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三、解答题
17. 因式分解：
(1)$a(x-y)+b(y-x)$；
(2)$3ax^2 + 6axy + 3ay^2$。
17. 因式分解：
(1)$a(x-y)+b(y-x)$；
(2)$3ax^2 + 6axy + 3ay^2$。
答案
17.(1)原式 = (x - y)·(a - b)
(2)原式 = 3a(x + y)²
(2)原式 = 3a(x + y)²
解析
【分析】
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：先观察式子是否存在公因式，优先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式的结构继续分解，最后确认分解结果不能再分解为止。
(1)小题中y-x与x-y互为相反数，可将y-x变形为-(x-y)，此时两项有公因式(x-y)，提取公因式即可完成分解；
(2)小题中三项均含有公因式3a，先提取公因式，剩余部分x²+2xy+y²符合完全平方和公式的特征，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 先将式子变形统一公因式：
原式 = a(x-y) - b(x-y)
提取公因式(x-y)，得：
= (x-y)(a - b)
(2) 先提取公因式3a：
原式 = 3a(x² + 2xy + y²)
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，对括号内部分分解，得：
= 3a(x + y)²
【答案】
(1)$(x-y)(a-b)$；(2)$3a(x+y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，解题时要注意识别互为相反数的因式，可通过符号变形统一为公因式，提取公因式后要检查剩余部分是否还能继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.85
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：先观察式子是否存在公因式，优先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式的结构继续分解，最后确认分解结果不能再分解为止。
(1)小题中y-x与x-y互为相反数，可将y-x变形为-(x-y)，此时两项有公因式(x-y)，提取公因式即可完成分解；
(2)小题中三项均含有公因式3a，先提取公因式，剩余部分x²+2xy+y²符合完全平方和公式的特征，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 先将式子变形统一公因式：
原式 = a(x-y) - b(x-y)
提取公因式(x-y)，得：
= (x-y)(a - b)
(2) 先提取公因式3a：
原式 = 3a(x² + 2xy + y²)
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，对括号内部分分解，得：
= 3a(x + y)²
【答案】
(1)$(x-y)(a-b)$；(2)$3a(x+y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，解题时要注意识别互为相反数的因式，可通过符号变形统一为公因式，提取公因式后要检查剩余部分是否还能继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.85
18. 解不等式组$\begin{cases}4(x+1) ＜ 7x +13, \\x -4 ＜ \dfrac{x -8}{3},\end{cases}$ 并写出它的所有负整数解。
答案
18. 解:解不等式4(x + 1) ＜ 7x + 13,得x ＞ -3。
解不等式$x - 4 ＜ \frac{x - 8}{3}$,得x ＜ 2。所以,原不等式组的解集为-3 ＜ x ＜ 2,
∴ 这个不等式组的所有负整数解集为-2,-1。
解不等式$x - 4 ＜ \frac{x - 8}{3}$,得x ＜ 2。所以,原不等式组的解集为-3 ＜ x ＜ 2,
∴ 这个不等式组的所有负整数解集为-2,-1。
解析
【分析】
解一元一次不等式组需遵循“先分后合”的思路：首先分别求解每个一元一次不等式，求解时按照去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，注意系数化为1时若系数为负数，不等号方向要改变；再找出两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在解集范围内筛选出符合要求的负整数解即可。
【解析】
解：先求解不等式$4(x+1) ＜ 7x +13$：
去括号，得$4x + 4 ＜ 7x +13$
移项，得$4x -7x ＜ 13 - 4$
合并同类项，得$-3x ＜ 9$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ＞ -3$
再求解不等式$x -4 ＜ \dfrac{x -8}{3}$：
两边同乘3去分母，得$3(x -4) ＜ x -8$
去括号，得$3x -12 ＜ x -8$
移项，得$3x -x ＜ -8 +12$
合并同类项，得$2x ＜4$
系数化为1，得$x ＜ 2$
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ 2$，该范围内的负整数为$-2$、$-1$。
【答案】
原不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ 2$，所有负整数解为$-2$，$-1$。
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；不等式组整数解
【点评】
本题是不等式组的基础常考题，主要考查一元一次不等式的运算能力和不等式组解集的判定方法，解题时要注意不等号方向的变化规则，筛选整数解时注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组需遵循“先分后合”的思路：首先分别求解每个一元一次不等式，求解时按照去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，注意系数化为1时若系数为负数，不等号方向要改变；再找出两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在解集范围内筛选出符合要求的负整数解即可。
【解析】
解：先求解不等式$4(x+1) ＜ 7x +13$：
去括号，得$4x + 4 ＜ 7x +13$
移项，得$4x -7x ＜ 13 - 4$
合并同类项，得$-3x ＜ 9$
系数化为1（不等号方向改变），得$x ＞ -3$
再求解不等式$x -4 ＜ \dfrac{x -8}{3}$：
两边同乘3去分母，得$3(x -4) ＜ x -8$
去括号，得$3x -12 ＜ x -8$
移项，得$3x -x ＜ -8 +12$
合并同类项，得$2x ＜4$
系数化为1，得$x ＜ 2$
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ 2$，该范围内的负整数为$-2$、$-1$。
【答案】
原不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ 2$，所有负整数解为$-2$，$-1$。
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；不等式组整数解
【点评】
本题是不等式组的基础常考题，主要考查一元一次不等式的运算能力和不等式组解集的判定方法，解题时要注意不等号方向的变化规则，筛选整数解时注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
19. 先化简,再求值:
(1)$(\frac{2x+1}{x} -1) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$,其中$x=\sqrt{3}+1$;
(2)$(\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x-1}{x^2+4x+4}) ÷ \frac{x-4}{x+2}$,其中$x^2+2x-4=0$。
(1)$(\frac{2x+1}{x} -1) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$,其中$x=\sqrt{3}+1$;
(2)$(\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x-1}{x^2+4x+4}) ÷ \frac{x-4}{x+2}$,其中$x^2+2x-4=0$。
答案
19.(1)原式 = $\frac{1}{x - 1}$,当$x = \sqrt{3} + 1$时,原式 = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)原式 = $\frac{1}{x^2 + 2x}$,
∵ $x^2 + 2x - 4 = 0$,
∴ $x^2 + 2x = 4$。当$x^2 + 2x = 4$时,原式 = $\frac{1}{4}$。
(2)原式 = $\frac{1}{x^2 + 2x}$,
∵ $x^2 + 2x - 4 = 0$,
∴ $x^2 + 2x = 4$。当$x^2 + 2x = 4$时,原式 = $\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：（1）先计算括号内的分式减法，将除法运算转化为乘法运算，再对多项式因式分解后约分，得到最简分式，最后代入x的数值计算即可；（2）先对各分式的分母因式分解，对括号内的分式通分后计算减法，再将除法转化为乘法约分得到最简结果，观察已知方程的形式，采用整体代入法求值，无需解出x的具体数值，可简化计算。
【解析】
(1) 第一步：计算括号内的减法
$(\frac{2x+1}{x} -1) = \frac{2x+1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{2x+1 -x}{x} = \frac{x+1}{x}$
第二步：将除法转化为乘法，同时因式分解
原式$= \frac{x+1}{x} ÷ \frac{x^2-1}{x} = \frac{x+1}{x} × \frac{x}{(x+1)(x-1)}$
第三步：约分得到最简式
约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得原式$= \frac{1}{x-1}$
第四步：代入$x=\sqrt{3}+1$求值
将$x=\sqrt{3}+1$代入得：原式$= \frac{1}{\sqrt{3}+1 -1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 第一步：对分母因式分解，确定最简公分母
$x^2+2x = x(x+2)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，最简公分母为$x(x+2)^2$
第二步：通分计算括号内的减法
括号内$= \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)^2} - \frac{x(x-1)}{x(x+2)^2} = \frac{(x^2-4) - (x^2 -x)}{x(x+2)^2} = \frac{x-4}{x(x+2)^2}$
第三步：将除法转化为乘法，约分化简
原式$= \frac{x-4}{x(x+2)^2} ÷ \frac{x-4}{x+2} = \frac{x-4}{x(x+2)^2} × \frac{x+2}{x-4} = \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{x^2+2x}$
第四步：整体代入求值
已知$x^2+2x -4=0$，可得$x^2+2x=4$，代入得原式$= \frac{1}{4}$
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{1}{x-1}$，值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2) 化简结果为$\frac{1}{x^2+2x}$，值为$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的混合运算能力，计算时需遵循先算括号内、再算乘除的运算顺序，注意通分、因式分解、约分的正确性；第二小题运用整体代入思想可大幅简化计算过程，避免求解方程的繁琐，解题时要注意观察已知条件和化简结果的关联。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：（1）先计算括号内的分式减法，将除法运算转化为乘法运算，再对多项式因式分解后约分，得到最简分式，最后代入x的数值计算即可；（2）先对各分式的分母因式分解，对括号内的分式通分后计算减法，再将除法转化为乘法约分得到最简结果，观察已知方程的形式，采用整体代入法求值，无需解出x的具体数值，可简化计算。
【解析】
(1) 第一步：计算括号内的减法
$(\frac{2x+1}{x} -1) = \frac{2x+1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{2x+1 -x}{x} = \frac{x+1}{x}$
第二步：将除法转化为乘法，同时因式分解
原式$= \frac{x+1}{x} ÷ \frac{x^2-1}{x} = \frac{x+1}{x} × \frac{x}{(x+1)(x-1)}$
第三步：约分得到最简式
约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得原式$= \frac{1}{x-1}$
第四步：代入$x=\sqrt{3}+1$求值
将$x=\sqrt{3}+1$代入得：原式$= \frac{1}{\sqrt{3}+1 -1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 第一步：对分母因式分解，确定最简公分母
$x^2+2x = x(x+2)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，最简公分母为$x(x+2)^2$
第二步：通分计算括号内的减法
括号内$= \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)^2} - \frac{x(x-1)}{x(x+2)^2} = \frac{(x^2-4) - (x^2 -x)}{x(x+2)^2} = \frac{x-4}{x(x+2)^2}$
第三步：将除法转化为乘法，约分化简
原式$= \frac{x-4}{x(x+2)^2} ÷ \frac{x-4}{x+2} = \frac{x-4}{x(x+2)^2} × \frac{x+2}{x-4} = \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{x^2+2x}$
第四步：整体代入求值
已知$x^2+2x -4=0$，可得$x^2+2x=4$，代入得原式$= \frac{1}{4}$
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{1}{x-1}$，值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2) 化简结果为$\frac{1}{x^2+2x}$，值为$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的混合运算能力，计算时需遵循先算括号内、再算乘除的运算顺序，注意通分、因式分解、约分的正确性；第二小题运用整体代入思想可大幅简化计算过程，避免求解方程的繁琐，解题时要注意观察已知条件和化简结果的关联。
【难度系数】
0.7
