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16.综合与实践:根据以下素材,探索并完成任务.
如何设计板材裁切方案
素材1
图(1)是一张学生椅示意图,主要由靠背、坐垫及铁架组成.经测量,该款学生椅的靠背尺寸为 40 cm×15 cm,坐垫尺寸为 40 cm×35 cm.图(2)是靠背与坐垫的尺寸示意图
素材2
因学校需要,某工厂配合制作该款式学生椅.清点库存时发现,工厂仓库已有大量的学生椅铁架,只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与坐垫.已知该板材长为 240 cm,宽为 40 cm(裁切时不计损耗 )
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要求不造成板材浪费,请你设计出一张该板材的所有裁切方法.
方法一:裁切靠背 16 张和坐垫 0 张；
方法二:裁切靠背
方法三:裁切靠背
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进 50 张该型号板材,能制成多少张学生椅
任务三
解决实际问题
现需要制作 700 张学生椅,该工厂仓库现有 1 张坐垫和 11 张靠背,还需要购买该型号板材多少张(恰好全部用完)?并给出一种裁切方案
如何设计板材裁切方案
素材1
图(1)是一张学生椅示意图,主要由靠背、坐垫及铁架组成.经测量,该款学生椅的靠背尺寸为 40 cm×15 cm,坐垫尺寸为 40 cm×35 cm.图(2)是靠背与坐垫的尺寸示意图
素材2
因学校需要,某工厂配合制作该款式学生椅.清点库存时发现,工厂仓库已有大量的学生椅铁架,只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与坐垫.已知该板材长为 240 cm,宽为 40 cm(裁切时不计
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要求不造成板材浪费,请你设计出一张该板材的所有裁切方法.
方法一:裁切靠背 16 张和坐垫 0 张；
方法二:裁切靠背
9
张和坐垫3
张；方法三:裁切靠背
2
张和坐垫6
张任务二
确定搭配数量
若该工厂购进 50 张该型号板材,能制成多少张学生椅
任务三
解决实际问题
现需要制作 700 张学生椅,该工厂仓库现有 1 张坐垫和 11 张靠背,还需要购买该型号板材多少张(恰好全部用完)?并给出一种裁切方案
答案
16.解:任务一:
设 1 张该板材裁切靠背 m 张,坐垫 n 张,
根据题意,得 $15m+35n=240$,$\therefore n=\dfrac{48-3m}{7}.$
$\because m,n$ 为非负整数,$\therefore \begin{cases}m=16, \\n=0\end{cases}$ 或$\begin{cases}m=9, \\n=3\end{cases}$ 或$\begin{cases}m=2, \\n=6.\end{cases}$
$\therefore$方法二:裁切靠背 9 张和坐垫 3 张;
方法三:裁切靠背 2 张和坐垫 6 张.
故答案为 9,3;2,6.
任务二:
$\because \dfrac{50×240}{35+15}=240$(张),$\therefore$该工厂购进 50 张该型号板材,能制成 240 张学生椅.
任务三:
设 x 张板材用方法二裁切,y 张板材用方法三裁切,
根据题意,得$\begin{cases}9x+2y=700-11, \\3x+6y=700-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=57, \\y=88.\end{cases}$
$\because 57+88=145$(张),
$\therefore$需要购买该型号板材 145 张,用其中 57 张板材按方法二裁切,88 张板材按方法三裁切.
设 1 张该板材裁切靠背 m 张,坐垫 n 张,
根据题意,得 $15m+35n=240$,$\therefore n=\dfrac{48-3m}{7}.$
$\because m,n$ 为非负整数,$\therefore \begin{cases}m=16, \\n=0\end{cases}$ 或$\begin{cases}m=9, \\n=3\end{cases}$ 或$\begin{cases}m=2, \\n=6.\end{cases}$
$\therefore$方法二:裁切靠背 9 张和坐垫 3 张;
方法三:裁切靠背 2 张和坐垫 6 张.
故答案为 9,3;2,6.
任务二:
$\because \dfrac{50×240}{35+15}=240$(张),$\therefore$该工厂购进 50 张该型号板材,能制成 240 张学生椅.
任务三:
设 x 张板材用方法二裁切,y 张板材用方法三裁切,
根据题意,得$\begin{cases}9x+2y=700-11, \\3x+6y=700-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=57, \\y=88.\end{cases}$
$\because 57+88=145$(张),
$\therefore$需要购买该型号板材 145 张,用其中 57 张板材按方法二裁切,88 张板材按方法三裁切.
解析
【分析】
1. 任务一：观察到板材、靠背、坐垫的宽度均为40cm，裁切时仅需考虑长度240cm的分配：每张靠背占长度15cm，每张坐垫占长度35cm，无浪费即总占用长度刚好为240cm，据此列二元一次方程，求取非负整数解即可得到所有裁切方案。
2. 任务二：1张学生椅需要1个靠背和1个坐垫，制作1套椅面共占用板材长度为$15+35=50\mathrm{cm}$，先计算50张板材的总可用长度，除以每套所需长度即可得到可制作的学生椅数量。
3. 任务三：先计算还需生产的靠背、坐垫数量，由于方法一仅生产靠背无坐垫，无法匹配成椅子，因此仅考虑方法二和方法三，设用方法二、三裁切的板材数分别为$x$、$y$，根据所需靠背、坐垫总数列二元一次方程组，求解后求和即为所需板材总数。
【解析】
任务一
设1张板材可裁切靠背$m$张，坐垫$n$张，根据无浪费的要求列方程：
$15m + 35n = 240$
化简得：$n=\dfrac{48-3m}{7}$
$\because m,n$均为非负整数，代入验证得三组解：$\begin{cases}m=16, \\n=0\end{cases}$，$\begin{cases}m=9, \\n=3\end{cases}$，$\begin{cases}m=2, \\n=6\end{cases}$
因此方法二对应$m=9,n=3$，方法三对应$m=2,n=6$。
任务二
制作1张学生椅共占用板材长度：$15+35=50\mathrm{cm}$
50张板材总可用长度：$50×240=12000\mathrm{cm}$
可制作学生椅数量：$\dfrac{12000}{50}=240$（张）
任务三
还需生产的靠背数量：$700-11=689$（张）
还需生产的坐垫数量：$700-1=699$（张）
设$x$张板材按方法二裁切，$y$张板材按方法三裁切，列方程组：
$\begin{cases}9x+2y=689 \\3x+6y=699\end{cases}$
化简第二个方程得$x+2y=233$，即$x=233-2y$，代入第一个方程解得$y=88$，再代入得$x=57$。
所需板材总数量：$57+88=145$（张）
裁切方案：57张板材按方法二裁切，88张板材按方法三裁切。
【答案】
任务一：$\boxed{9}$，$\boxed{3}$；$\boxed{2}$，$\boxed{6}$
任务二：能制成$\boxed{240}$张学生椅
任务三：还需要购买该型号板材$\boxed{145}$张，裁切方案为用57张板材按方法二裁切，88张板材按方法三裁切（方案合理即可）
【知识点】
二元一次方程整数解，二元一次方程组应用，方案设计
【点评】
本题结合板材裁切的实际场景，考查了方程与方程组的实际应用，解题核心是准确提取等量关系列方程，同时结合实际意义求取整数解，兼具实用性和趣味性，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.6
1. 任务一：观察到板材、靠背、坐垫的宽度均为40cm，裁切时仅需考虑长度240cm的分配：每张靠背占长度15cm，每张坐垫占长度35cm，无浪费即总占用长度刚好为240cm，据此列二元一次方程，求取非负整数解即可得到所有裁切方案。
2. 任务二：1张学生椅需要1个靠背和1个坐垫，制作1套椅面共占用板材长度为$15+35=50\mathrm{cm}$，先计算50张板材的总可用长度，除以每套所需长度即可得到可制作的学生椅数量。
3. 任务三：先计算还需生产的靠背、坐垫数量，由于方法一仅生产靠背无坐垫，无法匹配成椅子，因此仅考虑方法二和方法三，设用方法二、三裁切的板材数分别为$x$、$y$，根据所需靠背、坐垫总数列二元一次方程组，求解后求和即为所需板材总数。
【解析】
任务一
设1张板材可裁切靠背$m$张，坐垫$n$张，根据无浪费的要求列方程：
$15m + 35n = 240$
化简得：$n=\dfrac{48-3m}{7}$
$\because m,n$均为非负整数，代入验证得三组解：$\begin{cases}m=16, \\n=0\end{cases}$，$\begin{cases}m=9, \\n=3\end{cases}$，$\begin{cases}m=2, \\n=6\end{cases}$
因此方法二对应$m=9,n=3$，方法三对应$m=2,n=6$。
任务二
制作1张学生椅共占用板材长度：$15+35=50\mathrm{cm}$
50张板材总可用长度：$50×240=12000\mathrm{cm}$
可制作学生椅数量：$\dfrac{12000}{50}=240$（张）
任务三
还需生产的靠背数量：$700-11=689$（张）
还需生产的坐垫数量：$700-1=699$（张）
设$x$张板材按方法二裁切，$y$张板材按方法三裁切，列方程组：
$\begin{cases}9x+2y=689 \\3x+6y=699\end{cases}$
化简第二个方程得$x+2y=233$，即$x=233-2y$，代入第一个方程解得$y=88$，再代入得$x=57$。
所需板材总数量：$57+88=145$（张）
裁切方案：57张板材按方法二裁切，88张板材按方法三裁切。
【答案】
任务一：$\boxed{9}$，$\boxed{3}$；$\boxed{2}$，$\boxed{6}$
任务二：能制成$\boxed{240}$张学生椅
任务三：还需要购买该型号板材$\boxed{145}$张，裁切方案为用57张板材按方法二裁切，88张板材按方法三裁切（方案合理即可）
【知识点】
二元一次方程整数解，二元一次方程组应用，方案设计
【点评】
本题结合板材裁切的实际场景，考查了方程与方程组的实际应用，解题核心是准确提取等量关系列方程，同时结合实际意义求取整数解，兼具实用性和趣味性，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.6
