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9.已知点$P(a+1, -\frac{a}{2}+1)$关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是（
C
）答案
9.C
解析
【分析】
解题思路可分四步走：①回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；②回忆第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负；③根据对称点的位置列出关于a的一元一次不等式组，求解得到a的取值范围；④对照数轴表示的规则，判断对应正确的选项。
【解析】
首先求点$P(a+1, -\frac{a}{2}+1)$关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此对称点坐标为$(-(a+1), -(-\frac{a}{2}+1))$，化简得$(-a-1, \frac{a}{2}-1)$。
已知该对称点在第四象限，第四象限内点满足横坐标＞0，纵坐标＜0，据此列不等式组：
$\begin{cases}-a-1 ＞ 0 \quad \mathrm{(1)} \\\frac{a}{2} - 1 ＜ 0 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式①：移项得$-a＞1$，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$a ＜ -1$。
解不等式②：移项得$\frac{a}{2}＜1$，两边同乘$2$，得$a ＜ 2$。
取两个解集的公共部分，得$a ＜ -1$。
数轴表示$a ＜ -1$时，在$-1$处画空心圆圈（不包含$-1$），向左画线表示取值范围，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，象限内点的坐标符号，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于综合基础题，需要熟练掌握平面直角坐标系中点的相关性质，解不等式时注意不等号方向的变化规则，数轴表示时要区分空心圆圈和实心点的使用场景。
【难度系数】
0.7
解题思路可分四步走：①回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；②回忆第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负；③根据对称点的位置列出关于a的一元一次不等式组，求解得到a的取值范围；④对照数轴表示的规则，判断对应正确的选项。
【解析】
首先求点$P(a+1, -\frac{a}{2}+1)$关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此对称点坐标为$(-(a+1), -(-\frac{a}{2}+1))$，化简得$(-a-1, \frac{a}{2}-1)$。
已知该对称点在第四象限，第四象限内点满足横坐标＞0，纵坐标＜0，据此列不等式组：
$\begin{cases}-a-1 ＞ 0 \quad \mathrm{(1)} \\\frac{a}{2} - 1 ＜ 0 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式①：移项得$-a＞1$，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$a ＜ -1$。
解不等式②：移项得$\frac{a}{2}＜1$，两边同乘$2$，得$a ＜ 2$。
取两个解集的公共部分，得$a ＜ -1$。
数轴表示$a ＜ -1$时，在$-1$处画空心圆圈（不包含$-1$），向左画线表示取值范围，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，象限内点的坐标符号，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于综合基础题，需要熟练掌握平面直角坐标系中点的相关性质，解不等式时注意不等号方向的变化规则，数轴表示时要区分空心圆圈和实心点的使用场景。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,在$Rt△ABC$中,$∠BAC=90°,∠ABC$的平分线BD交AC于点D,DE垂直平分BC,点E是垂足。已知$DC=4,AD=2$,则图中长为$2\sqrt{3}$的线段有 (
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
B
)A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先从已知的角平分线、垂直平分线性质入手，第一步根据角平分线上的点到角两边距离相等，得到DE与AD的长度关系；第二步根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到BD=CD、BE=EC；第三步在直角三角形DEC中用勾股定理算出EC的长度，进而得到BE的长度；最后通过全等三角形判定算出AB的长度，统计长度为$2\sqrt{3}$的线段数量即可。
【解析】
1. 由角平分线的性质：
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°（即BA⊥AC），DE⊥BC，
∴DE=AD=2。
2. 由线段垂直平分线的性质：
∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC=4，BE=EC。
3. 在Rt△DEC中，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{DC^2 - DE^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
因此$BE=EC=2\sqrt{3}$。
4. 在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\begin{cases} AD=DE=2 \\ BD=BD \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=BE=$2\sqrt{3}$。
综上，长度为$2\sqrt{3}$的线段有AB、BE、EC，共3条。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，需要熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质，结合勾股定理或全等三角形判定推导线段长度，解题时注意逐一排查所有线段，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的角平分线、垂直平分线性质入手，第一步根据角平分线上的点到角两边距离相等，得到DE与AD的长度关系；第二步根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到BD=CD、BE=EC；第三步在直角三角形DEC中用勾股定理算出EC的长度，进而得到BE的长度；最后通过全等三角形判定算出AB的长度，统计长度为$2\sqrt{3}$的线段数量即可。
【解析】
1. 由角平分线的性质：
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°（即BA⊥AC），DE⊥BC，
∴DE=AD=2。
2. 由线段垂直平分线的性质：
∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC=4，BE=EC。
3. 在Rt△DEC中，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{DC^2 - DE^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
因此$BE=EC=2\sqrt{3}$。
4. 在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\begin{cases} AD=DE=2 \\ BD=BD \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=BE=$2\sqrt{3}$。
综上，长度为$2\sqrt{3}$的线段有AB、BE、EC，共3条。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，需要熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质，结合勾股定理或全等三角形判定推导线段长度，解题时注意逐一排查所有线段，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11.如图所示,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的大小为 (
A.53°
B.37°
C.47°
D.123°
B
)A.53°
B.37°
C.47°
D.123°
答案
11.B
解析
【分析】
首先根据平行四边形对边平行的性质，可得AD//BC，结合平行线同位角相等的规律，就能求出∠B的度数等于已知的∠EAD；再根据CE⊥AB可知△BEC是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，用90°减去∠B的度数即可得到∠BCE的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B=∠EAD=53°（两直线平行，同位角相等），
∵CE⊥AB，
∴∠E=90°，
在Rt△BEC中，∠B+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形、平行线、直角三角形的性质结合考察，解题的关键是找到角之间的等量关系，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
首先根据平行四边形对边平行的性质，可得AD//BC，结合平行线同位角相等的规律，就能求出∠B的度数等于已知的∠EAD；再根据CE⊥AB可知△BEC是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，用90°减去∠B的度数即可得到∠BCE的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B=∠EAD=53°（两直线平行，同位角相等），
∵CE⊥AB，
∴∠E=90°，
在Rt△BEC中，∠B+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形、平行线、直角三角形的性质结合考察，解题的关键是找到角之间的等量关系，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
12.如图所示,若干全等正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数是 (
A.6
B.7
C.8
D.9
B
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
12.B
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：首先计算正五边形的每个内角度数，再根据环状排列的特点求出环形对应的正多边形的内角度数，接着通过正多边形内角公式算出围成完整环一共需要的正五边形总数，最后减去已有的3个，就能得到还需要的正五边形个数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数
根据多边形内角和公式，正$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 求环形对应的正多边形的内角度数
观察排列结构可知，环形实际是一个正多边形，它的每个内角等于周角减去2个正五边形的内角，即：
$360°-2×108°=144°$
3. 计算围成环所需正五边形的总个数
设环形正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解方程：
$180(n-2)=144n$
$180n-360=144n$
$36n=360$
解得$n=10$，即围成完整环共需要10个正五边形。
4. 计算还需的正五边形个数
已经给出3个，因此还需要的个数为$10-3=7$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和，正多边形性质
【点评】
本题是多边形内角和的实际应用类题目，解题核心是找到环形结构对应的正多边形内角度数，结合正多边形内角公式推导总个数，能够很好地考查学生对多边形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推进：首先计算正五边形的每个内角度数，再根据环状排列的特点求出环形对应的正多边形的内角度数，接着通过正多边形内角公式算出围成完整环一共需要的正五边形总数，最后减去已有的3个，就能得到还需要的正五边形个数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数
根据多边形内角和公式，正$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 求环形对应的正多边形的内角度数
观察排列结构可知，环形实际是一个正多边形，它的每个内角等于周角减去2个正五边形的内角，即：
$360°-2×108°=144°$
3. 计算围成环所需正五边形的总个数
设环形正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解方程：
$180(n-2)=144n$
$180n-360=144n$
$36n=360$
解得$n=10$，即围成完整环共需要10个正五边形。
4. 计算还需的正五边形个数
已经给出3个，因此还需要的个数为$10-3=7$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和，正多边形性质
【点评】
本题是多边形内角和的实际应用类题目，解题核心是找到环形结构对应的正多边形内角度数，结合正多边形内角公式推导总个数，能够很好地考查学生对多边形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
13.若分式$\frac{2m -4}{m +1}$的值为0，则m的值为
2
。答案
13.2
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出m的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的m值，最终得到正确结果。
【解析】
分式的值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：
列方程得 $2m - 4 = 0$，
移项得 $2m = 4$，
系数化为1得 $m = 2$。
2. 分母不等于0：
将$m=2$代入分母$m+1$，得 $2+1=3 ≠ 0$，满足分母不为0的要求。
因此m的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，仅通过分子为0求解，遇到其他同类题目时若分子方程有多个解，一定要逐一验证分母是否符合要求，避免错解。
【难度系数】
0.8
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出m的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的m值，最终得到正确结果。
【解析】
分式的值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：
列方程得 $2m - 4 = 0$，
移项得 $2m = 4$，
系数化为1得 $m = 2$。
2. 分母不等于0：
将$m=2$代入分母$m+1$，得 $2+1=3 ≠ 0$，满足分母不为0的要求。
因此m的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，仅通过分子为0求解，遇到其他同类题目时若分子方程有多个解，一定要逐一验证分母是否符合要求，避免错解。
【难度系数】
0.8
14. 如图所示,正多边形ABCDEF的一个内角是
120°
。答案
14.120°
解析
【分析】
解题首先先判断正多边形的边数：观察正多边形ABCDEF有6个顶点，可知它是正六边形，边数$n=6$。接下来可以选择两种思路计算单个内角：思路一，先利用多边形内角和公式算出正六边形的总内角和，再除以边数得到单个内角的度数；思路二，利用任意多边形外角和恒为$360°$的性质，先算出正六边形的单个外角度数，再根据内角和相邻外角互补求出内角，两种方法都符合所学知识，计算难度低。
【解析】
已知正多边形ABCDEF为正六边形，边数$n=6$：
方法1：根据多边形内角和公式$多边形内角和=(n-2)×180°$，可得正六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$。
因为正多边形的每个内角相等，所以一个内角的度数为$720°÷6=120°$。
方法2：任意多边形的外角和均为$360°$，正六边形每个外角相等，因此单个外角的度数为$360°÷6=60°$。
由于内角与相邻外角互补，所以单个内角的度数为$180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
正多边形的性质、多边形内角和、多边形外角和
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查正多边形内角的求解方法，掌握多边形内角和公式或者外角和定理都能快速得出结果，两种解题思路可灵活选择。
【难度系数】
0.9
解题首先先判断正多边形的边数：观察正多边形ABCDEF有6个顶点，可知它是正六边形，边数$n=6$。接下来可以选择两种思路计算单个内角：思路一，先利用多边形内角和公式算出正六边形的总内角和，再除以边数得到单个内角的度数；思路二，利用任意多边形外角和恒为$360°$的性质，先算出正六边形的单个外角度数，再根据内角和相邻外角互补求出内角，两种方法都符合所学知识，计算难度低。
【解析】
已知正多边形ABCDEF为正六边形，边数$n=6$：
方法1：根据多边形内角和公式$多边形内角和=(n-2)×180°$，可得正六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$。
因为正多边形的每个内角相等，所以一个内角的度数为$720°÷6=120°$。
方法2：任意多边形的外角和均为$360°$，正六边形每个外角相等，因此单个外角的度数为$360°÷6=60°$。
由于内角与相邻外角互补，所以单个内角的度数为$180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
正多边形的性质、多边形内角和、多边形外角和
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查正多边形内角的求解方法，掌握多边形内角和公式或者外角和定理都能快速得出结果，两种解题思路可灵活选择。
【难度系数】
0.9
15. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$，则$\frac{a - 2ab - b}{2a - 2b + 7ab}$的值等于
6
。答案
15.6
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，先对已知等式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=4$通分变形，得到$a-b$与$ab$的数量关系；第二步，观察所求分式的结构，将分子、分母整理为含有$(a-b)$和$ab$的形式；第三步，把第一步得到的关系整体代入分式，约分后即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算。
【解析】
解：先对已知等式变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=4$，通分得$\frac{b-a}{ab}=4$，
两边同乘$ab$得：$b-a=4ab$，即$a-b=-4ab$。
再将所求分式变形，把$a-b$看作整体代入：
分子：$a-2ab-b=(a-b)-2ab$，代入$a-b=-4ab$，得：
$-4ab-2ab=-6ab$；
分母：$2a-2b+7ab=2(a-b)+7ab$，代入$a-b=-4ab$，得：
$2×(-4ab)+7ab=-8ab+7ab=-ab$。
因为$a≠0$，$b≠0$，所以$ab≠0$，分式可约分：
$\frac{a-2ab-b}{2a-2b+7ab}=\frac{-6ab}{-ab}=6$。
【答案】
6
【知识点】
分式化简求值、分式基本性质、整体代入思想
【点评】
本题是分式求值的典型常规题型，核心考查对已知条件和所求代数式的结构观察能力，不需要单独求解未知数的值，运用整体代入的思想可大幅简化运算，是分式章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，先对已知等式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=4$通分变形，得到$a-b$与$ab$的数量关系；第二步，观察所求分式的结构，将分子、分母整理为含有$(a-b)$和$ab$的形式；第三步，把第一步得到的关系整体代入分式，约分后即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算。
【解析】
解：先对已知等式变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=4$，通分得$\frac{b-a}{ab}=4$，
两边同乘$ab$得：$b-a=4ab$，即$a-b=-4ab$。
再将所求分式变形，把$a-b$看作整体代入：
分子：$a-2ab-b=(a-b)-2ab$，代入$a-b=-4ab$，得：
$-4ab-2ab=-6ab$；
分母：$2a-2b+7ab=2(a-b)+7ab$，代入$a-b=-4ab$，得：
$2×(-4ab)+7ab=-8ab+7ab=-ab$。
因为$a≠0$，$b≠0$，所以$ab≠0$，分式可约分：
$\frac{a-2ab-b}{2a-2b+7ab}=\frac{-6ab}{-ab}=6$。
【答案】
6
【知识点】
分式化简求值、分式基本性质、整体代入思想
【点评】
本题是分式求值的典型常规题型，核心考查对已知条件和所求代数式的结构观察能力，不需要单独求解未知数的值，运用整体代入的思想可大幅简化运算，是分式章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
16.如图所示,在$□ ABCD$中,点F在AD上,$AF=5\ \mathrm{cm}$,$BF=11\ \mathrm{cm}$,$∠ FBD=∠ CBD$,E是BC的中点,若点P以1 cm/s的速度从点A出发,沿AD向点F运动;点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发,沿CB向点B运动。点P运动到点F停止运动,同时点Q也停止运动,当点P运动时间是
3或$\frac{13}{3}$
s时,以P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形。答案
16.3或$\frac{13}{3}$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用平行四边形对边平行的性质结合已知等角，推导等腰三角形求出AD（即BC）的长度，进而得到BC中点E分BC的段长；再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，由于AD//BC，只需PF=EQ即可构成以P、Q、E、F为顶点的平行四边形；最后设运动时间为t，用含t的式子表示PF和EQ的长度，注意Q的位置有两种可能，分情况列方程求解后检验解是否符合运动范围即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠FBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠ADB，
∴FD=BF=11 cm，
∴AD=AF+FD=5+11=16 cm，即BC=16 cm。
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=8 cm。
设点P的运动时间为t s（0≤t≤5，P到F停止运动），则AP=t cm，CQ=2t cm，
∴PF=AF-AP=(5-t) cm。
分两种情况讨论：
①当Q位于E、C之间时，EQ=EC-CQ=(8-2t) cm，
∵PF//EQ，要使四边形PQEF为平行四边形，需PF=EQ，
∴5-t=8-2t，解得t=3，符合取值范围；
②当Q位于B、E之间时，EQ=CQ-EC=(2t-8) cm，
同理需PF=EQ，
∴5-t=2t-8，解得t=$\frac{13}{3}$，符合取值范围。
【答案】
3或$\frac{13}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定；等腰三角形的判定；动点分类讨论
【点评】
本题是平行四边形与动点结合的常见题型，解题的核心是先通过角的关系求出边的长度，再根据平行四边形的判定条件分情况列方程，解题时要注意考虑动点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用平行四边形对边平行的性质结合已知等角，推导等腰三角形求出AD（即BC）的长度，进而得到BC中点E分BC的段长；再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，由于AD//BC，只需PF=EQ即可构成以P、Q、E、F为顶点的平行四边形；最后设运动时间为t，用含t的式子表示PF和EQ的长度，注意Q的位置有两种可能，分情况列方程求解后检验解是否符合运动范围即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠FBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠ADB，
∴FD=BF=11 cm，
∴AD=AF+FD=5+11=16 cm，即BC=16 cm。
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=8 cm。
设点P的运动时间为t s（0≤t≤5，P到F停止运动），则AP=t cm，CQ=2t cm，
∴PF=AF-AP=(5-t) cm。
分两种情况讨论：
①当Q位于E、C之间时，EQ=EC-CQ=(8-2t) cm，
∵PF//EQ，要使四边形PQEF为平行四边形，需PF=EQ，
∴5-t=8-2t，解得t=3，符合取值范围；
②当Q位于B、E之间时，EQ=CQ-EC=(2t-8) cm，
同理需PF=EQ，
∴5-t=2t-8，解得t=$\frac{13}{3}$，符合取值范围。
【答案】
3或$\frac{13}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定；等腰三角形的判定；动点分类讨论
【点评】
本题是平行四边形与动点结合的常见题型，解题的核心是先通过角的关系求出边的长度，再根据平行四边形的判定条件分情况列方程，解题时要注意考虑动点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
