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3. 如图 1 - 3 所示，现有边长分别为 $ a $，$ b $ 的正方形和长为 $ b $，宽为 $ a $ 的长方形硬纸板若干张。
(1)请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为 $ 2b^{2} + 3ab + a^{2} $ 的长方形，并画出拼法的示意图；
(2)从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为 $ 8ab $ 的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有种不同情况；
(3)现有①类硬纸板 1 张，②类硬纸板 4 张，则应取张③类硬纸板才能用它们拼成一个新的正方形；
(4)已知长方形②的周长为 20，面积为 12，求小正方形①与大正方形③的面积之和。
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(1)请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为 $ 2b^{2} + 3ab + a^{2} $ 的长方形，并画出拼法的示意图；
(2)从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为 $ 8ab $ 的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有种不同情况；
(3)现有①类硬纸板 1 张，②类硬纸板 4 张，则应取张③类硬纸板才能用它们拼成一个新的正方形；
(4)已知长方形②的周长为 20，面积为 12，求小正方形①与大正方形③的面积之和。
]答案
答案略
解析
【解析】
(1) 因为$2b^{2}+3ab + a^{2}=(2b + a)(b + a)$，所以长方形的长为$2b + a$，宽为$b + a$。拼法示意图：（横向排列，先放一个边长为$b$的正方形，接着放一个长为$b$宽为$a$的长方形，再放一个边长为$b$的正方形，然后在下面一层先放一个边长为$a$的正方形，接着放一个长为$b$宽为$a$的长方形）。
(2) 因为$8ab = 1×8ab = 2×4ab = 8× ab = 4×2ab$，所以有$4$种不同情况。
(3) 设取$x$张③类硬纸板，$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4ab + 4b^{2}$，所以应取$4$张③类硬纸板。
(4) 已知$2(a + b)=20$，即$a + b = 10$，$ab = 12$。$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 10^{2}-2×12 = 100 - 24 = 76$。
【答案】
(1) 拼法示意图如上述解析；(2)$4$；(3)$4$；(4)$76$
【知识点】
多项式乘法、因式分解、完全平方公式
【点评】
本题综合考查了多项式乘法、因式分解以及完全平方公式的应用，通过图形的拼接来理解代数表达式，具有一定的综合性和趣味性。
【难度系数】
0.6
(1) 因为$2b^{2}+3ab + a^{2}=(2b + a)(b + a)$，所以长方形的长为$2b + a$，宽为$b + a$。拼法示意图：（横向排列，先放一个边长为$b$的正方形，接着放一个长为$b$宽为$a$的长方形，再放一个边长为$b$的正方形，然后在下面一层先放一个边长为$a$的正方形，接着放一个长为$b$宽为$a$的长方形）。
(2) 因为$8ab = 1×8ab = 2×4ab = 8× ab = 4×2ab$，所以有$4$种不同情况。
(3) 设取$x$张③类硬纸板，$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4ab + 4b^{2}$，所以应取$4$张③类硬纸板。
(4) 已知$2(a + b)=20$，即$a + b = 10$，$ab = 12$。$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 10^{2}-2×12 = 100 - 24 = 76$。
【答案】
(1) 拼法示意图如上述解析；(2)$4$；(3)$4$；(4)$76$
【知识点】
多项式乘法、因式分解、完全平方公式
【点评】
本题综合考查了多项式乘法、因式分解以及完全平方公式的应用，通过图形的拼接来理解代数表达式，具有一定的综合性和趣味性。
【难度系数】
0.6
