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8 有下列说法:① 若$a+b=0$,且$ab≠0$,则$x=1$是方程$ax+b=0$的解;② 若$a-b=0$,且$ab≠0$,则$x=-1$是方程$ax+b=0$的解;③ 若$ax+b=0$,则$x=-\dfrac{a}{b}$;④ 若$(a-3)x^{|a-2|}+b=0$是关于$x$的一元一次方程,则$a=1$.其中,正确的是________(填序号).
答案
8. ①②④
解析
【分析】
要判断四个说法的正确性，需结合方程的解的定义、一元一次方程的定义、解一元一次方程的注意事项逐个验证：①②将x的值代入方程，验证左右两边是否相等即可判断；③要注意解方程时“未知数系数不为0”的前提，同时留意解的分子分母位置是否正确；④根据一元一次方程“未知数次数为1、一次项系数不为0”的两个条件列式求解a的值，再判断正误。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 验证说法①：
已知$a+b=0$即$b=-a$，$ab≠0$说明$a≠0$且$b≠0$。把$x=1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×1 + b = a + b = 0$，右边$=0$，左边等于右边，因此$x=1$是方程的解，①正确。
2. 验证说法②：
已知$a-b=0$即$b=a$，$ab≠0$说明$a≠0$且$b≠0$。把$x=-1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×(-1) + b = -a + a = 0$，右边$=0$，左边等于右边，因此$x=-1$是方程的解，②正确。
3. 验证说法③：
对于$ax+b=0$，若$a=0$：当$b=0$时方程有无数解，当$b≠0$时方程无解；只有当$a≠0$时，方程的解为$x=-\dfrac{b}{a}$，选项中解的分子分母位置错误，且未说明$a≠0$的前提，因此③错误。
4. 验证说法④：
若$(a-3)x^{|a-2|}+b=0$是关于x的一元一次方程，需满足两个条件：①x的次数为1，即$|a-2|=1$，解得$a=3$或$a=1$；②一次项系数不为0，即$a-3≠0$，因此$a≠3$，综上$a=1$，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
方程的解的定义，一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题围绕一元一次方程的相关概念设题，解题时要注意一元一次方程“一次项系数不为0”的隐含条件，解方程时也需要考虑未知数系数为0的特殊情况，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要判断四个说法的正确性，需结合方程的解的定义、一元一次方程的定义、解一元一次方程的注意事项逐个验证：①②将x的值代入方程，验证左右两边是否相等即可判断；③要注意解方程时“未知数系数不为0”的前提，同时留意解的分子分母位置是否正确；④根据一元一次方程“未知数次数为1、一次项系数不为0”的两个条件列式求解a的值，再判断正误。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 验证说法①：
已知$a+b=0$即$b=-a$，$ab≠0$说明$a≠0$且$b≠0$。把$x=1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×1 + b = a + b = 0$，右边$=0$，左边等于右边，因此$x=1$是方程的解，①正确。
2. 验证说法②：
已知$a-b=0$即$b=a$，$ab≠0$说明$a≠0$且$b≠0$。把$x=-1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×(-1) + b = -a + a = 0$，右边$=0$，左边等于右边，因此$x=-1$是方程的解，②正确。
3. 验证说法③：
对于$ax+b=0$，若$a=0$：当$b=0$时方程有无数解，当$b≠0$时方程无解；只有当$a≠0$时，方程的解为$x=-\dfrac{b}{a}$，选项中解的分子分母位置错误，且未说明$a≠0$的前提，因此③错误。
4. 验证说法④：
若$(a-3)x^{|a-2|}+b=0$是关于x的一元一次方程，需满足两个条件：①x的次数为1，即$|a-2|=1$，解得$a=3$或$a=1$；②一次项系数不为0，即$a-3≠0$，因此$a≠3$，综上$a=1$，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
方程的解的定义，一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题围绕一元一次方程的相关概念设题，解题时要注意一元一次方程“一次项系数不为0”的隐含条件，解方程时也需要考虑未知数系数为0的特殊情况，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
9 若关于 $ x $ 的方程 $(k + 2)x^2 + 4kx - 5k = 0$ 是一元一次方程，则 $ k = $
-2
，方程的解为 $x=\dfrac{5}{4}$
.答案
9. $-2$ ，$x=\dfrac{5}{4}$
解析
【分析】
解题首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程为一元一次方程。本题给出的方程含有二次项，要使其成为一元一次方程，必须让二次项的系数为0，由此先求出k的值，再将k代入原方程，通过移项、系数化为1的步骤求解一元一次方程即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(k + 2)x^2 + 4kx - 5k = 0$是一元一次方程
∴ 二次项系数为0，即$k+2=0$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入原方程，得：
$4×(-2)x -5×(-2)=0$
化简得：$-8x + 10 = 0$
移项得：$-8x = -10$
系数化为1得：$x=\frac{-10}{-8}=\frac{5}{4}$
【答案】
$-2$，$x=\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常规题型，核心考查对一元一次方程概念的理解应用，解题关键是抓住一元一次方程未知数最高次数为1的特点，先求出参数值再解方程，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程为一元一次方程。本题给出的方程含有二次项，要使其成为一元一次方程，必须让二次项的系数为0，由此先求出k的值，再将k代入原方程，通过移项、系数化为1的步骤求解一元一次方程即可。
【解析】
解：
∵ 方程$(k + 2)x^2 + 4kx - 5k = 0$是一元一次方程
∴ 二次项系数为0，即$k+2=0$，解得$k=-2$
将$k=-2$代入原方程，得：
$4×(-2)x -5×(-2)=0$
化简得：$-8x + 10 = 0$
移项得：$-8x = -10$
系数化为1得：$x=\frac{-10}{-8}=\frac{5}{4}$
【答案】
$-2$，$x=\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常规题型，核心考查对一元一次方程概念的理解应用，解题关键是抓住一元一次方程未知数最高次数为1的特点，先求出参数值再解方程，难度较低。
【难度系数】
0.8
10 解方程：
(1) $\frac{2}{9}z + \frac{2}{7} = \frac{10}{9}z - \frac{5}{7}$；
(2) $x - 7 - 8x = 9x - 3 - 4x$。
(1) $\frac{2}{9}z + \frac{2}{7} = \frac{10}{9}z - \frac{5}{7}$；
(2) $x - 7 - 8x = 9x - 3 - 4x$。
答案
10. (1) $z=\dfrac{9}{8}$ (2) $x=-\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
这两道题都是一元一次方程，解题按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤开展即可。首先要牢记移项规则：把某项从等号的一侧移到另一侧时，必须改变符号。解题时先将所有含未知数的项移到等号的同一侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1就能得到解，得出结果后可代入原方程检验是否正确。
【解析】
(1) 解方程 $\frac{2}{9}z + \frac{2}{7} = \frac{10}{9}z - \frac{5}{7}$
① 移项（移项变号），将含$z$的项移到等号右侧，常数项移到等号左侧：
$\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{10}{9}z - \frac{2}{9}z$
② 合并同类项：
$1 = \frac{8}{9}z$
③ 系数化为1，两边同时乘$\frac{9}{8}$：
$z = 1×\frac{9}{8} = \frac{9}{8}$
(2) 解方程 $x - 7 - 8x = 9x - 3 - 4x$
① 先分别合并等号两侧的同类项：
左边合并得：$-7x -7$，右边合并得：$5x -3$
方程化简为：$-7x -7 = 5x -3$
② 移项（移项变号），将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$-7x -5x = -3 +7$
③ 合并同类项：
$-12x = 4$
④ 系数化为1，两边同时除以$-12$：
$x = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $z=\dfrac{9}{8}$；(2) $x=-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
移项法则，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的常规基础题，核心考查移项变号的规则，计算时重点注意符号处理，熟练掌握基础解题步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
这两道题都是一元一次方程，解题按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤开展即可。首先要牢记移项规则：把某项从等号的一侧移到另一侧时，必须改变符号。解题时先将所有含未知数的项移到等号的同一侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1就能得到解，得出结果后可代入原方程检验是否正确。
【解析】
(1) 解方程 $\frac{2}{9}z + \frac{2}{7} = \frac{10}{9}z - \frac{5}{7}$
① 移项（移项变号），将含$z$的项移到等号右侧，常数项移到等号左侧：
$\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{10}{9}z - \frac{2}{9}z$
② 合并同类项：
$1 = \frac{8}{9}z$
③ 系数化为1，两边同时乘$\frac{9}{8}$：
$z = 1×\frac{9}{8} = \frac{9}{8}$
(2) 解方程 $x - 7 - 8x = 9x - 3 - 4x$
① 先分别合并等号两侧的同类项：
左边合并得：$-7x -7$，右边合并得：$5x -3$
方程化简为：$-7x -7 = 5x -3$
② 移项（移项变号），将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$-7x -5x = -3 +7$
③ 合并同类项：
$-12x = 4$
④ 系数化为1，两边同时除以$-12$：
$x = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $z=\dfrac{9}{8}$；(2) $x=-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
移项法则，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的常规基础题，核心考查移项变号的规则，计算时重点注意符号处理，熟练掌握基础解题步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
11 已知 $2a - 3x = 12$ 是关于 $x$ 的方程，在移项时，粗心的小虎没有将 $2a$ 变号，得到方程的解为 $x = 3$。请你帮小虎求出原方程的解。
答案
根据题意,得方程$-3x=12+2a$的解为$x=3$,所以$-3×3=12+2a$,解得$a=-\dfrac{21}{2}$.所以原方程为$-21-3x=12$,解得$x=-11$
解析
【分析】
解题思路可分三步推进：第一步，先明确小虎移项错误后得到的方程：原方程移项时未将2a变号，相当于把2a直接移到等号右侧未变号，得到错误方程为$-3x=12+2a$；第二步，利用错误方程的解求参数$a$：$x=3$是错误方程的解，将其代入错误方程即可求出$a$的值；第三步，将求得的$a$代入原方程，按照正确的移项法则解原方程，得到正确的解。
【解析】
第一步：确定小虎移项错误得到的方程
原方程为$2a-3x=12$，移项时小虎未将$2a$变号，得到的错误方程为：
$-3x=12+2a$
第二步：代入错解求$a$的值
已知$x=3$是错误方程的解，将$x=3$代入$-3x=12+2a$得：
$-3×3=12+2a$
计算左边得：$-9=12+2a$
移项得：$2a=-9-12$
合并同类项得：$2a=-21$
系数化为1得：$a=-\dfrac{21}{2}$
第三步：解原方程
将$a=-\dfrac{21}{2}$代入原方程$2a-3x=12$得：
$2×(-\dfrac{21}{2}) - 3x = 12$
化简得：$-21 - 3x = 12$
移项得：$-3x=12+21$
合并同类项得：$-3x=33$
系数化为1得：$x=-11$
【答案】
$x=-11$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 移项法则
3. 解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用错解逆向求解参数，解题关键是准确还原移项错误后的方程形式，同时要牢记移项必须变号的规则，避免出现和小虎相同的错误，掌握方程的解的含义是代入求解参数的基础。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推进：第一步，先明确小虎移项错误后得到的方程：原方程移项时未将2a变号，相当于把2a直接移到等号右侧未变号，得到错误方程为$-3x=12+2a$；第二步，利用错误方程的解求参数$a$：$x=3$是错误方程的解，将其代入错误方程即可求出$a$的值；第三步，将求得的$a$代入原方程，按照正确的移项法则解原方程，得到正确的解。
【解析】
第一步：确定小虎移项错误得到的方程
原方程为$2a-3x=12$，移项时小虎未将$2a$变号，得到的错误方程为：
$-3x=12+2a$
第二步：代入错解求$a$的值
已知$x=3$是错误方程的解，将$x=3$代入$-3x=12+2a$得：
$-3×3=12+2a$
计算左边得：$-9=12+2a$
移项得：$2a=-9-12$
合并同类项得：$2a=-21$
系数化为1得：$a=-\dfrac{21}{2}$
第三步：解原方程
将$a=-\dfrac{21}{2}$代入原方程$2a-3x=12$得：
$2×(-\dfrac{21}{2}) - 3x = 12$
化简得：$-21 - 3x = 12$
移项得：$-3x=12+21$
合并同类项得：$-3x=33$
系数化为1得：$x=-11$
【答案】
$x=-11$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 移项法则
3. 解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用错解逆向求解参数，解题关键是准确还原移项错误后的方程形式，同时要牢记移项必须变号的规则，避免出现和小虎相同的错误，掌握方程的解的含义是代入求解参数的基础。
【难度系数】
0.7
12 新考向 探究题 按如图所示的程序计算，当输入$ x $的值是36时，输出的结果为106.要使输出的结果为127，则输入$ x $的最小正整数是多少？
答案
当$3x-2=127$时,$x=43$;当$3x-2=43$时,$x=15$;当$3x-2=15$时,$x=\dfrac{17}{3}$.因为$\dfrac{17}{3}$不是整数,所以输入$x$的最小正整数是15
解析
【分析】
首先明确程序的运算规则：输入x后计算3x-2的值，若结果大于100则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于100再输出。已知输出结果为127，要找最小的正整数输入x，可采用逆推的思路：从输出结果127出发，依次往前推导每一步可能的输入x，判断x是否为正整数，直到推导出的x不是正整数为止，过程中得到的最小正整数x即为所求。
【解析】
从输出结果127开始逐步逆推：
1. 若127是第一次运算的输出结果，可列方程：
$3x-2=127$
移项得$3x=127+2$，即$3x=129$，解得$x=43$，是正整数。
2. 若43是上一次运算的结果（即上一次结果≤100，返回重新运算得到127），可列方程：
$3x-2=43$
移项得$3x=43+2$，即$3x=45$，解得$x=15$，是正整数，且15＜43。
3. 若15是上一次运算的结果，可列方程：
$3x-2=15$
移项得$3x=15+2$，即$3x=17$，解得$x=\dfrac{17}{3}$，不是正整数，不符合要求。
因此输入x的最小正整数是15。
【答案】
15
【知识点】
解一元一次方程；程序流程图运算
【点评】
本题结合程序运算场景考查一元一次方程的应用，解题时需要理清程序的循环逻辑，运用逆推法可以快速筛选出符合要求的输入值，同时要注意结合“最小正整数”的要求对结果进行检验，避免只考虑单次运算的情况。
【难度系数】
0.6
首先明确程序的运算规则：输入x后计算3x-2的值，若结果大于100则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于100再输出。已知输出结果为127，要找最小的正整数输入x，可采用逆推的思路：从输出结果127出发，依次往前推导每一步可能的输入x，判断x是否为正整数，直到推导出的x不是正整数为止，过程中得到的最小正整数x即为所求。
【解析】
从输出结果127开始逐步逆推：
1. 若127是第一次运算的输出结果，可列方程：
$3x-2=127$
移项得$3x=127+2$，即$3x=129$，解得$x=43$，是正整数。
2. 若43是上一次运算的结果（即上一次结果≤100，返回重新运算得到127），可列方程：
$3x-2=43$
移项得$3x=43+2$，即$3x=45$，解得$x=15$，是正整数，且15＜43。
3. 若15是上一次运算的结果，可列方程：
$3x-2=15$
移项得$3x=15+2$，即$3x=17$，解得$x=\dfrac{17}{3}$，不是正整数，不符合要求。
因此输入x的最小正整数是15。
【答案】
15
【知识点】
解一元一次方程；程序流程图运算
【点评】
本题结合程序运算场景考查一元一次方程的应用，解题时需要理清程序的循环逻辑，运用逆推法可以快速筛选出符合要求的输入值，同时要注意结合“最小正整数”的要求对结果进行检验，避免只考虑单次运算的情况。
【难度系数】
0.6
