21.8分如图,某电信公司计划在$A,B$两乡镇间的$E$处修建一座5G信号塔,且使$C,D$两个村庄到$E$处的距离相等.已知$AD⊥ AB$于点$A,BC⊥ AB$于点$B,AB=80\ \mathrm{km}$,$AD=50\ \mathrm{km},BC=30\ \mathrm{km}$,则5G信号塔$E$应该建在离$A$乡镇多少千米的地方?

解：设$AE = x\ \mathrm{km}$，则$EB = (80 - x)\ \mathrm{km}$。
因为$AD⊥AB$，$BC⊥AB$，
所以$∠ A = ∠ B = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 50^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BC^2 + EB^2 = 30^2 + (80 - x)^2$。
因为$DE = CE$，所以$DE^2 = CE^2$，即：
$50^2 + x^2 = 30^2 + (80 - x)^2$，
$2500 + x^2 = 900 + 6400 - 160x + x^2$，
$2500 = 7300 - 160x$，
$160x = 4800$，
$x = 30$。
答：5G信号塔$E$应该建在离$A$乡镇30千米的地方。

22.8分如图,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点$B$到点$C$的距离是5 cm,点$A$与点$B$在长方体表面的连线距离最短是多少?

解：分三种情况展开长方体表面，利用勾股定理计算AB的长度：
情况1：将正面与顶面展开在同一平面，
此时直角边分别为10 cm，$20 + (15 - 5) = 30$ cm，
$AB = \sqrt{10^2 + 30^2} = \sqrt{100 + 900} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$ cm。
情况2：将右侧面与顶面展开在同一平面，
此时直角边分别为15 cm，$20 + 5 = 25$ cm，
$AB = \sqrt{15^2 + 25^2} = \sqrt{225 + 625} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}$ cm。
情况3：将正面与右侧面展开在同一平面，
此时直角边分别为$10 + 5 = 15$ cm，20 cm，
$AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ cm。
比较可得：$25 ＜ 5\sqrt{34} ＜ 10\sqrt{10}$，
故点A与点B在长方体表面的连线距离最短是25 cm。
答：点A与点B在长方体表面的连线距离最短是25 cm。