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7. 某同学对数据36,36,38,48,5■,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是()
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.众数
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.众数
答案
A
解析
已知数据共6个，被涂污的数是十位为5的两位数，取值范围为50~59，必然大于48：
1. 排序后，从小到大的第3个数为38，第4个数为48，中位数为$\frac{38+48}{2}=43$，计算结果不受被涂污的个位数字影响。
2. 平均数：数据总和包含被涂污的个位数字，因此平均数随被涂数字变化。
3. 方差：平均数发生变化，各数据与平均数的差的平方和也随之改变，因此方差随被涂数字变化。
4. 众数：若被涂污数字为2，数据中52出现2次，此时众数为36和52，和仅以36为众数的情况不同，因此众数与被涂数字有关。
综上，计算结果与被涂污数字无关的是中位数。
1. 排序后，从小到大的第3个数为38，第4个数为48，中位数为$\frac{38+48}{2}=43$，计算结果不受被涂污的个位数字影响。
2. 平均数：数据总和包含被涂污的个位数字，因此平均数随被涂数字变化。
3. 方差：平均数发生变化，各数据与平均数的差的平方和也随之改变，因此方差随被涂数字变化。
4. 众数：若被涂污数字为2，数据中52出现2次，此时众数为36和52，和仅以36为众数的情况不同，因此众数与被涂数字有关。
综上，计算结果与被涂污数字无关的是中位数。
二、填空题
1. 已知关于$ x $的方程$\dfrac{x - 2}{x - 3} = 2 + \dfrac{a}{x - 3}$有增根，那么$ a = $。
1. 已知关于$ x $的方程$\dfrac{x - 2}{x - 3} = 2 + \dfrac{a}{x - 3}$有增根，那么$ a = $。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
分式方程的分母为$x-3$，若方程有增根，则增根满足$x-3=0$，即增根为$x=3$。
方程两边同时乘$(x-3)$去分母，得：
$x-2=2(x-3)+a$
将$x=3$代入上式：
$3-2=2×(3-3)+a$
解得$a=1$。
分式方程的分母为$x-3$，若方程有增根，则增根满足$x-3=0$，即增根为$x=3$。
方程两边同时乘$(x-3)$去分母，得：
$x-2=2(x-3)+a$
将$x=3$代入上式：
$3-2=2×(3-3)+a$
解得$a=1$。
2. 如图,点A,B分别在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$和$y=\frac{k_2}{x}$的图象上,分别过A,B两点向x轴、y轴作垂线,形成的阴影部分的面积为12,则$k_1 - k_2 =$。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：根据反比例函数中k的几何意义：
过第一象限内反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于对应反比例函数的k值。
因此点A对应的矩形面积为$k_1$，点B对应的矩形面积为$k_2$。
由图可知，阴影部分的面积 = 点A对应的矩形面积 - 点B对应的矩形面积，
即$k_1 - k_2 = 12$。
最终
过第一象限内反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于对应反比例函数的k值。
因此点A对应的矩形面积为$k_1$，点B对应的矩形面积为$k_2$。
由图可知，阴影部分的面积 = 点A对应的矩形面积 - 点B对应的矩形面积，
即$k_1 - k_2 = 12$。
最终
3.如图,菱形ABCD的周长为20,面积为24,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB,AD的垂线段PE,PF,则PE+PF等于.
答案
$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$（或4.8）
解析
解：
连接AP。
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴ AB = AD = 20 ÷ 4 = 5，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} × 24 = 12$。
∵ PE⊥AB，PF⊥AD，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2} AB · PE$，$S_{△ ADP} = \frac{1}{2} AD · PF$。
又∵ $S_{△ ABP} + S_{△ ADP} = S_{△ ABD}$，
代入得：$\frac{1}{2} × 5 × PE + \frac{1}{2} × 5 × PF = 12$，
整理得：$5(PE + PF) = 24$，
∴ $PE + PF = \frac{24}{5}$。
最终
连接AP。
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴ AB = AD = 20 ÷ 4 = 5，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} × 24 = 12$。
∵ PE⊥AB，PF⊥AD，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2} AB · PE$，$S_{△ ADP} = \frac{1}{2} AD · PF$。
又∵ $S_{△ ABP} + S_{△ ADP} = S_{△ ABD}$，
代入得：$\frac{1}{2} × 5 × PE + \frac{1}{2} × 5 × PF = 12$，
整理得：$5(PE + PF) = 24$，
∴ $PE + PF = \frac{24}{5}$。
最终
4. 一组数据1,2,a的平均数为3，另一组数据-1,a,1,2,b的唯一众数为-1，则数据-1,a,b,1,2,4的中位数为
答案
$\boldsymbol{1.5}$
解析
解：
∵ 数据1,2,a的平均数为3，
∴ $\frac{1+2+a}{3}=3$，
解得 $a=6$。
∵ 数据-1,a,1,2,b的唯一众数为-1，
∴ -1出现的次数最多，可得 $b=-1$。
将数据-1,a,b,1,2,4从小到大排序为：-1，-1，1，2，4，6。
该组数据共6个，中位数为排序后第3个数和第4个数的平均数，即 $\frac{1+2}{2}=1.5$。
最终
∵ 数据1,2,a的平均数为3，
∴ $\frac{1+2+a}{3}=3$，
解得 $a=6$。
∵ 数据-1,a,1,2,b的唯一众数为-1，
∴ -1出现的次数最多，可得 $b=-1$。
将数据-1,a,b,1,2,4从小到大排序为：-1，-1，1，2，4，6。
该组数据共6个，中位数为排序后第3个数和第4个数的平均数，即 $\frac{1+2}{2}=1.5$。
最终
三、解答题
1. 按要求完成下列计算：
(1)化简：
；
(2)解方程：$\frac{4}{x^2 -1} - \frac{3}{x^2 +x} = \frac{2}{x^2 -x}$。
1. 按要求完成下列计算：
(1)化简：
；(2)解方程：$\frac{4}{x^2 -1} - \frac{3}{x^2 +x} = \frac{2}{x^2 -x}$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}原式&=[\frac{3}{a+2}-\frac{a+2}{a+2}] ÷ \frac{(a-1)^2}{a+2}\\&=\frac{3-a-2}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\frac{1-a}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\frac{-(a-1)}{(a-1)^2}\\&=-\frac{1}{a-1}=\frac{1}{1-a}\end{aligned}$
(2) 原方程整理为：
$\frac{4}{(x+1)(x-1)} - \frac{3}{x(x+1)} = \frac{2}{x(x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$4x - 3(x-1) = 2(x+1)$
去括号，得：
$4x - 3x + 3 = 2x + 2$
移项、合并同类项，得：
$-x = -1$
解得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
(1)
$\begin{aligned}原式&=[\frac{3}{a+2}-\frac{a+2}{a+2}] ÷ \frac{(a-1)^2}{a+2}\\&=\frac{3-a-2}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\frac{1-a}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}\\&=\frac{-(a-1)}{(a-1)^2}\\&=-\frac{1}{a-1}=\frac{1}{1-a}\end{aligned}$
(2) 原方程整理为：
$\frac{4}{(x+1)(x-1)} - \frac{3}{x(x+1)} = \frac{2}{x(x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$4x - 3(x-1) = 2(x+1)$
去括号，得：
$4x - 3x + 3 = 2x + 2$
移项、合并同类项，得：
$-x = -1$
解得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
2. 如图,在四边形ABCD中,已知E,F,G,H分别是四条边AB,BC,CD,DA的中点,AC,BD是对角线,连接EF,FG,GH,HE.
(1)证明:四边形EFGH为平行四边形.
(2)若,则四边形EFGH是菱形.请从①$AC ⊥ BD$;②$AC=BD$这两个选项中选择一个作为条件,使结论成立.(填序号)
(1)证明:四边形EFGH为平行四边形.
(2)若,则四边形EFGH是菱形.请从①$AC ⊥ BD$;②$AC=BD$这两个选项中选择一个作为条件,使结论成立.(填序号)
答案
$\boldsymbol{②}$
解析
(1) 证明：
∵ E,F分别是AB,BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理，G,H分别是CD,DA的中点，
∴ GH是△ADC的中位线，
∴ $GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$。
∴ $EF// GH$，且$EF=GH$，
∴ 四边形EFGH为平行四边形。
(2) 解：
由三角形中位线性质可得：$HE=\frac{1}{2}BD$，
若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=HE$，
结合(1)中已证的平行四边形EFGH，邻边相等的平行四边形是菱形，因此选条件②。
最终
∵ E,F分别是AB,BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理，G,H分别是CD,DA的中点，
∴ GH是△ADC的中位线，
∴ $GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$。
∴ $EF// GH$，且$EF=GH$，
∴ 四边形EFGH为平行四边形。
(2) 解：
由三角形中位线性质可得：$HE=\frac{1}{2}BD$，
若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=HE$，
结合(1)中已证的平行四边形EFGH，邻边相等的平行四边形是菱形，因此选条件②。
最终
