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一、选择题(每小题4分,共20分)
1. 下列各式中,不符合代数式的书写规范的是 （
A.$b+a$
B.$ax^{4}$
C.$3x-2$
D.$3\dfrac{1}{2}x$
1. 下列各式中,不符合代数式的书写规范的是 （
D
）A.$b+a$
B.$ax^{4}$
C.$3x-2$
D.$3\dfrac{1}{2}x$
答案
1.D
解析
【分析】首先明确代数式的书写规范：①数字与字母相乘时，数字需写在字母前，乘号可省略；②带分数与字母相乘时，必须将带分数化为假分数；③加法运算中字母顺序不影响代数式的正确性。接下来逐一分析选项：A选项$b+a$，加法顺序符合要求；B选项$ax^{4}$，数字在字母前，指数书写正确；C选项$3x-2$，数字与字母的位置、运算符号均符合规范；D选项是带分数与字母相乘，未化为假分数，不符合书写要求，因此选D。
【解析】根据代数式的书写规则，带分数与字母相乘时应化为假分数。选项D中$3\dfrac{1}{2}x$的带分数形式不符合规范，应改写为$\dfrac{7}{2}x$，其余选项均符合书写要求，故答案为D。
【答案】D
【知识点】代数式的书写规范
【点评】本题考查代数式的基础书写规则，属于概念类基础题，需牢记带分数、数字与字母相乘的书写细节，避免因规则混淆出错。
【难度系数】0.8
【解析】根据代数式的书写规则，带分数与字母相乘时应化为假分数。选项D中$3\dfrac{1}{2}x$的带分数形式不符合规范，应改写为$\dfrac{7}{2}x$，其余选项均符合书写要求，故答案为D。
【答案】D
【知识点】代数式的书写规范
【点评】本题考查代数式的基础书写规则，属于概念类基础题，需牢记带分数、数字与字母相乘的书写细节，避免因规则混淆出错。
【难度系数】0.8
2. 代数式$-7x$的意义可以是（
A.$-7$与$x$的和
B.$-7$与$x$的差
C.$-7$与$x$的积
D.$-7$与$x$的商
C
）A.$-7$与$x$的和
B.$-7$与$x$的差
C.$-7$与$x$的积
D.$-7$与$x$的商
答案
2.C
解析
【分析】要确定代数式$-7x$的意义，需先明确各选项对应的代数式表达：A选项“$-7$与$x$的和”对应代数式$-7+x$；B选项“$-7$与$x$的差”对应代数式$-7-x$；C选项“$-7$与$x$的积”对应代数式$-7· x$（即$-7x$）；D选项“$-7$与$x$的商”对应代数式$\frac{-7}{x}$。通过对比各选项与题目代数式的匹配度，即可得出正确结论。
【解析】逐一分析选项：A项，$-7$与$x$的和为$-7+x$，与$-7x$不符；B项，$-7$与$x$的差为$-7-x$，与$-7x$不符；C项，$-7$与$x$的积为$-7x$，与题目代数式完全一致；D项，$-7$与$x$的商为$\frac{-7}{x}$，与$-7x$不符。因此正确答案为C。
【答案】C
【知识点】代数式的意义
【点评】本题考查代数式的基本运算意义，属于基础题型，需准确区分和、差、积、商对应的代数式表达，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】逐一分析选项：A项，$-7$与$x$的和为$-7+x$，与$-7x$不符；B项，$-7$与$x$的差为$-7-x$，与$-7x$不符；C项，$-7$与$x$的积为$-7x$，与题目代数式完全一致；D项，$-7$与$x$的商为$\frac{-7}{x}$，与$-7x$不符。因此正确答案为C。
【答案】C
【知识点】代数式的意义
【点评】本题考查代数式的基本运算意义，属于基础题型，需准确区分和、差、积、商对应的代数式表达，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 下列计算的结果正确的是（
A.$x+2x=2x^{2}$
B.$3a^{2}-a^{2}=2a^{2}$
C.$3a+2b=5ab$
D.$x^{3}-x=x^{2}$
B
）A.$x+2x=2x^{2}$
B.$3a^{2}-a^{2}=2a^{2}$
C.$3a+2b=5ab$
D.$x^{3}-x=x^{2}$
答案
3.B
解析
【分析】这道题考查整式加减中的合并同类项，解题思路是：先明确同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），再依据合并同类项法则（同类项合并时，系数相加减，字母和字母的指数不变，非同类项不能合并），逐一分析每个选项的计算是否正确。
【解析】逐个分析选项：
选项A：$x$与$2x$是同类项，合并时系数相加，应为$(1+2)x=3x$，而非$2x^2$，计算错误；
选项B：$3a^2$与$a^2$是同类项，合并时系数相减，$(3-1)a^2=2a^2$，计算正确；
选项C：$3a$与$2b$所含字母不同，不是同类项，不能合并为$5ab$，计算错误；
选项D：$x^3$与$x$相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并为$x^2$，计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】B
【知识点】合并同类项、同类项的概念
【点评】本题是整式运算的基础题，核心考查同类项的判断与合并法则，需准确掌握同类项的定义及合并规则，避免混淆系数运算与指数运算。
【难度系数】0.7
【解析】逐个分析选项：
选项A：$x$与$2x$是同类项，合并时系数相加，应为$(1+2)x=3x$，而非$2x^2$，计算错误；
选项B：$3a^2$与$a^2$是同类项，合并时系数相减，$(3-1)a^2=2a^2$，计算正确；
选项C：$3a$与$2b$所含字母不同，不是同类项，不能合并为$5ab$，计算错误；
选项D：$x^3$与$x$相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并为$x^2$，计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】B
【知识点】合并同类项、同类项的概念
【点评】本题是整式运算的基础题，核心考查同类项的判断与合并法则，需准确掌握同类项的定义及合并规则，避免混淆系数运算与指数运算。
【难度系数】0.7
4. 若 $a^{2}+3a-4=0$, 则 $2a^{2}+6a-3=$（
A.5
B.1
C.$-1$
D.0
A
）A.5
B.1
C.$-1$
D.0
答案
4.A
解析
【分析】观察所求代数式与已知方程的结构，发现所求式子中的$2a^2 + 6a$是已知式中$a^2 + 3a$的2倍，因此先从已知方程求出$a^2 + 3a$的值，再用整体代入法计算目标式，无需求解$a$的具体值，简化计算过程。
【解析】解：由$a^2 + 3a - 4 = 0$，移项得$a^2 + 3a = 4$。
将$a^2 + 3a = 4$代入$2a^2 + 6a - 3$，可得：
$2(a^2 + 3a) - 3 = 2×4 - 3 = 8 - 3 = 5$。
【答案】A
【知识点】代数式求值、整体代入法
【点评】本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入的数学思想，将复杂代数式转化为与已知条件相关的形式，属于初中代数基础题型，能有效考查学生的代数变形能力。
【难度系数】0.6
【解析】解：由$a^2 + 3a - 4 = 0$，移项得$a^2 + 3a = 4$。
将$a^2 + 3a = 4$代入$2a^2 + 6a - 3$，可得：
$2(a^2 + 3a) - 3 = 2×4 - 3 = 8 - 3 = 5$。
【答案】A
【知识点】代数式求值、整体代入法
【点评】本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入的数学思想，将复杂代数式转化为与已知条件相关的形式，属于初中代数基础题型，能有效考查学生的代数变形能力。
【难度系数】0.6
5.(2024·南京期中)某超市出售一种商品,其原价为$a$元,现有4种调价方案:①先提价15%,再降价10%;②先降价10%,再提价15%;③先提价10%,再降价10%;④先提价10%,再降价15%.则（
A.①②的调价后,价格相等
B.③的调价后,价格不变
C.只有②的调价后,价格上涨
D.①③④的调价后,价格下跌
A
）A.①②的调价后,价格相等
B.③的调价后,价格不变
C.只有②的调价后,价格上涨
D.①③④的调价后,价格下跌
答案
5.A
解析
【分析】要解决这道题，需先根据每个调价方案的操作，分别计算出调价后的商品价格，再将计算结果与各选项描述对比，选出正确答案。提价时，价格变为原价的(1+提价百分比)倍；降价时，价格变为原价的(1-降价百分比)倍，据此列式计算即可。
【解析】设商品原价为$a$元，分别计算各方案调价后的价格：
方案①：先提价15%，价格为$a(1+15\%)$，再降价10%，最终价格为$a(1+15\%)(1-10\%)=a×1.15×0.9=1.035a$；
方案②：先降价10%，价格为$a(1-10\%)$，再提价15%，最终价格为$a(1-10\%)(1+15\%)=a×0.9×1.15=1.035a$；
方案③：先提价10%，价格为$a(1+10\%)$，再降价10%，最终价格为$a(1+10\%)(1-10\%)=a×1.1×0.9=0.99a$；
方案④：先提价10%，价格为$a(1+10\%)$，再降价15%，最终价格为$a(1+10\%)(1-15\%)=a×1.1×0.85=0.935a$；
对比选项：A选项“①②的调价后，价格相等”，因①②最终价格均为1.035a，正确；B选项“③的调价后，价格不变”，③最终价格为0.99a≠a，错误；C选项“只有②的调价后，价格上涨”，①②最终价格均为1.035a＞a，均上涨，错误；D选项“①③④的调价后，价格下跌”，①价格上涨，错误。
【答案】A
【知识点】列代数式、百分数的实际应用
【点评】本题结合商品调价的实际场景，考查百分数的运算应用，核心是掌握提价、降价的价格计算方法，通过列式计算对比即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】设商品原价为$a$元，分别计算各方案调价后的价格：
方案①：先提价15%，价格为$a(1+15\%)$，再降价10%，最终价格为$a(1+15\%)(1-10\%)=a×1.15×0.9=1.035a$；
方案②：先降价10%，价格为$a(1-10\%)$，再提价15%，最终价格为$a(1-10\%)(1+15\%)=a×0.9×1.15=1.035a$；
方案③：先提价10%，价格为$a(1+10\%)$，再降价10%，最终价格为$a(1+10\%)(1-10\%)=a×1.1×0.9=0.99a$；
方案④：先提价10%，价格为$a(1+10\%)$，再降价15%，最终价格为$a(1+10\%)(1-15\%)=a×1.1×0.85=0.935a$；
对比选项：A选项“①②的调价后，价格相等”，因①②最终价格均为1.035a，正确；B选项“③的调价后，价格不变”，③最终价格为0.99a≠a，错误；C选项“只有②的调价后，价格上涨”，①②最终价格均为1.035a＞a，均上涨，错误；D选项“①③④的调价后，价格下跌”，①价格上涨，错误。
【答案】A
【知识点】列代数式、百分数的实际应用
【点评】本题结合商品调价的实际场景，考查百分数的运算应用，核心是掌握提价、降价的价格计算方法，通过列式计算对比即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】0.7
二、填空题(每小题4分,共20分)
6.(2024·长春)单项式$-2a^{2}b$的次数是
6.(2024·长春)单项式$-2a^{2}b$的次数是
3
.答案
6.3
解析
【分析】要确定单项式的次数，需先明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和就是该单项式的次数。解题时先找出单项式中的所有字母，再分别确定各字母的指数，最后计算指数和即可得到结果。
【解析】根据单项式次数的定义，单项式的次数是所有字母的指数和。在单项式$-2a^{2}b$中，字母$a$的指数为2，字母$b$的指数为1，因此该单项式的次数为$2+1=3$。
【答案】3
【知识点】单项式的次数
【点评】本题考查单项式次数的基础概念，属于概念类基础题，只要牢记定义就能快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据单项式次数的定义，单项式的次数是所有字母的指数和。在单项式$-2a^{2}b$中，字母$a$的指数为2，字母$b$的指数为1，因此该单项式的次数为$2+1=3$。
【答案】3
【知识点】单项式的次数
【点评】本题考查单项式次数的基础概念，属于概念类基础题，只要牢记定义就能快速解答。
【难度系数】0.9
7. 已知$x^{2}+xy=2,xy-y^{2}=3$，则代数式$x^{2}+3xy-2y^{2}=$
8
。答案
7.8
解析
【分析】本题属于代数式求值问题，解题关键是运用整体代入思想，将所求代数式拆分为已知两个代数式的组合，无需单独求解x、y的值，直接代入计算即可。
【解析】对所求代数式变形：
$x^2 + 3xy - 2y^2 = (x^2 + xy) + 2(xy - y^2)$
将已知$x^2 + xy = 2$，$xy - y^2 = 3$代入上式：
原式$= 2 + 2×3 = 2 + 6 = 8$
【答案】8
【知识点】代数式求值、整体代入思想
【点评】本题考查代数式的整体代入求值，通过合理拆分所求代数式，结合已知条件简化计算，是整式运算中常见的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】对所求代数式变形：
$x^2 + 3xy - 2y^2 = (x^2 + xy) + 2(xy - y^2)$
将已知$x^2 + xy = 2$，$xy - y^2 = 3$代入上式：
原式$= 2 + 2×3 = 2 + 6 = 8$
【答案】8
【知识点】代数式求值、整体代入思想
【点评】本题考查代数式的整体代入求值，通过合理拆分所求代数式，结合已知条件简化计算，是整式运算中常见的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
8. 为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业. 根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产$x$件产品,则更新设备后每天生产
1.25x
件产品.(用含$x$的式子表示)答案
8.1.25x
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理解“生产效率比更新前提高25%”的含义：更新后的生产效率是更新前的(1+25%)，已知更新前每天生产x件产品，只需用更新前的产量乘以对应的比例即可得到更新后的产量。
【解析】
更新设备后生产效率比更新前提高25%，则更新后的生产效率是更新前的$1 + 25\% = 1.25$倍。
因为更新设备前每天生产$x$件产品，所以更新设备后每天生产的产品数量为：$x × 1.25 = 1.25x$件。
【答案】
1.25x
【知识点】
百分比应用、代数式表示
【点评】
本题结合实际生产场景考查代数式的表示，核心是掌握“提高百分之几”的计算方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，关键是理解“生产效率比更新前提高25%”的含义：更新后的生产效率是更新前的(1+25%)，已知更新前每天生产x件产品，只需用更新前的产量乘以对应的比例即可得到更新后的产量。
【解析】
更新设备后生产效率比更新前提高25%，则更新后的生产效率是更新前的$1 + 25\% = 1.25$倍。
因为更新设备前每天生产$x$件产品，所以更新设备后每天生产的产品数量为：$x × 1.25 = 1.25x$件。
【答案】
1.25x
【知识点】
百分比应用、代数式表示
【点评】
本题结合实际生产场景考查代数式的表示，核心是掌握“提高百分之几”的计算方法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.9
9. 如图是一个运算程序示意图, 无论输入$x$的值为多大, 输出$y$的值总是一个定值(不变的值),那么$a+b=$
3
.答案
9.3
解析
【分析】
要解决这个问题，需先根据运算程序写出输出y的表达式，再结合“无论输入x为何值，输出y为定值”的条件，即含x的项的系数为0，进而求出a+b的值。
【解析】
根据运算程序，输出y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(3x - 3) + 5 - (a + b)x\\&=3x - 3 + 5 - (a + b)x\\&=(3 - (a + b))x + 2\end{aligned}$
因为无论x取何值，y的值总是定值，所以含x的项的系数必须为0，即：
$3 - (a + b) = 0$
解得：$a + b = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减、代数式的定值问题
【点评】
本题考查整式的加减运算，核心是理解“代数式为定值”的含义（含变量的项系数为0），属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先根据运算程序写出输出y的表达式，再结合“无论输入x为何值，输出y为定值”的条件，即含x的项的系数为0，进而求出a+b的值。
【解析】
根据运算程序，输出y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(3x - 3) + 5 - (a + b)x\\&=3x - 3 + 5 - (a + b)x\\&=(3 - (a + b))x + 2\end{aligned}$
因为无论x取何值，y的值总是定值，所以含x的项的系数必须为0，即：
$3 - (a + b) = 0$
解得：$a + b = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减、代数式的定值问题
【点评】
本题考查整式的加减运算，核心是理解“代数式为定值”的含义（含变量的项系数为0），属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
10.(2024·凉山州改编)如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第$n$行有$n$个点,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.三角点阵中前8行的点数之和为
36
,前15行的点数之和为120
,那么前$n$行的点数之和为$\dfrac{n(n+1)}{2}$
.答案
10.36 120 $\dfrac{n(n+1)}{2}$
解析
【分析】
首先观察三角点阵的点数规律：第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，因此求前k行的点数之和，本质是计算从1到k的连续整数的和。对于连续整数求和，可利用“首项加末项的和乘以项数再除以2”的方法计算，也可推导得出通用公式。
【解析】
1. 计算前8行的点数之和：
前8行的点数和为$1+2+3+\dots+8$，根据连续整数求和公式：
和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2 = $(1+8)×8÷2 = 9×4 = 36$。
2. 计算前15行的点数之和：
前15行的点数和为$1+2+3+\dots+15$，同理：
和 = $(1+15)×15÷2 = 16×15÷2 = 120$。
3. 推导前n行的点数之和：
前n行的点数和为$1+2+3+\dots+n$，代入求和公式得：
和 = $(1+n)×n÷2 = \dfrac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
36；120；$\dfrac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
等差数列求和；找规律
【点评】
本题通过三角点阵的点数规律，考查连续整数求和的应用，属于基础题型，核心是掌握等差数列求和公式，难度较低，适合巩固数列求和的基础知识点。
【难度系数】
0.2
首先观察三角点阵的点数规律：第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，因此求前k行的点数之和，本质是计算从1到k的连续整数的和。对于连续整数求和，可利用“首项加末项的和乘以项数再除以2”的方法计算，也可推导得出通用公式。
【解析】
1. 计算前8行的点数之和：
前8行的点数和为$1+2+3+\dots+8$，根据连续整数求和公式：
和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2 = $(1+8)×8÷2 = 9×4 = 36$。
2. 计算前15行的点数之和：
前15行的点数和为$1+2+3+\dots+15$，同理：
和 = $(1+15)×15÷2 = 16×15÷2 = 120$。
3. 推导前n行的点数之和：
前n行的点数和为$1+2+3+\dots+n$，代入求和公式得：
和 = $(1+n)×n÷2 = \dfrac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
36；120；$\dfrac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
等差数列求和；找规律
【点评】
本题通过三角点阵的点数规律，考查连续整数求和的应用，属于基础题型，核心是掌握等差数列求和公式，难度较低，适合巩固数列求和的基础知识点。
【难度系数】
0.2
