10.如图,将五边形 ABCDE 沿虚线 MN 裁开,剩下的五边形 ABCNM 的周长比原五边形ABCDE 的周长（填“大”或“小”）,其判断依据是.

10.小 两点之间,线段最短

【分析】
要比较剩下的五边形和原五边形的周长大小，首先先找出两个周长的公共部分，只比较不同部分的长度即可。两个图形的公共边是AB、BC，除此之外，原五边形对应部分的边长为ME+ED+DN，剩下的五边形对应部分的边长为MN，结合线段的基本性质判断这两部分的长度大小，就能得出周长的大小关系。
【解析】
原五边形ABCDE的周长 = AB + BC + CD + DE + EA，
裁开后五边形ABCNM的周长 = AB + BC + CN + NM + MA。
由图可知：EA = MA + ME，CD = CN + ND，
因此原周长中与新周长不同的部分和为：ME + DE + ND，
新周长中对应部分的长度为NM。
根据“两点之间，线段最短”，可得ME + DE + ND ＞ NM，
因此剩下的五边形ABCNM的周长比原五边形ABCDE的周长小。
【答案】
小；两点之间，线段最短
【知识点】
周长的计算；两点之间线段最短
【点评】
本题是线段性质的实际应用，解题的核心是找到两个周长的差异部分，将周长比较转化为两条路径的长度比较，结合线段的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.一个正多边形,它的每个内角是与其相邻外角的3倍,则这个多边形的一个外角的度数为.

11.45°

【分析】
首先明确正多边形的任意一个内角和它相邻的外角是邻补角，二者之和为180°。题目给出内角是相邻外角的3倍，我们可以通过设未知数，结合二者和为180°的关系建立方程，就能求出外角的度数。
【解析】
设这个正多边形的一个外角的度数为$ x $，则与其相邻的内角的度数为$ 3x $。
由于多边形的一个内角和它相邻的外角互补，和为180°，因此可列方程：
$ x + 3x = 180° $
合并同类项得：$ 4x = 180° $
解得：$ x = 45° $
【答案】
$ 45° $
【知识点】
邻补角的性质；正多边形内外角关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握正多边形内角与相邻外角互补的性质，结合题干给出的倍数关系即可快速求解，熟练掌握基础性质是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9

12.各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交点)上的多边形称为格点多边形，它的面积$ S $可用公式$ S=a+\frac{1}{2}b - 1 $（$ a $是多边形内的格点数，$ b $是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”.如图是一个格点五边形，则该五边形的面积$ S=\underline{\hspace{5cm}} $.

12.6

【分析】
本题给出了计算格点多边形面积的皮克定理公式，解题思路非常明确：首先需要分别确定公式中的两个参数，即多边形内部的格点数a，以及多边形边界上的格点数b；再将a和b的数值代入公式计算，就能得到五边形的面积。计数格点时要注意：内部格点是完全在多边形内部、不接触边界的格点，可逐行排查避免遗漏；边界格点包含多边形的所有顶点和落在边上的其他格点，注意不要重复计数顶点。
【解析】
解：第一步，计数五边形内部的格点数，经逐一排查，内部格点共有4个，即$a=4$；
第二步，计数五边形边界上的格点（包含顶点和边上的格点），共有6个，即$b=6$；
将$a=4$、$b=6$代入皮克定理公式$S=a+\frac{1}{2}b - 1$，得：
$S=4+\frac{1}{2}×6 - 1=4+3-1=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 皮克定理应用
2. 格点计数
【点评】
本题属于新公式应用类题型，难度较低，核心是准确计数内部和边界的格点，只要计数时足够细心，避免漏数、多数格点，就能快速求出正确结果。
【难度系数】
0.7

13. 如图,从一个多边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形.
(1)根据这些多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律,猜测$n(n≥4)$边形可以分割成的三角形的个数是________;
(2)若一个多边形按以上方法可分割成120个小三角形,则该多边形的边数$n=\_\_\_\_\_\_$.

13.(1)$n-2$ (2)122

【分析】
解题时先从给出的已知图形入手，分别数出四边形、五边形、六边形从一个顶点出发连线后分割得到的三角形个数，再将三角形个数和对应多边形的边数做对比，寻找二者的数量关系，总结出n边形对应的三角形个数规律；第二问直接应用第一问得到的规律列方程求解即可。
【解析】
(1) 观察已知图形：
边数为4的四边形，分割得到2个三角形，满足$2=4-2$；
边数为5的五边形，分割得到3个三角形，满足$3=5-2$；
边数为6的六边形，分割得到4个三角形，满足$4=6-2$；
据此可猜测，$n(n≥4)$边形可以分割成的三角形的个数是$n-2$。
(2) 由(1)得到的规律可得：$n-2=120$，
解得：$n=120+2=122$。
【答案】
(1)$n-2$；(2)$122$
【知识点】
多边形性质；规律探究；一元一次方程应用
【点评】
本题是基础的图形规律探究类题目，核心考查观察归纳能力和规律的迁移应用能力，掌握多边形从一个顶点出发连接其余顶点分割三角形的数量规律，即可快速解题。
【难度系数】
0.8

14. 如图,在五边形 ABCDE 中,AP 平分$∠EAB$,BP 平分$∠ABC$.
(1)五边形 ABCDE 的内角和为;
(2)若$∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°$,求$∠P$的度数.

14.(1)$540°$
(2)解:因为在五边形 ABCDE 中,$∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°$,$∠C=100°$,$∠D=75°$,$∠E=135°$,
所以$∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=540°-100°-75°-135°=230°$.
因为 AP 平分$∠EAB$,BP 平分$∠ABC$,
所以$∠PAB=\frac{1}{2}∠EAB$,$∠PBA=\frac{1}{2}∠ABC$ ,
所以$∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠EAB+∠ABC)=\frac{1}{2}×230°=115°$,
所以$∠P=180°-(∠PAB+∠PBA)=180°-115°=65°$.

【分析】
(1) 求五边形内角和可直接使用多边形内角和公式：n边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，将边数$n=5$代入计算即可得到结果。
(2) 要求$∠ P$的度数，观察发现$∠ P$在$△ ABP$中，根据三角形内角和为$180°$，只需先求出$∠ PAB+∠ PBA$的度数即可。已知AP、BP分别是$∠ EAB$、$∠ ABC$的角平分线，因此$∠ PAB$、$∠ PBA$分别为$∠ EAB$、$∠ ABC$的一半，所以首先通过五边形内角和减去已知的$∠ C$、$∠ D$、$∠ E$的度数，求出$∠ EAB+∠ ABC$的和，再取一半即可得到$∠ PAB+∠ PBA$的度数，最后用$180°$减去该和就能求出$∠ P$的度数。
【解析】
(1) 根据多边形内角和公式，五边形内角和为：
$(5-2)×180°=3×180°=540°$
(2) 解：已知五边形ABCDE内角和为$540°$，即$∠ EAB+∠ ABC+∠ C+∠ D+∠ E=540°$。
将$∠ C=100°$，$∠ D=75°$，$∠ E=135°$代入得：
$∠ EAB+∠ ABC=540°-100°-75°-135°=230°$
因为AP平分$∠ EAB$，BP平分$∠ ABC$，
所以$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ PBA=\frac{1}{2}∠ ABC$，
因此$∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ EAB+∠ ABC)=\frac{1}{2}×230°=115°$。
在$△ ABP$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ P=180°-(∠ PAB+∠ PBA)=180°-115°=65°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{540°}$；(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
多边形内角和公式；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是多边形与三角形的综合基础题，解题核心是先利用多边形内角和求出未知两角的和，再结合角平分线性质转化所求角相关的角度，最后用三角形内角和求解，思路清晰，是该知识点模块的常考题型。
【难度系数】
0.7