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13. (数学文化)“九宫图”传说是远古时代洛河中一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.数学上的“九宫图”是一个$3×3$表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方.如图所示的是一个三阶幻方的一部分，则$x+y$的值为 （
A.0
B.－4
C.－4或9
D.9
A
）A.0
B.－4
C.－4或9
D.9
答案
13.A
解析
【分析】
解题的核心是利用三阶幻方的性质：每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等。首先找到三个数全部已知的线，计算出统一的和（即幻和），再根据幻和分别列方程求出x、y的值，最后计算x+y即可。
我们首先观察右上到左下的对角线，三个数3、-1、-5均已知，可先算出幻和，再用第一列的和等于幻和求x，用左上到右下的对角线和等于幻和求y。
【解析】
1. 计算幻和：
右上到左下对角线的三个数之和为：$3+(-1)+(-5)=-3$，根据三阶幻方性质，所有行、列、对角线的三数之和均为-3。
2. 求x的值：
第一列三个数0、x、-5的和为-3，列方程：
$0+x+(-5)=-3$
解得：$x=2$
3. 求y的值：
左上到右下对角线三个数0、-1、y的和为-3，列方程：
$0+(-1)+y=-3$
解得：$y=-2$
4. 计算$x+y$：
$x+y=2+(-2)=0$
【答案】
A
【知识点】
三阶幻方性质、一元一次方程应用、有理数加减运算
【点评】
本题结合传统数学文化考查幻方的基本应用，解题关键是先通过已知的完整线段求出幻和，再利用幻和的性质求解未知数，属于对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用三阶幻方的性质：每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等。首先找到三个数全部已知的线，计算出统一的和（即幻和），再根据幻和分别列方程求出x、y的值，最后计算x+y即可。
我们首先观察右上到左下的对角线，三个数3、-1、-5均已知，可先算出幻和，再用第一列的和等于幻和求x，用左上到右下的对角线和等于幻和求y。
【解析】
1. 计算幻和：
右上到左下对角线的三个数之和为：$3+(-1)+(-5)=-3$，根据三阶幻方性质，所有行、列、对角线的三数之和均为-3。
2. 求x的值：
第一列三个数0、x、-5的和为-3，列方程：
$0+x+(-5)=-3$
解得：$x=2$
3. 求y的值：
左上到右下对角线三个数0、-1、y的和为-3，列方程：
$0+(-1)+y=-3$
解得：$y=-2$
4. 计算$x+y$：
$x+y=2+(-2)=0$
【答案】
A
【知识点】
三阶幻方性质、一元一次方程应用、有理数加减运算
【点评】
本题结合传统数学文化考查幻方的基本应用，解题关键是先通过已知的完整线段求出幻和，再利用幻和的性质求解未知数，属于对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
14. (数学文化)我国古代《孙子算经》中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘1辆车，则空2辆车；若2个人乘1辆车，则有9个人要步行，求人数和车数.有下列解题方案：
①设车数为$ x $，列方程为$ 3(x - 2) = 2x + 9 $；
②设人数为$ y $，列方程为$ \frac{y}{3} + 2 = \frac{y - 9}{2} $；
③设车数为$ x $，人数为$ y $，列方程组为$\begin{cases} y = 3(x - 2), \\ 2x = y + 9; \end{cases}$
④设人数为$ x $，车数为$ y $，列方程组为$\begin{cases} x = 3(y - 2), \\ 2y = x - 9. \end{cases}$
其中正确的有（
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④
①设车数为$ x $，列方程为$ 3(x - 2) = 2x + 9 $；
②设人数为$ y $，列方程为$ \frac{y}{3} + 2 = \frac{y - 9}{2} $；
③设车数为$ x $，人数为$ y $，列方程组为$\begin{cases} y = 3(x - 2), \\ 2x = y + 9; \end{cases}$
④设人数为$ x $，车数为$ y $，列方程组为$\begin{cases} x = 3(y - 2), \\ 2y = x - 9. \end{cases}$
其中正确的有（
D
）A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④
答案
14.D
解析
【分析】
本题是方程（组）列写正误判断题，解题核心是抓住题干中两个不变量：总人数和总车数。我们只需对每个方案的设元方式，分别用两种乘车场景表示同一个不变量（总人数或总车数），验证等式是否成立即可判断对错。
【解析】
我们逐个判断4个解题方案：
1. 方案①：设车数为$x$，总人数为不变量。
3人共车空2辆时，实际使用$(x-2)$辆车，总人数为$3(x-2)$；
2人共车9人步行时，坐车人数为$2x$，总人数为$2x+9$；
因此列方程$3(x-2)=2x+9$，①正确。
2. 方案②：设人数为$y$，总车数为不变量。
3人共车空2辆时，总车数为$\frac{y}{3}+2$；
2人共车9人步行时，坐车人数为$y-9$，总车数为$\frac{y-9}{2}$；
因此列方程$\frac{y}{3}+2=\frac{y-9}{2}$，②正确。
3. 方案③：设车数为$x$，人数为$y$。
第一个方程$y=3(x-2)$符合3人共车的场景，正确；
第二个方程对应2人共车场景：总人数$y$等于坐车人数$2x$加步行人数9，即$y=2x+9$，变形得$2x=y-9$，但方案中写的是$2x=y+9$，③错误。
4. 方案④：设人数为$x$，车数为$y$。
第一个方程$x=3(y-2)$符合3人共车空2辆的场景，正确；
第二个方程对应2人共车场景：坐车人数$2y$等于总人数$x$减步行人数9，即$2y=x-9$，正确，因此④正确。
综上，①②④正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组应用，等量关系判断
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查根据实际问题列方程（组）的能力，解题的关键是找准题目中隐藏的不变量，结合不同场景列写等量关系即可，注意要仔细核对方程变形是否正确，避免看错符号出错。
【难度系数】
0.7
本题是方程（组）列写正误判断题，解题核心是抓住题干中两个不变量：总人数和总车数。我们只需对每个方案的设元方式，分别用两种乘车场景表示同一个不变量（总人数或总车数），验证等式是否成立即可判断对错。
【解析】
我们逐个判断4个解题方案：
1. 方案①：设车数为$x$，总人数为不变量。
3人共车空2辆时，实际使用$(x-2)$辆车，总人数为$3(x-2)$；
2人共车9人步行时，坐车人数为$2x$，总人数为$2x+9$；
因此列方程$3(x-2)=2x+9$，①正确。
2. 方案②：设人数为$y$，总车数为不变量。
3人共车空2辆时，总车数为$\frac{y}{3}+2$；
2人共车9人步行时，坐车人数为$y-9$，总车数为$\frac{y-9}{2}$；
因此列方程$\frac{y}{3}+2=\frac{y-9}{2}$，②正确。
3. 方案③：设车数为$x$，人数为$y$。
第一个方程$y=3(x-2)$符合3人共车的场景，正确；
第二个方程对应2人共车场景：总人数$y$等于坐车人数$2x$加步行人数9，即$y=2x+9$，变形得$2x=y-9$，但方案中写的是$2x=y+9$，③错误。
4. 方案④：设人数为$x$，车数为$y$。
第一个方程$x=3(y-2)$符合3人共车空2辆的场景，正确；
第二个方程对应2人共车场景：坐车人数$2y$等于总人数$x$减步行人数9，即$2y=x-9$，正确，因此④正确。
综上，①②④正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组应用，等量关系判断
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查根据实际问题列方程（组）的能力，解题的关键是找准题目中隐藏的不变量，结合不同场景列写等量关系即可，注意要仔细核对方程变形是否正确，避免看错符号出错。
【难度系数】
0.7
15.某工厂去年的总产值比总支出多500万元,由于今年总产值比去年增加了15%,总支出比去年节约了10%,因此今年总产值比总支出多950万元.
(1)设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,请填写下表:
| 年份 | 总产值/万元 | 总支出/万元 | 差/万元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 去年 | x |
y | 500 |
| 今年 |
(2)求今年的总产值和总支出.
(1)设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,请填写下表:
| 年份 | 总产值/万元 | 总支出/万元 | 差/万元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 去年 | x |
y | 500 || 今年 |
$(1+15\%)x$
| $(1-10\%)y$
| 950
|(2)求今年的总产值和总支出.
答案
15.(1)$(1+15\%)x$ $(1-10\%)y$ 950
(2)解:根据题意,得$\begin{cases}(1+15\%)x-(1-10\%)y=950, \\x-y=500,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2000, \\y=1500.\end{cases}$
$(1+15\%)×2000=2300$(万元),$(1-10\%)×1500=1350$(万元).
答:今年的总产值为 2 300 万元,总支出为 1 350 万元.
(2)解:根据题意,得$\begin{cases}(1+15\%)x-(1-10\%)y=950, \\x-y=500,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2000, \\y=1500.\end{cases}$
$(1+15\%)×2000=2300$(万元),$(1-10\%)×1500=1350$(万元).
答:今年的总产值为 2 300 万元,总支出为 1 350 万元.
解析
【分析】
(1) 首先思考各量的关系：今年总产值比去年增加15%，就是在去年总产值x的基础上增加15%，因此今年总产值为去年的(1+15%)倍；总支出比去年节约10%，就是在去年总支出y的基础上减少10%，因此今年总支出为去年的(1-10%)倍；题目明确给出今年总产值比总支出多950万元，因此差为950。
(2) 解题思路：先找两个等量关系，一是去年总产值-去年总支出=500万元，二是今年总产值-今年总支出=950万元，据此列二元一次方程组，解出x、y即去年的总产值和总支出，再代入今年的产值、支出表达式计算即可。
【解析】
(1) 今年总产值：$x×(1+15\%)=(1+15\%)x$；
今年总支出：$y×(1-10\%)=(1-10\%)y$；
今年总产值与总支出的差已知为950万元。
(2) 解：根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x-y=500\\(1+15\%)x-(1-10\%)y=950\end{cases}$
由第一个方程可得$x=y+500$，代入第二个方程：
$1.15(y+500)-0.9y=950$
展开计算得：$1.15y+575-0.9y=950$
合并同类项得：$0.25y=375$，解得$y=1500$
则$x=1500+500=2000$
计算今年的产值和支出：
今年总产值：$(1+15\%)×2000=2300$（万元）
今年总支出：$(1-10\%)×1500=1350$（万元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1+15\%)x}$；$\boldsymbol{(1-10\%)y}$；$\boldsymbol{950}$
(2) 今年的总产值为2300万元，总支出为1350万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；百分数实际应用
【点评】
本题属于增长率类的常规应用题，解题的关键是准确梳理不同年份的总产值、总支出之间的数量关系，找准等量关系列方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
(1) 首先思考各量的关系：今年总产值比去年增加15%，就是在去年总产值x的基础上增加15%，因此今年总产值为去年的(1+15%)倍；总支出比去年节约10%，就是在去年总支出y的基础上减少10%，因此今年总支出为去年的(1-10%)倍；题目明确给出今年总产值比总支出多950万元，因此差为950。
(2) 解题思路：先找两个等量关系，一是去年总产值-去年总支出=500万元，二是今年总产值-今年总支出=950万元，据此列二元一次方程组，解出x、y即去年的总产值和总支出，再代入今年的产值、支出表达式计算即可。
【解析】
(1) 今年总产值：$x×(1+15\%)=(1+15\%)x$；
今年总支出：$y×(1-10\%)=(1-10\%)y$；
今年总产值与总支出的差已知为950万元。
(2) 解：根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x-y=500\\(1+15\%)x-(1-10\%)y=950\end{cases}$
由第一个方程可得$x=y+500$，代入第二个方程：
$1.15(y+500)-0.9y=950$
展开计算得：$1.15y+575-0.9y=950$
合并同类项得：$0.25y=375$，解得$y=1500$
则$x=1500+500=2000$
计算今年的产值和支出：
今年总产值：$(1+15\%)×2000=2300$（万元）
今年总支出：$(1-10\%)×1500=1350$（万元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1+15\%)x}$；$\boldsymbol{(1-10\%)y}$；$\boldsymbol{950}$
(2) 今年的总产值为2300万元，总支出为1350万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；百分数实际应用
【点评】
本题属于增长率类的常规应用题，解题的关键是准确梳理不同年份的总产值、总支出之间的数量关系，找准等量关系列方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
