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9.在某学校组织的游艺晚会上,掷飞镖游艺区的游戏规则如下:如图所示,掷到A区和B区的得分不同,A区为小圆内部分,B区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点).现统计小华、小芳和小明掷中的得分情况如下.
(1)掷中A区、B区一次各得多少分?
(2)依此方法计算小明的得分.
小华:77分
小芳:75分
小明:？分
(1)掷中A区、B区一次各得多少分?
(2)依此方法计算小明的得分.
小华:77分
小芳:75分
小明:？分
答案
9.解:(1)设掷中A区一次得$x$分,掷中B区一次得$y$分.由题意,得$\begin{cases}5x+3y=77, \\3x+5y=75,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10, \\y=9.\end{cases}$
答:掷中A区一次得10分,掷中B区一次得9分.
(2)由(1),知$4x+4y=4×10+4×9=76$(分).
答:小明的得分为76分.
答:掷中A区一次得10分,掷中B区一次得9分.
(2)由(1),知$4x+4y=4×10+4×9=76$(分).
答:小明的得分为76分.
解析
【分析】
解决第(1)问时，由于有两个未知量：掷中A区一次的得分、掷中B区一次的得分，因此可通过列二元一次方程组求解。首先从图中统计命中次数：小华掷中A区5次、B区3次，总得分77分；小芳掷中A区3次、B区5次，总得分75分，结合“总得分=A区单次得分×A区命中次数+B区单次得分×B区命中次数”的等量关系列方程组，求解即可得到两个区的单次得分。
第(2)问先统计小明的命中次数：A区4次、B区4次，将第(1)问求出的单次得分代入总得分公式计算，即可得到小明的得分。
【解析】
(1) 设掷中A区一次得$x$分，掷中B区一次得$y$分。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+3y=77&① \\3x+5y=75&②\end{cases}$
用加减消元法求解：①×3得$15x+9y=231$ ③，②×5得$15x+25y=375$ ④，用④-③得$16y=144$，解得$y=9$。
把$y=9$代入①，得$5x+3×9=77$，解得$x=10$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=10 \\y=9\end{cases}$
答：掷中A区一次得10分，掷中B区一次得9分。
(2) 由图可知小明掷中A区4次，掷中B区4次，代入得分公式计算：
$4x+4y=4×10+4×9=76$（分）
答：小明的得分为76分。
【答案】
(1) 掷中A区一次得10分，掷中B区一次得9分；
(2) 小明得76分。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是结合实际场景的应用题，解题核心是准确读取图中A、B区的命中次数，找准得分的等量关系列方程，计算难度较低，主要考查学生的读图能力和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，由于有两个未知量：掷中A区一次的得分、掷中B区一次的得分，因此可通过列二元一次方程组求解。首先从图中统计命中次数：小华掷中A区5次、B区3次，总得分77分；小芳掷中A区3次、B区5次，总得分75分，结合“总得分=A区单次得分×A区命中次数+B区单次得分×B区命中次数”的等量关系列方程组，求解即可得到两个区的单次得分。
第(2)问先统计小明的命中次数：A区4次、B区4次，将第(1)问求出的单次得分代入总得分公式计算，即可得到小明的得分。
【解析】
(1) 设掷中A区一次得$x$分，掷中B区一次得$y$分。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+3y=77&① \\3x+5y=75&②\end{cases}$
用加减消元法求解：①×3得$15x+9y=231$ ③，②×5得$15x+25y=375$ ④，用④-③得$16y=144$，解得$y=9$。
把$y=9$代入①，得$5x+3×9=77$，解得$x=10$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=10 \\y=9\end{cases}$
答：掷中A区一次得10分，掷中B区一次得9分。
(2) 由图可知小明掷中A区4次，掷中B区4次，代入得分公式计算：
$4x+4y=4×10+4×9=76$（分）
答：小明的得分为76分。
【答案】
(1) 掷中A区一次得10分，掷中B区一次得9分；
(2) 小明得76分。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是结合实际场景的应用题，解题核心是准确读取图中A、B区的命中次数，找准得分的等量关系列方程，计算难度较低，主要考查学生的读图能力和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.某景区对基础设施提档升级，计划购置一批 A 型和 B 型器材.购买 1 套 A 型器材比购买 1 套 B型器材多 50 元,购买 2 套 A 型器材和 3 套 B 型器材共需 1 350 元.
(1)购买 1 套 A 型器材和 1 套 B 型器材各需多少元?
(2)根据景区的实际情况,需购买 A,B 型器材的总数为 50 套,购买 A,B 型器材的总费用不超过14 500 元.
①请问 A 型器材最多购买多少套?
②从游客的实际需要出发,其中 A 型器材购买的数量不少于 B 型器材数量的 3 倍,该景区共有几种购买方案?试写出所有的购买方案.
(1)购买 1 套 A 型器材和 1 套 B 型器材各需多少元?
(2)根据景区的实际情况,需购买 A,B 型器材的总数为 50 套,购买 A,B 型器材的总费用不超过14 500 元.
①请问 A 型器材最多购买多少套?
②从游客的实际需要出发,其中 A 型器材购买的数量不少于 B 型器材数量的 3 倍,该景区共有几种购买方案?试写出所有的购买方案.
答案
10.解:(1)设购买1套A型器材和1套B型器材各需$x$元、$y$元.
由题意,可得$\begin{cases}x-y=50, \\2x+3y=1\ 350,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=300, \\y=250.\end{cases}$
答:购买1套A型器材和1套B型器材各需300元、250元.
(2)①设购买A型器材$a$套,则购买B型器材$(50-a)$套,
由题意,可得$300a+250×(50-a)≤14\ 500$,
解得$a≤40$.
答:A型器材最多购买40套.
②设购买A型器材$a'$套,则购买B型器材$(50-a')$套,
由①可得$a'≤40$.
根据题意,可得$a'≥3(50-a')$,解得$a'≥\frac{75}{2}$.
∴$\frac{75}{2}≤a'≤40$.
又
∵$a'$为整数,
∴$a'$的取值为38,39,40,即有三种购买方案:
(Ⅰ)购买A型器材38套,B型器材12套;
(Ⅱ)购买A型器材39套,B型器材11套;
(Ⅲ)购买A型器材40套,B型器材10套.
由题意,可得$\begin{cases}x-y=50, \\2x+3y=1\ 350,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=300, \\y=250.\end{cases}$
答:购买1套A型器材和1套B型器材各需300元、250元.
(2)①设购买A型器材$a$套,则购买B型器材$(50-a)$套,
由题意,可得$300a+250×(50-a)≤14\ 500$,
解得$a≤40$.
答:A型器材最多购买40套.
②设购买A型器材$a'$套,则购买B型器材$(50-a')$套,
由①可得$a'≤40$.
根据题意,可得$a'≥3(50-a')$,解得$a'≥\frac{75}{2}$.
∴$\frac{75}{2}≤a'≤40$.
又
∵$a'$为整数,
∴$a'$的取值为38,39,40,即有三种购买方案:
(Ⅰ)购买A型器材38套,B型器材12套;
(Ⅱ)购买A型器材39套,B型器材11套;
(Ⅲ)购买A型器材40套,B型器材10套.
解析
【分析】
(1) 第一问要求两种器材的单价，存在两个未知量，对应两个明确的等量关系：①1套A型器材价格-1套B型器材价格=50元；②2套A型器材费用+3套B型器材费用=1350元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2) ①第二问求A型器材最多购买数量，已知总购买数量和总费用上限，设A型器材购买数量为a，即可表示出B型器材的数量，根据总费用不超过14500元的不等关系列一元一次不等式，求解后取最大正整数即可。
②新增A型数量不少于B型数量3倍的条件，将该条件转化为第二个不等式，结合①得到的a的上限，求出a的取值范围，再结合a为正整数的实际要求，找出范围内所有整数解，每个解对应一种购买方案。
【解析】
(1) 设购买1套A型器材需$x$元，1套B型器材需$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x-y=50 \\2x+3y=1350\end{cases}$
将$x=y+50$代入第二个方程，得$2(y+50)+3y=1350$，解得$y=250$，再代入得$x=300$。
(2) ①设购买A型器材$a$套，则购买B型器材$(50-a)$套，根据总费用要求列不等式：
$300a+250(50-a)≤14500$
化简得$50a≤2000$，解得$a≤40$，即A型器材最多购买40套。
②设购买A型器材$a'$套，则B型器材为$(50-a')$套，结合①的结论$a'≤40$，再根据A型数量要求列不等式：
$a'≥3(50-a')$
解得$a'≥37.5$，因此$a'$的取值范围为$37.5≤a'≤40$。
因为$a'$为正整数，所以$a'$可取38、39、40，对应3种购买方案：
方案1：A型38套，B型12套；
方案2：A型39套，B型11套；
方案3：A型40套，B型10套。
【答案】
(1) 购买1套A型器材需300元，1套B型器材需250元；
(2) ①A型器材最多购买40套；②共有3种购买方案，分别是：购买A型38套、B型12套；购买A型39套、B型11套；购买A型40套、B型10套。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合实际采购场景，考察学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，同时注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，是典型的应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问要求两种器材的单价，存在两个未知量，对应两个明确的等量关系：①1套A型器材价格-1套B型器材价格=50元；②2套A型器材费用+3套B型器材费用=1350元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2) ①第二问求A型器材最多购买数量，已知总购买数量和总费用上限，设A型器材购买数量为a，即可表示出B型器材的数量，根据总费用不超过14500元的不等关系列一元一次不等式，求解后取最大正整数即可。
②新增A型数量不少于B型数量3倍的条件，将该条件转化为第二个不等式，结合①得到的a的上限，求出a的取值范围，再结合a为正整数的实际要求，找出范围内所有整数解，每个解对应一种购买方案。
【解析】
(1) 设购买1套A型器材需$x$元，1套B型器材需$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x-y=50 \\2x+3y=1350\end{cases}$
将$x=y+50$代入第二个方程，得$2(y+50)+3y=1350$，解得$y=250$，再代入得$x=300$。
(2) ①设购买A型器材$a$套，则购买B型器材$(50-a)$套，根据总费用要求列不等式：
$300a+250(50-a)≤14500$
化简得$50a≤2000$，解得$a≤40$，即A型器材最多购买40套。
②设购买A型器材$a'$套，则B型器材为$(50-a')$套，结合①的结论$a'≤40$，再根据A型数量要求列不等式：
$a'≥3(50-a')$
解得$a'≥37.5$，因此$a'$的取值范围为$37.5≤a'≤40$。
因为$a'$为正整数，所以$a'$可取38、39、40，对应3种购买方案：
方案1：A型38套，B型12套；
方案2：A型39套，B型11套；
方案3：A型40套，B型10套。
【答案】
(1) 购买1套A型器材需300元，1套B型器材需250元；
(2) ①A型器材最多购买40套；②共有3种购买方案，分别是：购买A型38套、B型12套；购买A型39套、B型11套；购买A型40套、B型10套。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合实际采购场景，考察学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，同时注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，是典型的应用型题目。
【难度系数】
0.7
