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11.【问题背景】
随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车.大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重.为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议.
【资料显示】
汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60 000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80 000 km时报废.如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请回答以下问题：
(1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮轮胎行驶每千米的磨损量为
(2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程.
随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车.大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重.为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议.
【资料显示】
汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60 000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80 000 km时报废.如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请回答以下问题：
(1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮轮胎行驶每千米的磨损量为
$\frac{1}{60000}$
，后轮轮胎行驶每千米的磨损量为 $\frac{1}{80000}$
.(2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程.
答案
11.解:(1)$\frac{1}{60000}$ $\frac{1}{80000}$
(2)设应在汽车行驶里程达到 x km 时,交换前、后轮轮胎,再行驶 y km,两对轮胎同时报废,
根据题意,得$\begin{cases}\dfrac{x}{60000}+\dfrac{y}{80000}=1, \\\dfrac{x}{80000}+\dfrac{y}{60000}=1.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\dfrac{240000}{7}, \\y=\dfrac{240000}{7},\end{cases}$
$\therefore x+y=\dfrac{240000}{7}+\dfrac{240000}{7}=\dfrac{480000}{7}.$
答:应在汽车行驶里程达到$\dfrac{240000}{7}$ km 时,交换前、后轮轮胎,能使汽车的两对轮胎同时报废,轮胎报废时汽车的行驶总里程为$\dfrac{480000}{7}$ km.
(2)设应在汽车行驶里程达到 x km 时,交换前、后轮轮胎,再行驶 y km,两对轮胎同时报废,
根据题意,得$\begin{cases}\dfrac{x}{60000}+\dfrac{y}{80000}=1, \\\dfrac{x}{80000}+\dfrac{y}{60000}=1.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\dfrac{240000}{7}, \\y=\dfrac{240000}{7},\end{cases}$
$\therefore x+y=\dfrac{240000}{7}+\dfrac{240000}{7}=\dfrac{480000}{7}.$
答:应在汽车行驶里程达到$\dfrac{240000}{7}$ km 时,交换前、后轮轮胎,能使汽车的两对轮胎同时报废,轮胎报废时汽车的行驶总里程为$\dfrac{480000}{7}$ km.
解析
【分析】
(1) 已知每个新轮胎报废时总磨损量为单位“1”，行驶每千米的磨损量=总磨损量÷轮胎最大可行驶里程，直接代入对应里程计算即可。
(2) 要使两对轮胎同时报废，需保证每对轮胎交换前后的总磨损量之和恰好为1。设行驶$x$ km时交换轮胎，交换后再行驶$y$ km轮胎报废：原先安装在前轮的轮胎，前$x$ km按前轮磨损标准损耗，后$y$ km换到后轮按后轮磨损标准损耗，总磨损量为1；原先安装在后轮的轮胎，前$x$ km按后轮磨损标准损耗，后$y$ km换到前轮按前轮磨损标准损耗，总磨损量也为1。据此列出二元一次方程组，求解得到$x$、$y$的值，总行驶里程即为$x+y$。
【解析】
(1) 前轮行驶每千米磨损量为$1÷60000=\frac{1}{60000}$，后轮行驶每千米磨损量为$1÷80000=\frac{1}{80000}$。
(2) 设应在汽车行驶里程达到$x$ km时交换前、后轮轮胎，再行驶$y$ km后两对轮胎同时报废。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x}{60000}+\dfrac{y}{80000}=1, \\\dfrac{x}{80000}+\dfrac{y}{60000}=1.\end{cases}$
给方程组两边同时乘240000消去分母，得$\begin{cases}4x+3y=240000\\3x+4y=240000\end{cases}$，两式相减得$x=y$，代入方程解得$\begin{cases}x=\dfrac{240000}{7}, \\y=\dfrac{240000}{7},\end{cases}$
则总行驶里程$x+y=\dfrac{240000}{7}+\dfrac{240000}{7}=\dfrac{480000}{7}$。
答：应在汽车行驶里程达到$\dfrac{240000}{7}$ km时交换前、后轮轮胎，能使两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为$\dfrac{480000}{7}$ km。
【答案】
(1) $\frac{1}{60000}$；$\frac{1}{80000}$
(2) 交换时行驶里程为$\frac{240000}{7}$ km，总行驶里程为$\frac{480000}{7}$ km
【知识点】
单位“1”的应用；二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题结合生活中的轮胎换位场景命题，贴近生活实际，核心考查方程思想的应用，解题关键是准确梳理轮胎交换前后的磨损规则，找准总磨损量为单位“1”的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知每个新轮胎报废时总磨损量为单位“1”，行驶每千米的磨损量=总磨损量÷轮胎最大可行驶里程，直接代入对应里程计算即可。
(2) 要使两对轮胎同时报废，需保证每对轮胎交换前后的总磨损量之和恰好为1。设行驶$x$ km时交换轮胎，交换后再行驶$y$ km轮胎报废：原先安装在前轮的轮胎，前$x$ km按前轮磨损标准损耗，后$y$ km换到后轮按后轮磨损标准损耗，总磨损量为1；原先安装在后轮的轮胎，前$x$ km按后轮磨损标准损耗，后$y$ km换到前轮按前轮磨损标准损耗，总磨损量也为1。据此列出二元一次方程组，求解得到$x$、$y$的值，总行驶里程即为$x+y$。
【解析】
(1) 前轮行驶每千米磨损量为$1÷60000=\frac{1}{60000}$，后轮行驶每千米磨损量为$1÷80000=\frac{1}{80000}$。
(2) 设应在汽车行驶里程达到$x$ km时交换前、后轮轮胎，再行驶$y$ km后两对轮胎同时报废。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x}{60000}+\dfrac{y}{80000}=1, \\\dfrac{x}{80000}+\dfrac{y}{60000}=1.\end{cases}$
给方程组两边同时乘240000消去分母，得$\begin{cases}4x+3y=240000\\3x+4y=240000\end{cases}$，两式相减得$x=y$，代入方程解得$\begin{cases}x=\dfrac{240000}{7}, \\y=\dfrac{240000}{7},\end{cases}$
则总行驶里程$x+y=\dfrac{240000}{7}+\dfrac{240000}{7}=\dfrac{480000}{7}$。
答：应在汽车行驶里程达到$\dfrac{240000}{7}$ km时交换前、后轮轮胎，能使两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为$\dfrac{480000}{7}$ km。
【答案】
(1) $\frac{1}{60000}$；$\frac{1}{80000}$
(2) 交换时行驶里程为$\frac{240000}{7}$ km，总行驶里程为$\frac{480000}{7}$ km
【知识点】
单位“1”的应用；二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题结合生活中的轮胎换位场景命题，贴近生活实际，核心考查方程思想的应用，解题关键是准确梳理轮胎交换前后的磨损规则，找准总磨损量为单位“1”的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
12. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4 kg荔枝，每个小箱装3 kg荔枝.该果农现采摘有32 kg荔枝，根据市场销售需求，大、小箱都需要且都装满，则所装的箱数最多为 （
A.8箱
B.9箱
C.10箱
D.11箱
C
）A.8箱
B.9箱
C.10箱
D.11箱
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们需要根据总重量的等量关系列出方程，再结合“大、小箱都需要且都装满”的限制，明确未知数都是正整数。题目要求箱数最多，因为单个小箱装的重量更少，相同总重量下用更多小箱就能得到更多总箱数，所以我们需要在满足方程的正整数解里，找到总箱数最大的组合即可。
【解析】
设需要大箱$x$个，小箱$y$个，$x$、$y$均为正整数（因为大、小箱都需要）。
根据总重量为32kg，可列方程：
$4x + 3y = 32$
整理得：$y = \frac{32 - 4x}{3}$
因为$y$是正整数，所以$32-4x$必须是3的正整数倍，且$32-4x＞0$，即$x＜8$，$x$可取1到7的正整数。
逐个验证$x$的取值：
$x=1$时，$32-4×1=28$，28不是3的倍数，舍去；
$x=2$时，$32-4×2=24$，$y=24÷3=8$，总箱数$=2+8=10$；
$x=3$时，$32-4×3=20$，20不是3的倍数，舍去；
$x=4$时，$32-4×4=16$，16不是3的倍数，舍去；
$x=5$时，$32-4×5=12$，$y=12÷3=4$，总箱数$=5+4=9$；
$x=6$时，$32-4×6=8$，8不是3的倍数，舍去；
$x=7$时，$32-4×7=4$，4不是3的倍数，舍去。
对比可得，最大总箱数为10箱。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；正整数解；方案优化
【点评】
本题的解题核心是根据题意建立等量关系，结合正整数的限制筛选出所有可行的装箱方案，再按照“箱数最多”的要求选出最优解，解题时要注意题目中“大、小箱都需要”的约束条件，避免出现其中一种箱子数量为0的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们需要根据总重量的等量关系列出方程，再结合“大、小箱都需要且都装满”的限制，明确未知数都是正整数。题目要求箱数最多，因为单个小箱装的重量更少，相同总重量下用更多小箱就能得到更多总箱数，所以我们需要在满足方程的正整数解里，找到总箱数最大的组合即可。
【解析】
设需要大箱$x$个，小箱$y$个，$x$、$y$均为正整数（因为大、小箱都需要）。
根据总重量为32kg，可列方程：
$4x + 3y = 32$
整理得：$y = \frac{32 - 4x}{3}$
因为$y$是正整数，所以$32-4x$必须是3的正整数倍，且$32-4x＞0$，即$x＜8$，$x$可取1到7的正整数。
逐个验证$x$的取值：
$x=1$时，$32-4×1=28$，28不是3的倍数，舍去；
$x=2$时，$32-4×2=24$，$y=24÷3=8$，总箱数$=2+8=10$；
$x=3$时，$32-4×3=20$，20不是3的倍数，舍去；
$x=4$时，$32-4×4=16$，16不是3的倍数，舍去；
$x=5$时，$32-4×5=12$，$y=12÷3=4$，总箱数$=5+4=9$；
$x=6$时，$32-4×6=8$，8不是3的倍数，舍去；
$x=7$时，$32-4×7=4$，4不是3的倍数，舍去。
对比可得，最大总箱数为10箱。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；正整数解；方案优化
【点评】
本题的解题核心是根据题意建立等量关系，结合正整数的限制筛选出所有可行的装箱方案，再按照“箱数最多”的要求选出最优解，解题时要注意题目中“大、小箱都需要”的约束条件，避免出现其中一种箱子数量为0的错误。
【难度系数】
0.7
