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1. 无论$x$取何值,下列分式总有意义的是()
A.$\frac{x-1}{x^2}$
B.$\frac{x}{x^2+1}$
C.$\frac{x^2+1}{x}$
D.$\frac{x^2}{(x+3)^2}$
A.$\frac{x-1}{x^2}$
B.$\frac{x}{x^2+1}$
C.$\frac{x^2+1}{x}$
D.$\frac{x^2}{(x+3)^2}$
答案
B
解析
分式有意义的条件是分母不为0，逐个分析选项：
A. 分母为$x^2$，当$x=0$时，分母为0，分式无意义；
B. 分母为$x^2+1$，对任意实数$x$，$x^2\ge0$，因此$x^2+1\ge1$，分母恒不为0，分式总有意义；
C. 分母为$x$，当$x=0$时，分母为0，分式无意义；
D. 分母为$(x+3)^2$，当$x=-3$时，分母为0，分式无意义。
综上，符合要求的是选项B。
A. 分母为$x^2$，当$x=0$时，分母为0，分式无意义；
B. 分母为$x^2+1$，对任意实数$x$，$x^2\ge0$，因此$x^2+1\ge1$，分母恒不为0，分式总有意义；
C. 分母为$x$，当$x=0$时，分母为0，分式无意义；
D. 分母为$(x+3)^2$，当$x=-3$时，分母为0，分式无意义。
综上，符合要求的是选项B。
2. 已知$x+\frac{1}{x}=4$，则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值为（）
A.16
B.32
C.30
D.14
A.16
B.32
C.30
D.14
答案
D
解析
将$x+\frac{1}{x}=4$两边同时平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2}+2$
代入已知条件得$4^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2$，整理计算得$x^2+\frac{1}{x^2}=16-2=14$。
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2}+2$
代入已知条件得$4^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2$，整理计算得$x^2+\frac{1}{x^2}=16-2=14$。
3. 某农户想要用栅栏围成一个矩形鸡场,如图所示,鸡场的一边靠墙,号外三边用栅栏围成,若栅栏的总长为20 m,设矩形垂直于墙的一边长为x m,面积为y m²,当x在一定范围内变化时,y随x的变化而变化,则y与x满足的函数关系是()
A.$ y=20x $
B.$ y=20-2x $
C.$ y=\frac{20}{x} $
D.$ y=x(20-2x) $
A.$ y=20x $
B.$ y=20-2x $
C.$ y=\frac{20}{x} $
D.$ y=x(20-2x) $
答案
D
解析
已知矩形垂直于墙的一边长为x m，栅栏总长为20 m，因此平行于墙的一边的长度为(20-2x)m。根据矩形面积公式，可得面积y = x(20-2x)。
4. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.点E,F分别是CD,OD的中点,且$EF=2.5$,则BD的长度为()
A.5
B.8
C.9
D.10
A.5
B.8
C.9
D.10
答案
D
解析
∵点E,F分别是CD,OD的中点，∴EF是△OCD的中位线，根据三角形中位线定理，得OC=2EF=2×2.5=5。∵四边形ABCD是矩形，矩形对角线相等且互相平分，∴BD=AC=2OC=10。
5. 如图,反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$与矩形OABC相交于点D,E,点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上,点D,E分别在BC,AB上.若点E是AB的四等分点,连接OD,OE,则四边形ODBE的面积为()
A.16
B.20
C.24
D.28
A.16
B.20
C.24
D.28
答案
C
解析
1. 设点E坐标为$(x,y)$，因E在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$上，故$xy=-8$。
2. 由E是AB的四等分点，得$AB=4AE$，即点B纵坐标为$4y$，矩形OABC的面积$S_{\mathrm{矩形}OABC}=|x|·4y=-4xy=-4×(-8)=32$。
3. 根据反比例函数$k$的几何意义，D、E都在$y=-\dfrac{8}{x}$上，因此$S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}|xy|=4$，$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}|k|=4$。
4. 四边形ODBE的面积$=S_{\mathrm{矩形}OABC}-S_{△ OAE}-S_{△ OCD}=32-4-4=24$。
2. 由E是AB的四等分点，得$AB=4AE$，即点B纵坐标为$4y$，矩形OABC的面积$S_{\mathrm{矩形}OABC}=|x|·4y=-4xy=-4×(-8)=32$。
3. 根据反比例函数$k$的几何意义，D、E都在$y=-\dfrac{8}{x}$上，因此$S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}|xy|=4$，$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}|k|=4$。
4. 四边形ODBE的面积$=S_{\mathrm{矩形}OABC}-S_{△ OAE}-S_{△ OCD}=32-4-4=24$。
6. 我国明代《永乐大典》记载了“绫罗尺价”的问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文. 问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布共3丈(1丈=10尺). 已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售一尺共收入120文钱. 问两种布每尺各多少文钱.”设绫布每尺的价格为x文钱，则罗布每尺的价格为(120−x)文钱，可列方程为()
A. $\frac{896}{x}+\frac{896}{120-x}=30$
C. $\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
D. $\frac{896}{x}+\frac{896}{30+x}=120$
A. $\frac{896}{x}+\frac{896}{120-x}=30$
C. $\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
D. $\frac{896}{x}+\frac{896}{30+x}=120$
答案
解：
由题意得，3丈 = 30尺。
已知绫布每尺价格为x文，则绫布的总尺数为$\frac{896}{x}$；
罗布每尺价格为$(120-x)$文，则罗布的总尺数为$\frac{896}{120-x}$。
因为绫布与罗布的总尺数为30尺，因此可列方程：
$\frac{896}{x}+\frac{896}{120-x}=30$。
答案选A。
由题意得，3丈 = 30尺。
已知绫布每尺价格为x文，则绫布的总尺数为$\frac{896}{x}$；
罗布每尺价格为$(120-x)$文，则罗布的总尺数为$\frac{896}{120-x}$。
因为绫布与罗布的总尺数为30尺，因此可列方程：
$\frac{896}{x}+\frac{896}{120-x}=30$。
答案选A。
