - x，
∴ - 2∠BOC = α + β - 180°，
∴∠BOC = 90° - $\frac{α + β}{2}$。