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5.(数学文化 )《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问：木长多少尺？设木长$ x $尺，绳子长$ y $尺，则可以列出的方程组为 （
A.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ x + 0.5y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ x - 0.5y = 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4.5, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 4.5, \\ y - x = 1 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ x + 0.5y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ x - 0.5y = 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4.5, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 4.5, \\ y - x = 1 \end{cases}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题核心是从题目描述的两种测量情况中分别提取等量关系，再对应列出方程。首先分析第一种测量情况：用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺，说明绳子长度比木头长度多4.5尺；再分析第二种测量情况：绳子对折后量木头，木头剩余1尺，说明木头长度比对折后的绳子长度多1尺，把两个等量关系用含x、y的式子表示出来即可得到对应方程组。
【解析】
第一步：根据“用绳子量长木，绳子剩余4.5尺”的条件，可得等量关系：绳子长度 - 木长 = 4.5尺，代入x、y可列方程：$y - x = 4.5$，据此排除不符合的C、D选项；
第二步：根据“绳子对折再量长木，长木剩余1尺”的条件，对折后绳子长度为$0.5y$，可得等量关系：木长 - 对折后绳子长度 = 1尺，代入可列方程：$x - 0.5y = 1$；
第三步：联立两个方程，得到的方程组为$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ x - 0.5y = 1 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代数学典籍《孙子算经》的经典问题命题，既渗透了数学文化，又考查了学生从文字描述中梳理数量关系的能力，解题的关键是准确理解两种测量方式下长度的大小关系，避免把等式两边的量写反。
【难度系数】
0.75
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题核心是从题目描述的两种测量情况中分别提取等量关系，再对应列出方程。首先分析第一种测量情况：用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺，说明绳子长度比木头长度多4.5尺；再分析第二种测量情况：绳子对折后量木头，木头剩余1尺，说明木头长度比对折后的绳子长度多1尺，把两个等量关系用含x、y的式子表示出来即可得到对应方程组。
【解析】
第一步：根据“用绳子量长木，绳子剩余4.5尺”的条件，可得等量关系：绳子长度 - 木长 = 4.5尺，代入x、y可列方程：$y - x = 4.5$，据此排除不符合的C、D选项；
第二步：根据“绳子对折再量长木，长木剩余1尺”的条件，对折后绳子长度为$0.5y$，可得等量关系：木长 - 对折后绳子长度 = 1尺，代入可列方程：$x - 0.5y = 1$；
第三步：联立两个方程，得到的方程组为$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ x - 0.5y = 1 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代数学典籍《孙子算经》的经典问题命题，既渗透了数学文化，又考查了学生从文字描述中梳理数量关系的能力，解题的关键是准确理解两种测量方式下长度的大小关系，避免把等式两边的量写反。
【难度系数】
0.75
6. 如图,在数轴上,点A,B分别表示数a,b,且$a+b=0$.若$AB=8$,则
点A表示的数为 （
A.$-4$
B.$8$
C.$4$
D.$-8$
点A表示的数为 （
A
）A.$-4$
B.$8$
C.$4$
D.$-8$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：若两个数的和为0，说明这两个数互为相反数；数轴上右边的数大于左边的数，两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。首先根据$a+b=0$得到$a$和$b$互为相反数，即$b=-a$，再结合$AB=8$的条件列等式计算$a$的值即可。
【解析】
因为$a+b=0$，根据相反数的性质可知$b=-a$，且$a$、$b$符号相反。
从数轴可得点A在点B左侧，因此两点距离$AB = b - a = 8$。
将$b=-a$代入距离公式得：$-a - a = 8$，
合并同类项得$-2a = 8$，
解得$a=-4$，即点A表示的数是-4。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；数轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础题，结合相反数性质和数轴两点距离的知识点进行考查，解题核心是先通过两数和为0确定两数的关系，再结合距离条件列式求解。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆相关性质：若两个数的和为0，说明这两个数互为相反数；数轴上右边的数大于左边的数，两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。首先根据$a+b=0$得到$a$和$b$互为相反数，即$b=-a$，再结合$AB=8$的条件列等式计算$a$的值即可。
【解析】
因为$a+b=0$，根据相反数的性质可知$b=-a$，且$a$、$b$符号相反。
从数轴可得点A在点B左侧，因此两点距离$AB = b - a = 8$。
将$b=-a$代入距离公式得：$-a - a = 8$，
合并同类项得$-2a = 8$，
解得$a=-4$，即点A表示的数是-4。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；数轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础题，结合相反数性质和数轴两点距离的知识点进行考查，解题核心是先通过两数和为0确定两数的关系，再结合距离条件列式求解。
【难度系数】
0.85
7.《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述:程途八百里,朝去暮还来.某日,戴宗去160里之外的地方打探情报,去时顺风,用了2 h;回来时逆风,用了4 h,则戴宗在无风时的平均速度为
60
里/h.答案
7.60
解析
【分析】
本题属于顺风逆风场景下的行程问题，解题核心是明确三类速度的关系：顺风速度=无风时的速度+风速，逆风速度=无风时的速度-风速。我们可以先根据路程和时间分别算出顺风、逆风的行驶速度，再通过两类速度和无风速度的等量关系求解，也可通过设未知数列方程解答。
【解析】
第一步：先计算顺风、逆风的行驶速度
根据速度=路程÷时间：
去时顺风速度：$160 ÷ 2 = 80$（里/h）
回时逆风速度：$160 ÷ 4 = 40$（里/h）
第二步：列式求解无风时的平均速度
根据速度关系可知，顺风速度+逆风速度=2×无风时的速度，因此无风时的平均速度为：
$(80+40)÷2 = 60$（里/h）
（也可列二元一次方程组求解：设无风速度为$x$里/h，风速为$y$里/h，列方程组$\begin{cases}x+y=80\\x-y=40\end{cases}$，消元后解得$x=60$）
【答案】
60
【知识点】
行程问题；速度计算；方程组应用
【点评】
本题结合古典名著情境考查基础行程类问题，只要理清顺风、逆风、无风三类速度的数量关系，就能快速求出结果，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题属于顺风逆风场景下的行程问题，解题核心是明确三类速度的关系：顺风速度=无风时的速度+风速，逆风速度=无风时的速度-风速。我们可以先根据路程和时间分别算出顺风、逆风的行驶速度，再通过两类速度和无风速度的等量关系求解，也可通过设未知数列方程解答。
【解析】
第一步：先计算顺风、逆风的行驶速度
根据速度=路程÷时间：
去时顺风速度：$160 ÷ 2 = 80$（里/h）
回时逆风速度：$160 ÷ 4 = 40$（里/h）
第二步：列式求解无风时的平均速度
根据速度关系可知，顺风速度+逆风速度=2×无风时的速度，因此无风时的平均速度为：
$(80+40)÷2 = 60$（里/h）
（也可列二元一次方程组求解：设无风速度为$x$里/h，风速为$y$里/h，列方程组$\begin{cases}x+y=80\\x-y=40\end{cases}$，消元后解得$x=60$）
【答案】
60
【知识点】
行程问题；速度计算；方程组应用
【点评】
本题结合古典名著情境考查基础行程类问题，只要理清顺风、逆风、无风三类速度的数量关系，就能快速求出结果，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
8.一个两位数，十位上的数比个位上的数大3，个位上的数与十位上的数的和为7，这个两位数是
52
.答案
8.52
解析
【分析】
本题是数位相关的应用题，可通过列一元一次方程求解，解题思路如下：首先设出个位或十位上的数字为未知数，根据“十位上的数比个位上的数大3”表示出另一个数位的数字，再根据“两个数位上的数字之和为7”这一等量关系列方程，解方程求出两个数位的数字后，结合两位数的表示方法（十位数字×10+个位数字）即可得到结果。
【解析】
设这个两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x+3$。
根据题意，个位数字与十位数字的和为7，可列方程：
$x + (x+3) = 7$
化简得：$2x + 3 = 7$
移项计算：$2x = 7 - 3 = 4$
解得：$x = 2$
则十位上的数字为$x + 3 = 2 + 3 = 5$
所以这个两位数为$5×10 + 2 = 52$
【答案】
52
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础的数字应用类题目，核心是找准题目给出的两个等量关系，合理设未知数建立方程求解，需要注意两位数的表示规则，避免直接把两个数位数字拼接的错误。
【难度系数】
0.9
本题是数位相关的应用题，可通过列一元一次方程求解，解题思路如下：首先设出个位或十位上的数字为未知数，根据“十位上的数比个位上的数大3”表示出另一个数位的数字，再根据“两个数位上的数字之和为7”这一等量关系列方程，解方程求出两个数位的数字后，结合两位数的表示方法（十位数字×10+个位数字）即可得到结果。
【解析】
设这个两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x+3$。
根据题意，个位数字与十位数字的和为7，可列方程：
$x + (x+3) = 7$
化简得：$2x + 3 = 7$
移项计算：$2x = 7 - 3 = 4$
解得：$x = 2$
则十位上的数字为$x + 3 = 2 + 3 = 5$
所以这个两位数为$5×10 + 2 = 52$
【答案】
52
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础的数字应用类题目，核心是找准题目给出的两个等量关系，合理设未知数建立方程求解，需要注意两位数的表示规则，避免直接把两个数位数字拼接的错误。
【难度系数】
0.9
9.端午节是中国的传统节日,人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽,请依据以下对话,求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.
答案
9.解:设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为 x 元、y 元，
由题意,得 $\begin{cases}(10x+5y)×0.8=160, \\x-y=5.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=15, \\y=10.\end{cases}$
答:促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为 15 元、10 元.
由题意,得 $\begin{cases}(10x+5y)×0.8=160, \\x-y=5.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=15, \\y=10.\end{cases}$
答:促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为 15 元、10 元.
解析
【分析】
这是一道利用二元一次方程组解决的实际应用题，解题思路如下：首先我们需要求解两个未知量（瘦肉粽、五花肉粽促销前的售价），因此可以设两个未知数，再从题干中找两个等量关系列方程组：①促销前每个瘦肉粽比五花肉粽贵5元；②打八折后，10个瘦肉粽和5个五花肉粽的总花费为160元，八折即原价总和乘0.8。列出方程组后用加减消元法或代入消元法求解，最后验证结果是否符合实际即可。
【解析】
解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}(10x+5y)×0.8=160 \\x-y=5\end{cases}$
先化简第一个方程：两边同时除以0.8得$10x+5y=200$，再两边同时除以5得$2x+y=40$ ③。
将第二个方程$x-y=5$和③相加，得$3x=45$，解得$x=15$。
把$x=15$代入$x-y=5$，得$15-y=5$，解得$y=10$。
经检验，$x=15$、$y=10$符合题意。
【答案】
促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，每个五花肉粽的售价为10元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；打折销售计算；解二元一次方程组
【点评】
本题结合节日促销的生活场景出题，属于方程应用类基础题，重点考查学生提取有效信息、建立等量关系解决实际问题的能力，解题的关键是准确找到两个对应的等量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二元一次方程组解决的实际应用题，解题思路如下：首先我们需要求解两个未知量（瘦肉粽、五花肉粽促销前的售价），因此可以设两个未知数，再从题干中找两个等量关系列方程组：①促销前每个瘦肉粽比五花肉粽贵5元；②打八折后，10个瘦肉粽和5个五花肉粽的总花费为160元，八折即原价总和乘0.8。列出方程组后用加减消元法或代入消元法求解，最后验证结果是否符合实际即可。
【解析】
解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}(10x+5y)×0.8=160 \\x-y=5\end{cases}$
先化简第一个方程：两边同时除以0.8得$10x+5y=200$，再两边同时除以5得$2x+y=40$ ③。
将第二个方程$x-y=5$和③相加，得$3x=45$，解得$x=15$。
把$x=15$代入$x-y=5$，得$15-y=5$，解得$y=10$。
经检验，$x=15$、$y=10$符合题意。
【答案】
促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，每个五花肉粽的售价为10元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；打折销售计算；解二元一次方程组
【点评】
本题结合节日促销的生活场景出题，属于方程应用类基础题，重点考查学生提取有效信息、建立等量关系解决实际问题的能力，解题的关键是准确找到两个对应的等量关系。
【难度系数】
0.7
10.劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，李华知道了科学膳食与身体健康密切相关.他准备为妈妈制作一份能量为510千卡(1千卡＝1 000卡)、总质量为360 g的营养早餐.现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所示：
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中鸡蛋约60 g，请你帮助李华计算这份早餐中需要牛奶和谷物各多少克.
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中鸡蛋约60 g，请你帮助李华计算这份早餐中需要牛奶和谷物各多少克.
答案
10.解:设这份早餐中需要牛奶 x g,谷物 y g.
根据题意,得 $\begin{cases}x+y+60=360, \\0.6x+3y+1.5×60=510.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=200, \\y=100.\end{cases}$
答:这份早餐中需要牛奶 200 g,谷物 100 g.
根据题意,得 $\begin{cases}x+y+60=360, \\0.6x+3y+1.5×60=510.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=200, \\y=100.\end{cases}$
答:这份早餐中需要牛奶 200 g,谷物 100 g.
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的两个核心等量关系：①三种食材的总质量为360g；②三种食材的总能量为510千卡。已知鸡蛋质量为60g，我们可以设牛奶质量为x g，谷物质量为y g，分别将两个等量关系转化为方程，组成二元一次方程组，再解方程组就能得到牛奶和谷物的质量。
【解析】
解：设这份早餐中需要牛奶x g，谷物y g。
根据总质量的等量关系列方程：$x + y + 60 = 360$
根据总能量的等量关系，鸡蛋总能量为$1.5×60$千卡，牛奶总能量为$0.6x$千卡，谷物总能量为$3y$千卡，列方程：$0.6x + 3y + 1.5×60 = 510$
联立得方程组：
$\begin{cases}x+y+60=360, \\0.6x+3y+90=510.\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}x+y=300&①, \\0.6x+3y=420&②.\end{cases}$
由①得$x=300-y$，代入②：
$0.6×(300-y)+3y=420$
$180-0.6y+3y=420$
$2.4y=240$
解得$y=100$
将$y=100$代入$x=300-y$，得$x=300-100=200$
即方程组的解为$\begin{cases}x=200, \\y=100.\end{cases}$
【答案】
这份早餐中需要牛奶200 g，谷物100 g。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的膳食搭配场景出题，属于基础应用题，解题的核心是准确找到题目中隐藏的总质量、总能量两个等量关系，将实际问题转化为数学方程组求解，能锻炼学生将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目中的两个核心等量关系：①三种食材的总质量为360g；②三种食材的总能量为510千卡。已知鸡蛋质量为60g，我们可以设牛奶质量为x g，谷物质量为y g，分别将两个等量关系转化为方程，组成二元一次方程组，再解方程组就能得到牛奶和谷物的质量。
【解析】
解：设这份早餐中需要牛奶x g，谷物y g。
根据总质量的等量关系列方程：$x + y + 60 = 360$
根据总能量的等量关系，鸡蛋总能量为$1.5×60$千卡，牛奶总能量为$0.6x$千卡，谷物总能量为$3y$千卡，列方程：$0.6x + 3y + 1.5×60 = 510$
联立得方程组：
$\begin{cases}x+y+60=360, \\0.6x+3y+90=510.\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}x+y=300&①, \\0.6x+3y=420&②.\end{cases}$
由①得$x=300-y$，代入②：
$0.6×(300-y)+3y=420$
$180-0.6y+3y=420$
$2.4y=240$
解得$y=100$
将$y=100$代入$x=300-y$，得$x=300-100=200$
即方程组的解为$\begin{cases}x=200, \\y=100.\end{cases}$
【答案】
这份早餐中需要牛奶200 g，谷物100 g。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的膳食搭配场景出题，属于基础应用题，解题的核心是准确找到题目中隐藏的总质量、总能量两个等量关系，将实际问题转化为数学方程组求解，能锻炼学生将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.8
