【学以致用3】已知函数$f(x)=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{π}{6})$（$x\in\mathbf{R}$）.填写下表，并用“五点法”画出函数$y=f(x)$在一个周期内的图象.
| $2x+\frac{π}{6}$ | | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ | | 图1 | | | |
| $f(x)$ | | | | | |

填写表格如下：
| $2x+\frac{π}{6}$ | $0$ | $\frac{π}{2}$ | $π$ | $\frac{3π}{2}$ | $2π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ | $-\frac{π}{12}$ | $\frac{π}{6}$ | $\frac{5π}{12}$ | $\frac{2π}{3}$ | $\frac{11π}{12}$ |
| $f(x)$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ |
描点并画出图象：

【典例1】(1)把函数 $y=2\sin(2x+\frac{π}{4})$ 的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度,再将横坐标、纵坐标都变为原来的$\frac{1}{2}$,所得到的图象对应的函数解析式为 （）
A.$y=\sin x$
B.$y=4\sin 4x$
C.$y=\sin(4x-\frac{π}{4})$
D.$y=4\sin(x-\frac{π}{4})$
(2)(多选)为得到函数 $f(x)=\sin(2x+\frac{π}{3})$ 的图象,只需将函数 $g(x)=\sin(x-\frac{π}{3})$ 的图象 （）
A.先向左平移$\frac{2π}{3}$个单位长度,再将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)
B.先向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度,再将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)
C.先将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),再向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度
D.先将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),再向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度
再向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度
解题指导 (1)向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度,即 $x-\frac{π}{4}$,横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$,即 $2x$,纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$,即$\frac{1}{2}A$.
(2)根据三角函数图象变换的知识逐项进行分析,确定正确答案.
解析 (1)把函数 $y=2\sin(2x+\frac{π}{4})$ 的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后,得 $y=2\sin[2(x-\frac{π}{4})+\frac{π}{4}]=2\sin(2x-\frac{π}{4})$ 的图象,(向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度是 $x-\frac{π}{4}$,不是 $2x-\frac{π}{4}$)
再将横坐标、纵坐标都变为原来的$\frac{1}{2}$,得 $y=\sin(4x-\frac{π}{4})$ 的图象.
(2)选项A,先向左平移$\frac{2π}{3}$个单位长度,得 $y=\sin[(x+\frac{2π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(x+\frac{π}{3})$,再将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得 $y=\sin(2x+\frac{π}{3})=f(x)$,故该选项正确;
选项B,先向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度,得 $y=\sin[(x-\frac{2π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(x-π)$,再将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得 $y=\sin(2x-π)≠ f(x)$,故该选项错误;
选项C,先将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得 $y=\sin(2x-\frac{π}{3})$,再向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度,得 $y=\sin[2(x+\frac{π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(2x+\frac{π}{3})=f(x)$,故该选项正确;
选项D,先将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),得 $y=\sin(2x-\frac{π}{3})$,再向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度,得 $y=\sin[2(x-\frac{2π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(2x-\frac{5π}{3})=\sin(2x+\frac{π}{3})=f(x)$,故该选项正确.
答案 (1)C (2)ACD

(1) $\boldsymbol{C}$；(2) $\boldsymbol{ACD}$

解：
(1) 将函数$y=2\sin(2x+\frac{π}{4})$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，可得：
$y=2\sin[2(x-\frac{π}{4})+\frac{π}{4}]=2\sin(2x-\frac{π}{4})$
再将横坐标、纵坐标都变为原来的$\frac{1}{2}$，即把自变量$x$替换为$2x$，函数值乘以$\frac{1}{2}$，可得：
$y=\frac{1}{2}× 2\sin(2· 2x -\frac{π}{4})=\sin(4x-\frac{π}{4})$
故本小题选C。
(2) 逐项验证各变换过程：
选项A：将$g(x)=\sin(x-\frac{π}{3})$先向左平移$\frac{2π}{3}$个单位长度，得$y=\sin[(x+\frac{2π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(x+\frac{π}{3})$，再将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得$y=\sin(2x+\frac{π}{3})=f(x)$，该选项正确。
选项B：先向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度，得$y=\sin[(x-\frac{2π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(x-π)$，再将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得$y=\sin(2x-π)≠ f(x)$，该选项错误。
选项C：先将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得$y=\sin(2x-\frac{π}{3})$，再向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得$y=\sin[2(x+\frac{π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(2x+\frac{π}{3})=f(x)$，该选项正确。
选项D：先将横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得$y=\sin(2x-\frac{π}{3})$，再向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度，得$y=\sin[2(x-\frac{2π}{3})-\frac{π}{3}]=\sin(2x-\frac{5π}{3})=\sin(2x+\frac{π}{3})=f(x)$，该选项正确。
故本小题选ACD。
最终