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4. 我们在探究一元二次方程的根与系数的关系中发现:如果关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$
的两个根是 $x_1$、$x_2$,那么由求根公式可推出 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1 · x_2=\frac{c}{a}$.请根据这一结论,解决
下列问题:
(1) 若 $α$、$β$ 是方程 $2x^2+x-5=0$ 的两个根,则 $α+β=$
程 $x^2+px+q=0$ 的两个根,则 $p=$
(2) 已知 $m$、$n$ 满足 $m^2+5m-3=0,n^2+5n-3=0$,求 $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$ 的值.
(3) 已知 $a$、$b$、$c$ 满足 $a+b-2c=0,abc=9$,则正整数 $c$ 的最小值为
的两个根是 $x_1$、$x_2$,那么由求根公式可推出 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1 · x_2=\frac{c}{a}$.请根据这一结论,解决
下列问题:
(1) 若 $α$、$β$ 是方程 $2x^2+x-5=0$ 的两个根,则 $α+β=$
$-\frac{1}{2}$
,$α · β=$$-\frac{5}{2}$
;若 2,3 是方程 $x^2+px+q=0$ 的两个根,则 $p=$
-5
,$q=$6
.(2) 已知 $m$、$n$ 满足 $m^2+5m-3=0,n^2+5n-3=0$,求 $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$ 的值.
(3) 已知 $a$、$b$、$c$ 满足 $a+b-2c=0,abc=9$,则正整数 $c$ 的最小值为
3
.答案
4. (1)$-\frac{1}{2}$ $-\frac{5}{2}$ -5 6 (2)2或$-\frac{31}{3}$ (3) 3
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开，需结合分类讨论、代数式变形及判别式知识解题：
1. 第(1)问直接套用韦达定理，确定方程的系数后计算两根和与积，或利用韦达定理逆用由两根求方程系数；
2. 第(2)问中，m、n满足同一一元二次方程，需分“m=n（重根）”和“m≠n（不同根）”两种情况，避免漏解；
3. 第(3)问将a、b视为一元二次方程的两根，结合已知条件转化为关于c的方程，利用方程有实根的判别式Δ≥0，结合c为正整数的条件求最小值。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2+x-5=0$，其中$a=2$，$b=1$，$c=-5$，根据韦达定理：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$α·β=\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$；
对于方程$x^2+px+q=0$，两根为2和3，根据韦达定理：
两根和$2+3=-p$，得$p=-5$；两根积$2×3=q$，得$q=6$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$m=n$时，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=1+1=2$；
② 当$m≠n$时，$m$、$n$是方程$x^2+5x-3=0$的两根，根据韦达定理：$m+n=-5$，$mn=-3$；
则$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{(-5)^2-2×(-3)}{-3}=\frac{25+6}{-3}=-\frac{31}{3}$；
综上，值为2或$-\frac{31}{3}$。
(3) 由$a+b-2c=0$得$a+b=2c$，又$abc=9$，故$ab=\frac{9}{c}$；
将$a$、$b$视为一元二次方程$x^2-(a+b)x+ab=0$的两根，即方程为$x^2-2cx+\frac{9}{c}=0$；
因为$a$、$b$为实数，方程有实根则判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-2c)^2-4×1×\frac{9}{c}=4c^2-\frac{36}{c}≥0$；
因$c$是正整数，$c＞0$，两边同乘$c$得$4c^3-36≥0$，即$c^3≥9$；
正整数中，$c=1$时$1^3=1＜9$，$c=2$时$2^3=8＜9$，$c=3$时$3^3=27≥9$，故$c$的最小值为3。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$，$-\frac{5}{2}$，-5，6；(2)2或$-\frac{31}{3}$；(3)3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程判别式，代数式求值
【点评】
本题综合考查韦达定理的灵活应用，需注意第(2)问中m=n的特殊情况，避免漏解；第(3)问需将a、b转化为方程的根，结合判别式求解，对分类讨论和转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开，需结合分类讨论、代数式变形及判别式知识解题：
1. 第(1)问直接套用韦达定理，确定方程的系数后计算两根和与积，或利用韦达定理逆用由两根求方程系数；
2. 第(2)问中，m、n满足同一一元二次方程，需分“m=n（重根）”和“m≠n（不同根）”两种情况，避免漏解；
3. 第(3)问将a、b视为一元二次方程的两根，结合已知条件转化为关于c的方程，利用方程有实根的判别式Δ≥0，结合c为正整数的条件求最小值。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2+x-5=0$，其中$a=2$，$b=1$，$c=-5$，根据韦达定理：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$α·β=\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$；
对于方程$x^2+px+q=0$，两根为2和3，根据韦达定理：
两根和$2+3=-p$，得$p=-5$；两根积$2×3=q$，得$q=6$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$m=n$时，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=1+1=2$；
② 当$m≠n$时，$m$、$n$是方程$x^2+5x-3=0$的两根，根据韦达定理：$m+n=-5$，$mn=-3$；
则$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{(-5)^2-2×(-3)}{-3}=\frac{25+6}{-3}=-\frac{31}{3}$；
综上，值为2或$-\frac{31}{3}$。
(3) 由$a+b-2c=0$得$a+b=2c$，又$abc=9$，故$ab=\frac{9}{c}$；
将$a$、$b$视为一元二次方程$x^2-(a+b)x+ab=0$的两根，即方程为$x^2-2cx+\frac{9}{c}=0$；
因为$a$、$b$为实数，方程有实根则判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-2c)^2-4×1×\frac{9}{c}=4c^2-\frac{36}{c}≥0$；
因$c$是正整数，$c＞0$，两边同乘$c$得$4c^3-36≥0$，即$c^3≥9$；
正整数中，$c=1$时$1^3=1＜9$，$c=2$时$2^3=8＜9$，$c=3$时$3^3=27≥9$，故$c$的最小值为3。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$，$-\frac{5}{2}$，-5，6；(2)2或$-\frac{31}{3}$；(3)3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程判别式，代数式求值
【点评】
本题综合考查韦达定理的灵活应用，需注意第(2)问中m=n的特殊情况，避免漏解；第(3)问需将a、b转化为方程的根，结合判别式求解，对分类讨论和转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.5
5. [新定义]若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个实数根,且其中一个根比另一个根大
2,则称这样的方程为“间根方程”.例如:方程 $x^2+2x=0$ 的两个根是 $x_1=0,x_2=-2$,则方程
$x^2+2x=0$ 是“间根方程”.
(1) 方程 $x^2-4x+3=0$ 是“间根方程”吗? 判断并说明理由.
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 是“间根方程”.
①若 $c＞0$,判断方程 $cx^2+bx+a-2=0$ 的根的情况,并说明理由;
②若 $a=1$,且 $c$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根,求 $b$ 的值.
2,则称这样的方程为“间根方程”.例如:方程 $x^2+2x=0$ 的两个根是 $x_1=0,x_2=-2$,则方程
$x^2+2x=0$ 是“间根方程”.
(1) 方程 $x^2-4x+3=0$ 是“间根方程”吗? 判断并说明理由.
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 是“间根方程”.
①若 $c＞0$,判断方程 $cx^2+bx+a-2=0$ 的根的情况,并说明理由;
②若 $a=1$,且 $c$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根,求 $b$ 的值.
答案
5. (1) 是,理由略.
(2) ①方程$cx^{2}+bx+a-2=0$有两个不相等的实数根,理由略. ②b 的值为0或$\pm2$或-4.
(2) ①方程$cx^{2}+bx+a-2=0$有两个不相等的实数根,理由略. ②b 的值为0或$\pm2$或-4.
解析
【分析】
首先明确“间根方程”的定义：一元二次方程有两个实数根，且两根的差为2。解题时，第(1)问直接求方程的根，判断两根差是否为2；第(2)问利用间根方程的性质，结合韦达定理得到$b^2-4ac=4a^2$，再通过判别式分析新方程的根的情况，最后代入根的条件分类求解$b$的值。
【解析】
(1) 解方程$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。两根差为$3-1=2$，满足“间根方程”定义，故是间根方程。
(2) 设原方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$，由间根方程定义知$|x_1-x_2|=2$，根据韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，则$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}=4$，故$b^2-4ac=4a^2$。
① 对于方程$cx^2+bx+a-2=0$，其判别式$\Delta'=b^2-4c(a-2)=b^2-4ac+8c$，将$b^2-4ac=4a^2$代入得$\Delta'=4a^2+8c$。因原方程是一元二次方程，故$a≠0$，$a^2＞0$，又$c＞0$，所以$\Delta'＞0$，该方程有两个不相等的实数根。
② 当$a=1$时，由$b^2-4ac=4a^2$得$b^2-4c=4$，即$c=\frac{b^2-4}{4}$。因$c$是方程$x^2+bx+c=0$的根，代入得$c^2+bc+c=0$，整理为$c(c+b+1)=0$：
若$c=0$，代入$c=\frac{b^2-4}{4}$得$b^2=4$，解得$b=±2$；
若$c+b+1=0$，则$c=-b-1$，代入$b^2-4c=4$得$b^2+4b=0$，解得$b=0$或$b=-4$。
综上，$b$的值为$0$，$±2$，$-4$。
【答案】
(1) 是，理由略；(2) ①有两个不相等的实数根，理由略；②$b$的值为$0$或$\pm2$或$-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“间根方程”的性质，结合一元二次方程的判别式、韦达定理求解，需运用分类讨论思想，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
首先明确“间根方程”的定义：一元二次方程有两个实数根，且两根的差为2。解题时，第(1)问直接求方程的根，判断两根差是否为2；第(2)问利用间根方程的性质，结合韦达定理得到$b^2-4ac=4a^2$，再通过判别式分析新方程的根的情况，最后代入根的条件分类求解$b$的值。
【解析】
(1) 解方程$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。两根差为$3-1=2$，满足“间根方程”定义，故是间根方程。
(2) 设原方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$，由间根方程定义知$|x_1-x_2|=2$，根据韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，则$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}=4$，故$b^2-4ac=4a^2$。
① 对于方程$cx^2+bx+a-2=0$，其判别式$\Delta'=b^2-4c(a-2)=b^2-4ac+8c$，将$b^2-4ac=4a^2$代入得$\Delta'=4a^2+8c$。因原方程是一元二次方程，故$a≠0$，$a^2＞0$，又$c＞0$，所以$\Delta'＞0$，该方程有两个不相等的实数根。
② 当$a=1$时，由$b^2-4ac=4a^2$得$b^2-4c=4$，即$c=\frac{b^2-4}{4}$。因$c$是方程$x^2+bx+c=0$的根，代入得$c^2+bc+c=0$，整理为$c(c+b+1)=0$：
若$c=0$，代入$c=\frac{b^2-4}{4}$得$b^2=4$，解得$b=±2$；
若$c+b+1=0$，则$c=-b-1$，代入$b^2-4c=4$得$b^2+4b=0$，解得$b=0$或$b=-4$。
综上，$b$的值为$0$，$±2$，$-4$。
【答案】
(1) 是，理由略；(2) ①有两个不相等的实数根，理由略；②$b$的值为$0$或$\pm2$或$-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“间根方程”的性质，结合一元二次方程的判别式、韦达定理求解，需运用分类讨论思想，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
