8.综合与探究
【感知】如图21-5①,在$△ ABC$中，$BP,CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线.
【应用】
(1)若$∠ ABC = 50°, ∠ ACB = 70°$,则$∠ BPC$的度数为________;若$∠ BAC = 70°$,则$∠ BPC$的度数为________.
(2)求$∠ BPC$与$∠ A$之间的数量关系并证明.
【拓展】
(3)如图21-5②,在四边形$ABCD$中，$BP,CP$分别是$∠ ABC$和$∠ BCD$的平分线，求$∠ BPC$与$∠ A+∠ D$之间的数量关系.

图21-5

8. (1)$120°\ \ 125°$
(2)$∠ BPC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 证明:$\because BP,CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,
$\therefore ∠ PBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC,∠ PCB=\dfrac{1}{2}∠ ACB$.
$\therefore ∠ BPC=180°-∠ PBC-∠ PCB=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=180°-\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$.
(3)$∠ A+∠ D=2∠ BPC$. 如图,延长$BA,CD$交于点$E$,由(2)知,$∠ BPC=90°+\dfrac{1}{2}∠ E$. 由条件可知,$∠ BAD + ∠ CDA=∠ E+∠ E+∠ ADE+∠ DAE=180°+∠ E$. $\therefore ∠ E= ∠ BAD + ∠ CDA - 180°$.
$\therefore ∠ BPC=90°+\dfrac{1}{2}∠ E=90°+\dfrac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA-180°)=90°+\dfrac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA)-90°=\dfrac{1}{2}(∠ BAD+∠ CDA)$,即$∠ BAD+∠ CDA=2∠ BPC$.

二、平行四边形的性质与判定
1. 如图 21-6, $□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O, AB ⊥ AC$, 若 $AB = 4$, $AC = 4\sqrt{5}$, 则 $BD$ 的长是 （）

A.$8\sqrt{5}$
B.$8\sqrt{6}$
C.$8$
D.$12$

1.D

2. 如图21-7,在四边形ABCD中,
AD//BC,对角线AC和BD交于点O,要使
四边形ABCD成为平行四边形,则可以添
加的条件是 ()

A.$AB=CD$
B.$AC=BD$
C.$AO=DO$
D.$AO=CO$


图21-6
图21-7

2.D

3. 如图 21-8, 在 $□ ABCD$ 中, $AB=6$, $BC=8, ∠ BCD$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$, 交 $BA$ 的延长线于点 $F$, 则 $AE+AF$ 的值等于
()

A.2
B.3
C.4
D.6

3.C