4. 求代数式 $x^{2}-4x+3$ 的最小值时,我们通常运用“$a^{2}≥0$”这个公式对代数式进行配方来解决,比如 $x^{2}-4x+3=x^{2}-4x+4-1=(x-2)^{2}-1,\because (x-2)^{2}≥0,\therefore (x-2)^{2}-1≥-1,\therefore x^{2}-4x+3$ 的最小值是-1.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1) 填空:$x^{2}+6x+13=(x+$ $)^{2}+$ ;
(2) 求 $x^{2}+y^{2}+2x-4y+10$ 的最小值;
(3) 如图1,将边长为3的正方形的一组对边保持不变,另一组对边增加 $2a+2(a＞0)$得到如图2所示的新矩形,此矩形的面积为$S_{1}$;将正方形的边长增加 $a+1(a＞0)$,得到如图3所示的新正方形,此正方形的面积为$S_{2}$.
①用含a的代数式表示出$S_{1}$、$S_{2}$;
②比较$S_{1}$、$S_{2}$的大小.

4. (1) 3 4
(2) $x^{2}+y^{2}+2x-4y+10$的最小值为5.
(3) ①$S_{1}=3(3+2a+2)=6a+15;S_{2}=(3+a+1)^{2}=a^{2}+$
$8a+16$. ②$S_{1}＜S_{2}$.

【分析】
本题核心考查配方法的应用，利用完全平方公式将代数式变形，结合平方的非负性求最值；对于面积问题，先根据图形表示面积，再通过作差法比较代数式大小。具体思路：（1）对二次式配方，补全完全平方结构；（2）分别对x、y的二次项配方，整理后利用平方非负性确定最小值；（3）①根据矩形、正方形面积公式表示$S_1$、$S_2$；②计算$S_2-S_1$，结合$a＞0$判断差的正负，比较大小。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+13$配方：
$x^2+6x+13 = x^2+6x+9 + 4 = (x+3)^2 + 4$，故依次填3、4。
(2) 对$x^2+y^2+2x-4y+10$配方：
分组得$(x^2+2x)+(y^2-4y)+10$，
对x配方：$x^2+2x=(x+1)^2 -1$；
对y配方：$y^2-4y=(y-2)^2 -4$；
代入得：
原式$=(x+1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 +10 = (x+1)^2 + (y-2)^2 +5$，
因为$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，所以原式$≥5$，即最小值为5。
(3) ① 计算面积：
矩形长为$3+2a+2=2a+5$，宽为3，故$S_1=3×(2a+5)=6a+15$；
正方形边长为$3+a+1=a+4$，故$S_2=(a+4)^2=a^2+8a+16$。
② 比较大小：
$S_2 - S_1 = (a^2+8a+16)-(6a+15)=a^2+2a+1=(a+1)^2$，
因为$a＞0$，所以$(a+1)^2＞0$，即$S_2 - S_1＞0$，故$S_1 ＜ S_2$。
【答案】
(1) 3；4 (2) 5 (3) ①$S_1=6a+15$，$S_2=a^2+8a+16$；②$S_1 ＜ S_2$
【知识点】
配方法、完全平方公式、代数式大小比较
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，考查代数式变形、最值求解及面积代数运算，需熟练掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.6