登录
1. 下列各式:① $\frac{2}{x}$, ② $\frac{x+y}{5}$, ③ $\frac{1}{2-a}$, ④ $\frac{x}{π-1}$中,是分式的有 （）
A.①②
B.③④
C.①③
D.①②③④
A.①②
B.③④
C.①③
D.①②③④
答案
C
解析
根据分式定义：分母中含有字母的式子是分式。①$\frac{2}{x}$分母含字母x，是分式；②$\frac{x+y}{5}$分母是常数5，不是分式；③$\frac{1}{2-a}$分母含字母a，是分式；④$\frac{x}{π-1}$中π是常数，分母是常数，不是分式。故分式为①③。
2. 要使式子$\frac{x}{x-2}$有意义，则 （）
A.$x≠0$
B.$x≠2$
C.$x＞2$
D.$x＞0$
A.$x≠0$
B.$x≠2$
C.$x＞2$
D.$x＞0$
答案
B
解析
分式有意义的条件是分母不为0，对于式子$\frac{x}{x-2}$，分母为$x-2$，则$x-2≠0$，解得$x≠2$。
3. 下列各分式中,是最简分式的是 （）
答案
D
解析
根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一分析各选项：
选项A：$\frac{xy}{x^2}$，分子分母有公因式$x$，可化简为$\frac{y}{x}$，不是最简分式；
选项B：$\frac{y^2+y}{xy}=\frac{y(y+1)}{xy}$，分子分母有公因式$y$，可化简为$\frac{y+1}{x}$，不是最简分式；
选项C：$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，分子分母有公因式$x+y$，可化简为$x-y$，不是最简分式；
选项D：$\frac{x^2+y^2}{x+y}$，分子$x^2+y^2$无法因式分解，与分母$x+y$没有公因式，是最简分式。
选项A：$\frac{xy}{x^2}$，分子分母有公因式$x$，可化简为$\frac{y}{x}$，不是最简分式；
选项B：$\frac{y^2+y}{xy}=\frac{y(y+1)}{xy}$，分子分母有公因式$y$，可化简为$\frac{y+1}{x}$，不是最简分式；
选项C：$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，分子分母有公因式$x+y$，可化简为$x-y$，不是最简分式；
选项D：$\frac{x^2+y^2}{x+y}$，分子$x^2+y^2$无法因式分解，与分母$x+y$没有公因式，是最简分式。
4. 分式$\frac{1}{2x-2}$与$\frac{1}{1-x}$的最简公分母是（）
A.$2(x-1)$
B.$x^2 - 1$
C.$x - 1$
D.$2(x - 1)^2$
A.$2(x-1)$
B.$x^2 - 1$
C.$x - 1$
D.$2(x - 1)^2$
答案
A
解析
先对两个分式的分母因式分解：$2x-2=2(x-1)$，$1-x=-(x-1)$；最简公分母需取各分母系数的最小公倍数（2和1的最小公倍数为2），相同因式的最高次幂（$(x-1)$的最高次幂为1次），因此最简公分母是$2(x-1)$。
5. 若分式$\dfrac{|m|-6}{m-6}$的值为0，则$m$的值为________.
答案
$-6$
解析
要使分式$\dfrac{|m|-6}{m-6}$的值为0，需同时满足两个条件：①分子为0，即$|m| -6 =0$，解得$m=6$或$m=-6$；②分母不为0，即$m -6 ≠0$，解得$m≠6$。综合两个条件，$m=-6$。
6. 约分：
(1) $\dfrac{2x^2y - 2xy^2}{x^2 - 2xy + y^2}$； (2) $\dfrac{x^2 - 3x}{x^4 - 6x^3 + 9x^2}$.
(1) $\dfrac{2x^2y - 2xy^2}{x^2 - 2xy + y^2}$； (2) $\dfrac{x^2 - 3x}{x^4 - 6x^3 + 9x^2}$.
答案
(1) $\frac{2xy}{x - y}$；(2) $\frac{1}{x(x - 3)}$
解析
(1) 先对分子提取公因式：$2x^2y - 2xy^2 = 2xy(x - y)$；分母利用完全平方公式因式分解：$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$，约分（$x≠y$）得$\frac{2xy}{x - y}$。(2) 分子提取公因式：$x^2 - 3x = x(x - 3)$；分母先提取公因式$x^2$，再用完全平方公式因式分解：$x^4 - 6x^3 + 9x^2 = x^2(x^2 - 6x + 9) = x^2(x - 3)^2$，约分（$x≠0$且$x≠3$）得$\frac{1}{x(x - 3)}$。
7. 当$m≠n$时,下列分式的化简结果为$\dfrac{m}{n}$的是（）
A.$\dfrac{1+m}{1+n}$
B.$\dfrac{1-m}{1-n}$
C.$\dfrac{mn+m}{n^2+n}$
D.$\dfrac{m^2}{n^2}$
A.$\dfrac{1+m}{1+n}$
B.$\dfrac{1-m}{1-n}$
C.$\dfrac{mn+m}{n^2+n}$
D.$\dfrac{m^2}{n^2}$
答案
C
解析
对各选项分析：A选项$\frac{1+m}{1+n}$无法化简为$\frac{m}{n}$；B选项$\frac{1-m}{1-n}$无法化简为$\frac{m}{n}$；C选项分子因式分解为$m(n+1)$，分母因式分解为$n(n+1)$，因$m≠n$且$n+1≠0$时分式有意义，约分后得$\frac{m}{n}$；D选项$\frac{m^2}{n^2}=(\frac{m}{n})^2≠\frac{m}{n}$。
8. 将分式$\frac{2x}{x+y}$中$x,y$的值同时扩大为原来的2倍,则分式的值 （）
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的一半
C.保持不变
D.无法确定
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的一半
C.保持不变
D.无法确定
答案
C
解析
将x、y同时扩大为原来的2倍，替换分式中的x为2x，y为2y，得到新分式为$\frac{2×(2x)}{2x + 2y}$，化简得$\frac{4x}{2(x+y)}=\frac{2x}{x+y}$，与原分式相等，故分式的值保持不变。
9. 无论$x$取什么值,总是有意义的分式是（）
A.$\dfrac{2x}{x^2 + 1}$
B.$\dfrac{x}{2x + 1}$
C.$\dfrac{3x}{x^3 + 1}$
D.$\dfrac{x - 5}{x^2}$
A.$\dfrac{2x}{x^2 + 1}$
B.$\dfrac{x}{2x + 1}$
C.$\dfrac{3x}{x^3 + 1}$
D.$\dfrac{x - 5}{x^2}$
答案
A
解析
分式有意义的条件是分母不为0。A选项分母为x²+1，因x²≥0，故x²+1≥1，无论x取何值，分母都不为0，分式总有意义；B选项分母2x+1，当x=-1/2时分母为0，无意义；C选项分母x³+1，当x=-1时分母为0，无意义；D选项分母x²，当x=0时分母为0，无意义。
10. 若分式$\dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}$的值为正数，则$x$需满足的条件是________.
答案
$x ＞ \frac{1}{2}$
解析
要使分式$\frac{2x - 1}{x^2 + 3}$的值为正数，需分子、分母同号。因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，分母恒为正数，因此只需分子$2x - 1 ＞ 0$，解不等式得$x ＞ \frac{1}{2}$。
11. 已知非零实数 $ x, y $ 满足 $ y = \frac{x}{x+1} $，则
$ \frac{xy + 3x - 3y}{xy} $ 的值等于 ______。
$ \frac{xy + 3x - 3y}{xy} $ 的值等于 ______。
答案
4
解析
由$y=\frac{x}{x+1}$，交叉相乘得$y(x+1)=x$，整理得$xy + y = x$，即$x - y = xy$。将所求式子变形：$\frac{xy + 3x - 3y}{xy}=\frac{xy + 3(x - y)}{xy}$，把$x - y = xy$代入，得$\frac{xy + 3xy}{xy}=\frac{4xy}{xy}$，因$x$、$y$为非零实数，$xy≠0$，约分得结果为4。
12. 不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正：
(1) $\dfrac{x}{1 - x^2}$；
(2) $\dfrac{-a - 1}{a^2 - 2}$；
(3) $\dfrac{2 - x}{-x^2 + 3}$；
(4) $\dfrac{7x - x^2 + 10}{2 - x^2}$.
(1) $\dfrac{x}{1 - x^2}$；
(2) $\dfrac{-a - 1}{a^2 - 2}$；
(3) $\dfrac{2 - x}{-x^2 + 3}$；
(4) $\dfrac{7x - x^2 + 10}{2 - x^2}$.
答案
(1) $-\frac{x}{x^2 -1}$；(2) $-\frac{a +1}{a^2 -2}$；(3) $\frac{x -2}{x^2 -3}$；(4) $\frac{x^2 -7x -10}{x^2 -2}$
解析
根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，对各分式分别处理：
(1) 分式$\frac{x}{1 - x^2}$的分母最高次项为$-x^2$，系数为负，将分母提取负号得：$\frac{x}{-(x^2 -1)} = -\frac{x}{x^2 -1}$；
(2) 分式$\frac{-a -1}{a^2 -2}$的分子最高次项为$-a$，系数为负，将分子提取负号得：$\frac{-(a +1)}{a^2 -2} = -\frac{a +1}{a^2 -2}$；
(3) 分式$\frac{2 - x}{-x^2 +3}$的分子最高次项为$-x$，分母最高次项为$-x^2$，均为负，分别提取负号得：$\frac{-(x -2)}{-(x^2 -3)} = \frac{x -2}{x^2 -3}$；
(4) 先整理$\frac{7x - x^2 +10}{2 - x^2}$的分子为$-x^2 +7x +10$、分母为$-x^2 +2$，分子分母最高次项系数均为负，分别提取负号得：$\frac{-(x^2 -7x -10)}{-(x^2 -2)} = \frac{x^2 -7x -10}{x^2 -2}$。
(1) 分式$\frac{x}{1 - x^2}$的分母最高次项为$-x^2$，系数为负，将分母提取负号得：$\frac{x}{-(x^2 -1)} = -\frac{x}{x^2 -1}$；
(2) 分式$\frac{-a -1}{a^2 -2}$的分子最高次项为$-a$，系数为负，将分子提取负号得：$\frac{-(a +1)}{a^2 -2} = -\frac{a +1}{a^2 -2}$；
(3) 分式$\frac{2 - x}{-x^2 +3}$的分子最高次项为$-x$，分母最高次项为$-x^2$，均为负，分别提取负号得：$\frac{-(x -2)}{-(x^2 -3)} = \frac{x -2}{x^2 -3}$；
(4) 先整理$\frac{7x - x^2 +10}{2 - x^2}$的分子为$-x^2 +7x +10$、分母为$-x^2 +2$，分子分母最高次项系数均为负，分别提取负号得：$\frac{-(x^2 -7x -10)}{-(x^2 -2)} = \frac{x^2 -7x -10}{x^2 -2}$。
