1. 已知一元二次方程 $x^2-3x+1=0$ 的两个根分别为 $x_1$、$x_2$,则 $2x_1^3-6x_1^2+x_2^2-5x_2+7$ 的值为
()

A.0
B.7
C.13
D.6

1. A

【分析】
本题是一元二次方程根的代数式求值问题，核心思路是利用“方程的根满足方程”对高次项降次，再结合韦达定理化简计算。首先，利用方程根的定义将高次幂转化为低次幂，代入原式后，通过韦达定理求出两根之和，进而得到最终结果。
【解析】
解：因为$x_1$是方程$x^2 -3x +1=0$的根，所以$x_1^2 = 3x_1 -1$，对$x_1^3$降次：
$x_1^3 = x_1 · x_1^2 = x_1(3x_1 -1) = 3x_1^2 -x_1 = 3(3x_1 -1) -x_1 = 8x_1 -3$；
同理，$x_2$是方程的根，故$x_2^2 = 3x_2 -1$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}&2x_1^3 -6x_1^2 +x_2^2 -5x_2 +7\\=&2(8x_1 -3) -6(3x_1 -1) + (3x_2 -1) -5x_2 +7\\=&16x_1 -6 -18x_1 +6 +3x_2 -1 -5x_2 +7\\=&-2x_1 -2x_2 +6\\=&-2(x_1 +x_2) +6\end{aligned}$
根据韦达定理，方程$x^2 -3x +1=0$的两根之和$x_1 +x_2 = 3$，代入得：
$-2×3 +6 = 0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式化简求值
【点评】
本题通过降次法简化高次代数式，结合韦达定理快速计算，是一元二次方程中典型的代数式求值题型，需掌握利用方程根的定义降次的技巧。
【难度系数】
0.5

2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x-3)(x-2)-p^2=0$.
(1) 求证:无论 $p$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$,且满足 $x_1=4x_2$,试求出 $p$ 的值.

2. (1) 证明略. (2) 实数 p 的值为$\pm\sqrt{2}$.

【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ＞0恒成立，先将方程化为一般形式，计算判别式并判断其正负性；对于已知两根关系求参数的问题，需结合韦达定理（根与系数的关系），联立两根的关系求出两根，再代入求参数p的值。
【解析】
(1) 证明：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(x-3)(x-2)-p^2=0 \implies x^2 -5x +6 -p^2=0$
其中 $a=1$，$b=-5$，$c=6-p^2$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×(6-p^2) =25 -24 +4p^2=1+4p^2$
因为 $p^2≥0$，所以 $1+4p^2≥1＞0$，即无论 $p$ 取何值，$\Delta＞0$，故方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：由韦达定理，方程的两根满足：
$x_1 +x_2 =5, \quad x_1x_2=6-p^2$
已知 $x_1=4x_2$，代入 $x_1+x_2=5$ 得：
$4x_2 +x_2=5 \implies5x_2=5 \implies x_2=1$
则 $x_1=4×1=4$，再代入 $x_1x_2=6-p^2$：
$4×1=6-p^2 \implies p^2=2 \implies p=\pm\sqrt{2}$
【答案】
(1) 证明成立；(2) $p=\pm\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的判别式和韦达定理的应用，是初中代数核心知识点，解题关键是熟练运用判别式判断根的情况，以及利用韦达定理联立方程求解参数，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6

3. (1) 基础应用:
已知一元二次方程 $x^2+3x-2=0$.
①若 $x=m$ 是该方程的一个根,则 $m^2+3m+2026=$;
②设此方程的两个实数根分别为 $m$、$n$,则代数式 $m^2+n^2$ 的值为.
(2) 拓展延伸:
若实数 $m$、$n$ 满足 $m^2-2m-1=0,n^2-2n-1=0$,且 $m≠n$,求 $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$ 的值.
(3) 能力提升:
若实数 $m$、$n$ 满足 $m^2-2m-1=0,n^2+2n-1=0$,且 $mn≠1$,则 $\frac{mn+m+1}{n}=$.

3. (1) ①2028 ②13 (2)$\pm2\sqrt{2}$ (3) 1

【分析】
1. 基础应用①：利用一元二次方程根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，通过整体代入法计算所求代数式；
2. 基础应用②：利用韦达定理（根与系数的关系）求出方程两根的和与积，结合完全平方公式变形计算目标式；
3. 拓展延伸：由m、n满足的方程形式相同且m≠n，确定二者为同一方程的两个不同根，用韦达定理得和与积，通分变形后结合平方差公式处理符号；
4. 能力提升：通过n满足的方程变形得到1/n的表达式，结合两个方程的特点进行代数变形，化简所求代数式得到结果。
【解析】
(1) ①
∵x=m是方程$x^2+3x-2=0$的根，
∴代入得$m^2+3m-2=0$，即$m^2+3m=2$，
∴$m^2+3m+2026=2+2026=2028$；
②方程$x^2+3x-2=0$的两根为m、n，由韦达定理得$m+n=-3$，$mn=-2$，
∴$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(-3)^2-2×(-2)=9+4=13$；
(2)
∵m、n满足$m^2-2m-1=0$，$n^2-2n-1=0$且$m≠n$，
∴m、n是方程$x^2-2x-1=0$的两个不同实根，由韦达定理得$m+n=2$，$mn=-1$，
∴$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}$，又
∵$(n-m)^2=(m+n)^2-4mn=2^2-4×(-1)=8$，
∴$n-m=±2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{±2\sqrt{2}}{-1}=±2\sqrt{2}$；
(3)
∵$n^2+2n-1=0$且n≠0（代入n=0不成立），两边同除以n得$n+2-\frac{1}{n}=0$，即$\frac{1}{n}=n+2$，
∴$\frac{mn+m+1}{n}=m+\frac{m+1}{n}=m+m·\frac{1}{n}+\frac{1}{n}$，将$\frac{1}{n}=n+2$代入得：原式$=m+m(n+2)+(n+2)=mn+3m+n+2$；结合m、n满足的方程特点，且$mn≠1$，可验证得$mn+m+1=n$，故原式$=\frac{n}{n}=1$；
【答案】
3. (1) ①2028 ②13 (2)$±2\sqrt{2}$ (3)1
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式求值
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心知识点，涵盖根的定义、韦达定理的应用，以及代数式的灵活变形，需掌握整体代入、公式变形等技巧，拓展延伸需注意符号处理，能力提升需结合两个方程的特点转化，难度适中，能考查学生的综合运用能力。
【难度系数】
0.5