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2.(2024·亭湖区月考)某校数学兴趣小组探究如下问题：
【问题引入】从$1,2,3,···,n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法. 从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
如表所示，所取的2个整数之和可以为3,4,5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果.
(1)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
(2)从$1,2,3,···,50$这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
(3)归纳结论：从$1,2,3,···,n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有
【问题解决】(4)从80张面值分别为1元，2元，3元，$···$，80元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有
【问题拓展】(5)从$1,2,3,4,5,···,n$($n$为整数，且$n＞10$)这$n$个整数中去掉一个整数，从剩下的$(n-1)$个整数中任取3个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求$n$的值和此时去掉的数的所有可能.
【问题引入】从$1,2,3,···,n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法. 从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
如表所示，所取的2个整数之和可以为3,4,5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果.
(1)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
7
种不同的结果；(2)从$1,2,3,···,50$这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
142
种不同的结果；(3)归纳结论：从$1,2,3,···,n$($n$为整数，且$n＞5$)这$n$个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有
5n-24
种不同的结果；(用含$n$的式子表示)【问题解决】(4)从80张面值分别为1元，2元，3元，$···$，80元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有
376
种不同的金额；【问题拓展】(5)从$1,2,3,4,5,···,n$($n$为整数，且$n＞10$)这$n$个整数中去掉一个整数，从剩下的$(n-1)$个整数中任取3个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求$n$的值和此时去掉的数的所有可能.
答案
2.(1)7 (2)142 (3)$5n-24$ (4)376
(5)解:从 1,2,3,4,5,…,n(n 为整数,且 $n＞10$)这 $n$ 个整数中,任取 3 个整数,这 3 个整数之和最大为 $n+n-2+n-1=3n-3$,最小为 $1+2+3=6$,
所以从 1,2,3,…,n(n 为整数,且 $n＞10$)这 $n$ 个整数中任取 3 个整数之和共有 $3n-3-6+1=(3n-8)$种结果.
去掉 1:最小为 $2+3+4=9$,最大为 $3n-3$,少 6,7,8 这三个结果,
所以 $3n-8-3=3n-11=123$,
解得 $n=\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
去掉 2:最小为 $1+3+4=8$,最大为 $3n-3$,少 6,7 这两个结果,
所以 $3n-8-2=3n-10=123$,
解得 $n=\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
去掉 3:最小为 $1+2+4=7$,最大为 $3n-3$,少 6 这一个结果,
所以 $3n-8-1=3n-9=123$,
解得 $n=44$,是整数,符合题意;
去掉 4:同理,少 7 这一个结果,所以 $3n-8-1=3n-9=123$,解得 $n=44$,是整数,符合题意;
去掉 5:结果并不减少,所以 $3n-8=123$,解得 $n=\frac{131}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
……
去掉 41:少一个结果,所以 $3n-8-1=3n-9=123$,解得 $n=44$,符合题意;
去掉 42:少一个结果,所以 $3n-8-1=3n-9=123$,解得 $n=44$,符合题意;
去掉 43:少两个结果,所以 $3n-8-2=3n-10=123$,解得 $n=\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
去掉 44:少三个结果,所以 $3n-8-3=3n-11=123$,解得 $n=\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去.
综上,$n=44$,此时去掉的数可能是 3 或 4 或 41 或 42.
(5)解:从 1,2,3,4,5,…,n(n 为整数,且 $n＞10$)这 $n$ 个整数中,任取 3 个整数,这 3 个整数之和最大为 $n+n-2+n-1=3n-3$,最小为 $1+2+3=6$,
所以从 1,2,3,…,n(n 为整数,且 $n＞10$)这 $n$ 个整数中任取 3 个整数之和共有 $3n-3-6+1=(3n-8)$种结果.
去掉 1:最小为 $2+3+4=9$,最大为 $3n-3$,少 6,7,8 这三个结果,
所以 $3n-8-3=3n-11=123$,
解得 $n=\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
去掉 2:最小为 $1+3+4=8$,最大为 $3n-3$,少 6,7 这两个结果,
所以 $3n-8-2=3n-10=123$,
解得 $n=\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
去掉 3:最小为 $1+2+4=7$,最大为 $3n-3$,少 6 这一个结果,
所以 $3n-8-1=3n-9=123$,
解得 $n=44$,是整数,符合题意;
去掉 4:同理,少 7 这一个结果,所以 $3n-8-1=3n-9=123$,解得 $n=44$,是整数,符合题意;
去掉 5:结果并不减少,所以 $3n-8=123$,解得 $n=\frac{131}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
……
去掉 41:少一个结果,所以 $3n-8-1=3n-9=123$,解得 $n=44$,符合题意;
去掉 42:少一个结果,所以 $3n-8-1=3n-9=123$,解得 $n=44$,符合题意;
去掉 43:少两个结果,所以 $3n-8-2=3n-10=123$,解得 $n=\frac{133}{3}$,不是整数,不合题意,舍去;
去掉 44:少三个结果,所以 $3n-8-3=3n-11=123$,解得 $n=\frac{134}{3}$,不是整数,不合题意,舍去.
综上,$n=44$,此时去掉的数可能是 3 或 4 或 41 或 42.
解析
【分析】
本题通过“特殊到一般”的归纳思想，探究从连续整数中取若干个整数的和的不同结果数规律：从1到m中任取k个整数，和的最小为前k个整数的和，最大为后k个整数的和，不同结果数=最大和-最小和+1。先解决前4个小问，再分情况讨论第(5)问中去掉一个数后对结果数的影响，结合结果数123求解。
【解析】
(1)从1,2,3,4,5中任取2个整数，最小和为1+2=3，最大和为4+5=9，不同结果数=9-3+1=7；
(2)从1到50中任取3个整数，最小和为1+2+3=6，最大和为48+49+50=147，不同结果数=147-6+1=142；
(3)从1到n中任取5个整数，最小和为1+2+3+4+5=15，最大和为(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=5n-10，不同结果数=(5n-10)-15+1=5n-24；
(4)当n=80时，代入(3)的结论，得5×80-24=376；
(5)原从1到n中任取3个整数的结果数为(3n-3)-6+1=3n-8。分情况讨论去掉的数：
去掉1：最小和变为2+3+4=9，结果数减少3，得3n-8-3=123→n=134/3（非整数，舍去）；
去掉2：最小和变为1+3+4=8，结果数减少2，得3n-8-2=123→n=133/3（非整数，舍去）；
去掉3：最小和变为1+2+4=7，结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（整数，符合）；
去掉4：和的结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（符合）；
去掉5到40：结果数不变，得3n-8=123→n=131/3（非整数，舍去）；
去掉41：和的结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（符合）；
去掉42：和的结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（符合）；
去掉43：结果数减少2，得3n-8-2=123→n=133/3（非整数，舍去）；
去掉44：结果数减少3，得3n-8-3=123→n=134/3（非整数，舍去）；
综上，n=44，去掉的数为3、4、41、42。
【答案】
(1)7；(2)142；(3)5n-24；(4)376；(5)n=44，去掉的数为3、4、41、42
【知识点】
数字规律、整式加减、代数式求值
【点评】
本题核心是通过特殊案例归纳出连续整数中取k个整数的和的结果数公式，难点是去掉一个数后对结果数的影响分析，需结合去掉数的位置分情况讨论，考查归纳推理与分类讨论思想。
【难度系数】
0.4
本题通过“特殊到一般”的归纳思想，探究从连续整数中取若干个整数的和的不同结果数规律：从1到m中任取k个整数，和的最小为前k个整数的和，最大为后k个整数的和，不同结果数=最大和-最小和+1。先解决前4个小问，再分情况讨论第(5)问中去掉一个数后对结果数的影响，结合结果数123求解。
【解析】
(1)从1,2,3,4,5中任取2个整数，最小和为1+2=3，最大和为4+5=9，不同结果数=9-3+1=7；
(2)从1到50中任取3个整数，最小和为1+2+3=6，最大和为48+49+50=147，不同结果数=147-6+1=142；
(3)从1到n中任取5个整数，最小和为1+2+3+4+5=15，最大和为(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=5n-10，不同结果数=(5n-10)-15+1=5n-24；
(4)当n=80时，代入(3)的结论，得5×80-24=376；
(5)原从1到n中任取3个整数的结果数为(3n-3)-6+1=3n-8。分情况讨论去掉的数：
去掉1：最小和变为2+3+4=9，结果数减少3，得3n-8-3=123→n=134/3（非整数，舍去）；
去掉2：最小和变为1+3+4=8，结果数减少2，得3n-8-2=123→n=133/3（非整数，舍去）；
去掉3：最小和变为1+2+4=7，结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（整数，符合）；
去掉4：和的结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（符合）；
去掉5到40：结果数不变，得3n-8=123→n=131/3（非整数，舍去）；
去掉41：和的结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（符合）；
去掉42：和的结果数减少1，得3n-8-1=123→n=44（符合）；
去掉43：结果数减少2，得3n-8-2=123→n=133/3（非整数，舍去）；
去掉44：结果数减少3，得3n-8-3=123→n=134/3（非整数，舍去）；
综上，n=44，去掉的数为3、4、41、42。
【答案】
(1)7；(2)142；(3)5n-24；(4)376；(5)n=44，去掉的数为3、4、41、42
【知识点】
数字规律、整式加减、代数式求值
【点评】
本题核心是通过特殊案例归纳出连续整数中取k个整数的和的结果数公式，难点是去掉一个数后对结果数的影响分析，需结合去掉数的位置分情况讨论，考查归纳推理与分类讨论思想。
【难度系数】
0.4
