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11.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=C_1, \\ mx+ny=C_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a(x-1)+3by=2C_1, \\ m(x-1)+3ny=2C_2\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=5, \\ y=1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=5, \\ y=1 \end{cases}$
答案
11.B
解析
【分析】
要解这道题，首先利用二元一次方程组解的定义：能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解。已知原方程组的解，代入原方程组可得到关于系数和常数项的等式。再观察新方程组的结构，右边是原方程组常数项的2倍，我们可以先把新方程组左右两边同时除以2，让右边和原方程组一致，再通过对比左右两边的结构，找到对应相等的关系，即可求出新方程组的解，不需要计算未知系数的值。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}ax+by=C_1, \\ mx+ny=C_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3,\end{cases}$
∴ 将$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2a+3b=C_1 \\2m+3n=C_2 \end{cases}$
将新方程组$\begin{cases}a(x-1)+3by=2C_1, \\ m(x-1)+3ny=2C_2\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以2，得：
$\begin{cases}\frac{a(x-1)}{2}+\frac{3by}{2}=C_1 \\\frac{m(x-1)}{2}+\frac{3ny}{2}=C_2 \end{cases}$
对比变形后的新方程组和原方程组的结构，可得对应关系：
$\begin{cases}\frac{x-1}{2}=2 \\\frac{3y}{2}=3 \end{cases}$
分别求解两个方程：
第一个方程：$x-1=2×2=4$，解得$x=5$
第二个方程：$3y=3×2=6$，解得$y=2$
因此新方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=2 \end{cases}$
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义
2.整体代入法
【点评】
本题是二元一次方程组解的应用类题目，核心是抓住两个方程组结构相同的特点，用整体对应的方法求解，避免了求解未知系数的复杂运算，考察了学生的观察能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先利用二元一次方程组解的定义：能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解。已知原方程组的解，代入原方程组可得到关于系数和常数项的等式。再观察新方程组的结构，右边是原方程组常数项的2倍，我们可以先把新方程组左右两边同时除以2，让右边和原方程组一致，再通过对比左右两边的结构，找到对应相等的关系，即可求出新方程组的解，不需要计算未知系数的值。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}ax+by=C_1, \\ mx+ny=C_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3,\end{cases}$
∴ 将$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2a+3b=C_1 \\2m+3n=C_2 \end{cases}$
将新方程组$\begin{cases}a(x-1)+3by=2C_1, \\ m(x-1)+3ny=2C_2\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以2，得：
$\begin{cases}\frac{a(x-1)}{2}+\frac{3by}{2}=C_1 \\\frac{m(x-1)}{2}+\frac{3ny}{2}=C_2 \end{cases}$
对比变形后的新方程组和原方程组的结构，可得对应关系：
$\begin{cases}\frac{x-1}{2}=2 \\\frac{3y}{2}=3 \end{cases}$
分别求解两个方程：
第一个方程：$x-1=2×2=4$，解得$x=5$
第二个方程：$3y=3×2=6$，解得$y=2$
因此新方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=2 \end{cases}$
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义
2.整体代入法
【点评】
本题是二元一次方程组解的应用类题目，核心是抓住两个方程组结构相同的特点，用整体对应的方法求解，避免了求解未知系数的复杂运算，考察了学生的观察能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
12.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2(x+1)＞-3x+4, \\ x-\dfrac{x+3}{2}≤ \dfrac{a}{6}\end{cases}$有且只有2个整数解，且关于$y$的方程$4-ay=2y+2$的解是整数，则符合条件的所有整数$a$的和是（ ）
A.$-6$
B.$-4$
C.$-3$
D.$-2$
A.$-6$
B.$-4$
C.$-3$
D.$-2$
答案
12.B
解析
【分析】
解决这道题分三步：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集；第二步根据“不等式组有且只有2个整数解”的条件，列出关于参数a的不等式，求出a的初步取值范围；第三步解关于y的一元一次方程，结合“方程的解是整数、a是整数”的要求，在a的初步范围内筛选出符合条件的整数a，最后求和即可。
【解析】
1. 求解不等式组：
① 解不等式$2(x+1)＞-3x+4$：
展开左边得$2x+2＞-3x+4$，
移项合并同类项得$5x＞2$，
解得$x＞\frac{2}{5}$。
② 解不等式$x-\dfrac{x+3}{2}≤ \dfrac{a}{6}$：
两边同时乘6消去分母得$6x-3(x+3)≤a$，
展开整理得$3x-9≤a$，
解得$x≤\frac{a+9}{3}$。
因此不等式组的解集为$\frac{2}{5}＜x≤\frac{a+9}{3}$。
2. 根据整数解的个数求a的范围：
不等式组有且只有2个整数解，大于$\frac{2}{5}$的最小两个整数是1、2，因此可得：
$2≤\frac{a+9}{3}＜3$，
两边同时乘3得$6≤a+9＜9$，
两边同时减9得$-3≤a＜0$。
3. 求解关于y的方程：
整理方程$4-ay=2y+2$：
移项得$-ay-2y=2-4$，
合并同类项得$-(a+2)y=-2$，即$(a+2)y=2$，
当$a+2≠0$时，$y=\frac{2}{a+2}$。
因为方程的解y是整数，a是整数，且$-3≤a＜0$，所以a的可能取值为-3、-2、-1：
当$a=-2$时，$a+2=0$，方程无意义，舍去；
当$a=-3$时，$y=\frac{2}{-3+2}=-2$，是整数，符合要求；
当$a=-1$时，$y=\frac{2}{-1+2}=2$，是整数，符合要求。
4. 计算符合条件的整数a的和：
符合条件的a为-3和-1，和为$-3+(-1)=-4$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法，一元一次方程解法，整数解问题
【点评】
本题是不等式组和一元一次方程结合的综合题型，易错点在于根据整数解的个数准确确定参数的取值范围，同时解方程时要注意分母不为0的隐含条件，熟练掌握不等式和方程的基本解法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解决这道题分三步：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集；第二步根据“不等式组有且只有2个整数解”的条件，列出关于参数a的不等式，求出a的初步取值范围；第三步解关于y的一元一次方程，结合“方程的解是整数、a是整数”的要求，在a的初步范围内筛选出符合条件的整数a，最后求和即可。
【解析】
1. 求解不等式组：
① 解不等式$2(x+1)＞-3x+4$：
展开左边得$2x+2＞-3x+4$，
移项合并同类项得$5x＞2$，
解得$x＞\frac{2}{5}$。
② 解不等式$x-\dfrac{x+3}{2}≤ \dfrac{a}{6}$：
两边同时乘6消去分母得$6x-3(x+3)≤a$，
展开整理得$3x-9≤a$，
解得$x≤\frac{a+9}{3}$。
因此不等式组的解集为$\frac{2}{5}＜x≤\frac{a+9}{3}$。
2. 根据整数解的个数求a的范围：
不等式组有且只有2个整数解，大于$\frac{2}{5}$的最小两个整数是1、2，因此可得：
$2≤\frac{a+9}{3}＜3$，
两边同时乘3得$6≤a+9＜9$，
两边同时减9得$-3≤a＜0$。
3. 求解关于y的方程：
整理方程$4-ay=2y+2$：
移项得$-ay-2y=2-4$，
合并同类项得$-(a+2)y=-2$，即$(a+2)y=2$，
当$a+2≠0$时，$y=\frac{2}{a+2}$。
因为方程的解y是整数，a是整数，且$-3≤a＜0$，所以a的可能取值为-3、-2、-1：
当$a=-2$时，$a+2=0$，方程无意义，舍去；
当$a=-3$时，$y=\frac{2}{-3+2}=-2$，是整数，符合要求；
当$a=-1$时，$y=\frac{2}{-1+2}=2$，是整数，符合要求。
4. 计算符合条件的整数a的和：
符合条件的a为-3和-1，和为$-3+(-1)=-4$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法，一元一次方程解法，整数解问题
【点评】
本题是不等式组和一元一次方程结合的综合题型，易错点在于根据整数解的个数准确确定参数的取值范围，同时解方程时要注意分母不为0的隐含条件，熟练掌握不等式和方程的基本解法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
13.在平面直角坐标系中,已知点$A(-1,4),B(3,1)$,经过点$A$的直线$a// x$轴,点$C$是直线$a$上的一个动点,当线段$BC$的长最短时,点$C$的坐标为 (
A.$(-1,1)$
B.$(4,3)$
C.$(3,4)$
D.$(3,-1)$
C
)A.$(-1,1)$
B.$(4,3)$
C.$(3,4)$
D.$(3,-1)$
答案
13.C
解析
【分析】
解题首先明确直线a的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知直线a过A(-1,4)，所以直线a上所有点的纵坐标都是4。接下来要找线段BC最短时的C点，根据垂线段最短的性质，当BC垂直于直线a时，BC的长度最短。垂直于水平直线的线是竖直直线，竖直直线上所有点横坐标相等，因此过B作竖直直线，和直线a的交点就是所求C点，结合坐标特征即可求出C点坐标。
【解析】
1. 确定直线a的坐标特征
∵直线$a// x$轴，且经过点$A(-1,4)$
∴直线a上所有点的纵坐标均为4，即直线a的表达式为$y=4$
2. 确定BC最短时的位置
根据“垂线段最短”的性质，当$BC⊥$直线a时，线段BC的长度最短
3. 求点C的坐标
∵直线a是水平直线，和它垂直的直线为平行于y轴的竖直直线，竖直直线上所有点的横坐标相等
已知点B坐标为$(3,1)$，因此过B且垂直于直线a的竖直直线上所有点横坐标为3
该直线与直线a（$y=4$）的交点C的坐标为$(3,4)$
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；平行于坐标轴的直线的坐标特征；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于基础几何坐标题，解题核心是利用垂线段最短确定最短距离的位置，再结合平行于坐标轴的直线的坐标特点快速求出交点坐标，掌握坐标与直线的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题首先明确直线a的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知直线a过A(-1,4)，所以直线a上所有点的纵坐标都是4。接下来要找线段BC最短时的C点，根据垂线段最短的性质，当BC垂直于直线a时，BC的长度最短。垂直于水平直线的线是竖直直线，竖直直线上所有点横坐标相等，因此过B作竖直直线，和直线a的交点就是所求C点，结合坐标特征即可求出C点坐标。
【解析】
1. 确定直线a的坐标特征
∵直线$a// x$轴，且经过点$A(-1,4)$
∴直线a上所有点的纵坐标均为4，即直线a的表达式为$y=4$
2. 确定BC最短时的位置
根据“垂线段最短”的性质，当$BC⊥$直线a时，线段BC的长度最短
3. 求点C的坐标
∵直线a是水平直线，和它垂直的直线为平行于y轴的竖直直线，竖直直线上所有点的横坐标相等
已知点B坐标为$(3,1)$，因此过B且垂直于直线a的竖直直线上所有点横坐标为3
该直线与直线a（$y=4$）的交点C的坐标为$(3,4)$
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；平行于坐标轴的直线的坐标特征；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于基础几何坐标题，解题核心是利用垂线段最短确定最短距离的位置，再结合平行于坐标轴的直线的坐标特点快速求出交点坐标，掌握坐标与直线的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.8
14.如图所示的是一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则$x$的取值范围为 （
A.$x＞1$
B.$1＜x≤5$
C.$1≤x≤5$
D.$1≤x＜5$
D
）A.$x＞1$
B.$1＜x≤5$
C.$1≤x≤5$
D.$1≤x＜5$
答案
14.D
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确“经过两次运算才能输出结果”的含义：第一次输入x计算后结果小于17，无法输出，需要将第一次的运算结果作为新的输入值进行第二次运算，第二次运算的结果大于等于17，可输出。据此列出两个一元一次不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据运算程序，运算规则为：输入值先乘3再加2，即运算式为$3x+2$。
因为需要经过两次运算才能输出：
1. 第一次运算后无法输出，因此第一次运算结果小于17：
$3x+2 ＜ 17$
解不等式：$3x ＜ 15$，得$x ＜ 5$。
2. 第二次运算后可以输出，将第一次的结果$3x+2$作为新的输入值，第二次运算结果大于等于17：
$3(3x+2)+2 ≥ 17$
化简左边：$9x+6+2 = 9x+8$
即$9x+8 ≥ 17$
解不等式：$9x ≥ 9$，得$x ≥ 1$。
综合两个不等式的解，x的取值范围为$1≤ x ＜5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的应用，程序流程图运算
【点评】
本题的核心是准确理解“两次运算才输出”的逻辑，明确两次运算分别对应的不等关系，注意第一次运算结果不满足输出条件、第二次满足，列不等式时不要混淆不等号的方向，正确解不等式组即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确“经过两次运算才能输出结果”的含义：第一次输入x计算后结果小于17，无法输出，需要将第一次的运算结果作为新的输入值进行第二次运算，第二次运算的结果大于等于17，可输出。据此列出两个一元一次不等式，组成不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据运算程序，运算规则为：输入值先乘3再加2，即运算式为$3x+2$。
因为需要经过两次运算才能输出：
1. 第一次运算后无法输出，因此第一次运算结果小于17：
$3x+2 ＜ 17$
解不等式：$3x ＜ 15$，得$x ＜ 5$。
2. 第二次运算后可以输出，将第一次的结果$3x+2$作为新的输入值，第二次运算结果大于等于17：
$3(3x+2)+2 ≥ 17$
化简左边：$9x+6+2 = 9x+8$
即$9x+8 ≥ 17$
解不等式：$9x ≥ 9$，得$x ≥ 1$。
综合两个不等式的解，x的取值范围为$1≤ x ＜5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的应用，程序流程图运算
【点评】
本题的核心是准确理解“两次运算才输出”的逻辑，明确两次运算分别对应的不等关系，注意第一次运算结果不满足输出条件、第二次满足，列不等式时不要混淆不等号的方向，正确解不等式组即可得到结果。
【难度系数】
0.7
15.若关于$x$，$y$的方程$x+2y=1$，$2x-y=7$，$kx-y=4$有公共解，则$k$的值为
1
。答案
15.1
解析
【分析】
三个方程有公共解，说明存在一组x、y的值同时满足这三个方程。首先前两个方程不含参数k，我们可以先联立这两个方程组成二元一次方程组，解出x和y的取值，再将x、y的值代入第三个含k的方程，即可求出k的值。
【解析】
首先联立不含参数的两个方程，得到方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 1 ①\\2x - y = 7 ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
将②×2，得$4x - 2y = 14$ ③
①+③，得$5x = 15$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$3 + 2y = 1$，解得$y=-1$
所以前两个方程的公共解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
因为三个方程有公共解，所以该解也满足第三个方程$kx - y = 4$，将x=3，y=-1代入得：
$3k - (-1) = 4$
即$3k + 1 = 4$，解得$k=1$
【答案】
1
【知识点】
1.二元一次方程公共解
2.解二元一次方程组
3.代入求参数
【点评】
本题考查对公共解概念的应用，解题核心是先通过不含参数的方程组求出公共解，再代入含参数的方程计算参数值，是二元一次方程组章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
三个方程有公共解，说明存在一组x、y的值同时满足这三个方程。首先前两个方程不含参数k，我们可以先联立这两个方程组成二元一次方程组，解出x和y的取值，再将x、y的值代入第三个含k的方程，即可求出k的值。
【解析】
首先联立不含参数的两个方程，得到方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 1 ①\\2x - y = 7 ②\end{cases}$
用加减消元法解方程组：
将②×2，得$4x - 2y = 14$ ③
①+③，得$5x = 15$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$3 + 2y = 1$，解得$y=-1$
所以前两个方程的公共解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
因为三个方程有公共解，所以该解也满足第三个方程$kx - y = 4$，将x=3，y=-1代入得：
$3k - (-1) = 4$
即$3k + 1 = 4$，解得$k=1$
【答案】
1
【知识点】
1.二元一次方程公共解
2.解二元一次方程组
3.代入求参数
【点评】
本题考查对公共解概念的应用，解题核心是先通过不含参数的方程组求出公共解，再代入含参数的方程计算参数值，是二元一次方程组章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
16.新定义 定义:如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解,则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程.若方程$9 - x = 2x$，$7 + x = 2(x + \dfrac{1}{2})$都是关于$x$的不等式$x ＜ 2x - m$的相伴方程,则$m$的取值范围为
$m＜3$
.答案
16.$m＜3$
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题时首先要明确“相伴方程”的含义：一元一次方程的解属于一元一次不等式的解集。解题思路如下：第一步先分别计算两个给定一元一次方程的解；第二步求解关于x的不等式，用含m的式子表示不等式的解集；第三步根据两个方程的解都属于不等式的解集，列关于m的不等式，即可求出m的取值范围。
【解析】
1. 求解两个一元一次方程的解：
① 解方程$9 - x = 2x$：
移项得：$9=2x+x$
合并同类项得：$3x=9$
系数化为1得：$x=3$
② 解方程$7 + x = 2(x + \dfrac{1}{2})$：
去括号得：$7+x=2x+1$
移项得：$x-2x=1-7$
合并同类项得：$-x=-6$
系数化为1得：$x=6$
2. 求解不等式$x ＜ 2x - m$：
移项得：$x-2x＜-m$
合并同类项得：$-x＜-m$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x＞m$
3. 根据相伴方程的定义，$x=3$和$x=6$都是不等式$x＞m$的解，因此要同时满足$3＞m$、$6＞m$，取公共范围得$m＜3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
解一元一次方程，解一元一次不等式，新定义运算
【点评】
本题将新定义与一元一次方程、一元一次不等式的基础解法结合考查，核心是把新定义规则转化为常规的解方程、解不等式问题，解题时需注意解不等式两边同乘负数时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题时首先要明确“相伴方程”的含义：一元一次方程的解属于一元一次不等式的解集。解题思路如下：第一步先分别计算两个给定一元一次方程的解；第二步求解关于x的不等式，用含m的式子表示不等式的解集；第三步根据两个方程的解都属于不等式的解集，列关于m的不等式，即可求出m的取值范围。
【解析】
1. 求解两个一元一次方程的解：
① 解方程$9 - x = 2x$：
移项得：$9=2x+x$
合并同类项得：$3x=9$
系数化为1得：$x=3$
② 解方程$7 + x = 2(x + \dfrac{1}{2})$：
去括号得：$7+x=2x+1$
移项得：$x-2x=1-7$
合并同类项得：$-x=-6$
系数化为1得：$x=6$
2. 求解不等式$x ＜ 2x - m$：
移项得：$x-2x＜-m$
合并同类项得：$-x＜-m$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x＞m$
3. 根据相伴方程的定义，$x=3$和$x=6$都是不等式$x＞m$的解，因此要同时满足$3＞m$、$6＞m$，取公共范围得$m＜3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
解一元一次方程，解一元一次不等式，新定义运算
【点评】
本题将新定义与一元一次方程、一元一次不等式的基础解法结合考查，核心是把新定义规则转化为常规的解方程、解不等式问题，解题时需注意解不等式两边同乘负数时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
17.为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买 A，B 两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料：
材料一:已知购买 3 个 A 型号的新型垃圾桶和 2 个 B 型号的新型垃圾桶共 380 元,购买5 个A 型号的新型垃圾桶和 4 个 B 型号的新型垃圾桶共 700 元.
材料二:据统计,该社区需购买 A,B 两种型号的新型垃圾桶共 200 个(两种都要),但总费用不超过 15 300 元,且 B 型号的新型垃圾桶数量不少于 A 型号的新型垃圾桶数量的$\frac{2}{3}$.
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:求 A,B 两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二:有哪几种购买方案?
任务三:哪种方案更省钱?最低购买费用是多少元?
材料一:已知购买 3 个 A 型号的新型垃圾桶和 2 个 B 型号的新型垃圾桶共 380 元,购买5 个A 型号的新型垃圾桶和 4 个 B 型号的新型垃圾桶共 700 元.
材料二:据统计,该社区需购买 A,B 两种型号的新型垃圾桶共 200 个(两种都要),但总费用不超过 15 300 元,且 B 型号的新型垃圾桶数量不少于 A 型号的新型垃圾桶数量的$\frac{2}{3}$.
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:求 A,B 两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二:有哪几种购买方案?
任务三:哪种方案更省钱?最低购买费用是多少元?
答案
17.解:(任务一)设A型号的新型垃圾桶的单价是$x$元,B型号的新型垃圾桶的单价是$y$元.
根据题意,得$\begin{cases}3x+2y=380, \\5x+4y=700,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=60, \\y=100.\end{cases}$
答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
(任务二)设购买$m$个A型号的新型垃圾桶,则购买$(200-m)$个B型号的新型垃圾桶.
根据题意,得$\begin{cases}60m+100(200-m)≤15\ 300, \\200-m≥\frac{2}{3}m,\end{cases}$
解得$\frac{235}{2}≤m≤120$,
又
∵$m$为正整数,
∴$m$可以为118,119,120.
∴共有3种购买方案:
方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶;
方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶;
方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶.
(任务三)方案1所需费用为$60×118+100×82=15\ 280$(元);
方案2所需费用为$60×119+100×81=15\ 240$(元);
方案3所需费用为$60×120+100×80=15\ 200$(元).
∵$15\ 280＞15\ 240＞15\ 200$,
∴方案3更省钱,最低购买费用是15 200元.
根据题意,得$\begin{cases}3x+2y=380, \\5x+4y=700,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=60, \\y=100.\end{cases}$
答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
(任务二)设购买$m$个A型号的新型垃圾桶,则购买$(200-m)$个B型号的新型垃圾桶.
根据题意,得$\begin{cases}60m+100(200-m)≤15\ 300, \\200-m≥\frac{2}{3}m,\end{cases}$
解得$\frac{235}{2}≤m≤120$,
又
∵$m$为正整数,
∴$m$可以为118,119,120.
∴共有3种购买方案:
方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶;
方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶;
方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶.
(任务三)方案1所需费用为$60×118+100×82=15\ 280$(元);
方案2所需费用为$60×119+100×81=15\ 240$(元);
方案3所需费用为$60×120+100×80=15\ 200$(元).
∵$15\ 280＞15\ 240＞15\ 200$,
∴方案3更省钱,最低购买费用是15 200元.
解析
【分析】
任务一求A、B两种垃圾桶单价，可根据题干给出的两组购买总费用的等量关系，设两个未知数列二元一次方程组求解。任务二确定购买方案，已知总购买数量、总费用上限和两种型号数量的大小关系，设A型号购买数量为m，用含m的式子表示B型号数量，根据不等关系列一元一次不等式组，求出m的取值范围后结合m为正整数的实际意义，即可得到所有可行方案。任务三找最省钱方案，可分别计算各方案总费用比较大小，也可根据A型号单价更低的特点，判断A型号购买量越大总费用越低，直接得出最优方案。
【解析】
任务一：求A、B型号垃圾桶单价
设A型号新型垃圾桶的单价是$x$元，B型号新型垃圾桶的单价是$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+2y=380 \\5x+4y=700\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$6x+4y=760$，减去第二个方程得$x=60$，把$x=60$代入$3x+2y=380$，解得$y=100$。
任务二：确定购买方案
设购买$m$个A型号新型垃圾桶，则购买$(200-m)$个B型号新型垃圾桶。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60m+100(200-m)≤15300 \\200-m≥\frac{2}{3}m\end{cases}$
解第一个不等式得：$60m+20000-100m≤15300$，$-40m≤-4700$，$m≥117.5$；
解第二个不等式得：$600-3m≥2m$，$m≤120$；
故不等式组解集为$117.5≤m≤120$。
因为$m$为正整数，所以$m$可取118、119、120，对应3种方案：
方案1：购买118个A型号垃圾桶，$200-118=82$个B型号垃圾桶；
方案2：购买119个A型号垃圾桶，$200-119=81$个B型号垃圾桶；
方案3：购买120个A型号垃圾桶，$200-120=80$个B型号垃圾桶。
任务三：求最省钱方案及最低费用
计算各方案总费用：
方案1费用：$60×118+100×82=15280$元；
方案2费用：$60×119+100×81=15240$元；
方案3费用：$60×120+100×80=15200$元。
因为$15280＞15240＞15200$，所以方案3最省钱。
【答案】
任务一：A型号垃圾桶单价为60元，B型号垃圾桶单价为100元；
任务二：共有3种购买方案，分别为①购买118个A型号、82个B型号；②购买119个A型号、81个B型号；③购买120个A型号、80个B型号；
任务三：购买120个A型号、80个B型号的方案更省钱，最低购买费用是15200元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 一元一次不等式组应用
3. 最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际考察方程与不等式的综合应用，解题时需要准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意购买数量为正整数的实际限制，最终通过比较得出最优方案，能够有效锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
任务一求A、B两种垃圾桶单价，可根据题干给出的两组购买总费用的等量关系，设两个未知数列二元一次方程组求解。任务二确定购买方案，已知总购买数量、总费用上限和两种型号数量的大小关系，设A型号购买数量为m，用含m的式子表示B型号数量，根据不等关系列一元一次不等式组，求出m的取值范围后结合m为正整数的实际意义，即可得到所有可行方案。任务三找最省钱方案，可分别计算各方案总费用比较大小，也可根据A型号单价更低的特点，判断A型号购买量越大总费用越低，直接得出最优方案。
【解析】
任务一：求A、B型号垃圾桶单价
设A型号新型垃圾桶的单价是$x$元，B型号新型垃圾桶的单价是$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+2y=380 \\5x+4y=700\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$6x+4y=760$，减去第二个方程得$x=60$，把$x=60$代入$3x+2y=380$，解得$y=100$。
任务二：确定购买方案
设购买$m$个A型号新型垃圾桶，则购买$(200-m)$个B型号新型垃圾桶。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60m+100(200-m)≤15300 \\200-m≥\frac{2}{3}m\end{cases}$
解第一个不等式得：$60m+20000-100m≤15300$，$-40m≤-4700$，$m≥117.5$；
解第二个不等式得：$600-3m≥2m$，$m≤120$；
故不等式组解集为$117.5≤m≤120$。
因为$m$为正整数，所以$m$可取118、119、120，对应3种方案：
方案1：购买118个A型号垃圾桶，$200-118=82$个B型号垃圾桶；
方案2：购买119个A型号垃圾桶，$200-119=81$个B型号垃圾桶；
方案3：购买120个A型号垃圾桶，$200-120=80$个B型号垃圾桶。
任务三：求最省钱方案及最低费用
计算各方案总费用：
方案1费用：$60×118+100×82=15280$元；
方案2费用：$60×119+100×81=15240$元；
方案3费用：$60×120+100×80=15200$元。
因为$15280＞15240＞15200$，所以方案3最省钱。
【答案】
任务一：A型号垃圾桶单价为60元，B型号垃圾桶单价为100元；
任务二：共有3种购买方案，分别为①购买118个A型号、82个B型号；②购买119个A型号、81个B型号；③购买120个A型号、80个B型号；
任务三：购买120个A型号、80个B型号的方案更省钱，最低购买费用是15200元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 一元一次不等式组应用
3. 最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际考察方程与不等式的综合应用，解题时需要准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意购买数量为正整数的实际限制，最终通过比较得出最优方案，能够有效锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
