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二、填空题
1. 袋中有3个红球，2个白球，若从袋中随机摸取1个球，则摸出白球的概率是
1. 袋中有3个红球，2个白球，若从袋中随机摸取1个球，则摸出白球的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
1. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确这是等可能事件的概率计算问题，适用古典概型的概率公式。解题可分为两步：第一步先计算从袋中摸出1个球的所有等可能结果总数，也就是袋中球的总个数；第二步计算摸出白球这个事件包含的结果数，也就是白球的个数，最后将两个数值代入概率公式即可得到结果。
【解析】
解：袋中球的总个数为：$3+2=5$（个）
从袋中随机摸取1个球时，每个球被摸到的可能性相等，总共有5种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$
可得摸出白球的概率为：$P(摸出白球)=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的理解与应用，解题的关键是准确统计总样本数和符合条件的样本数，属于基础必得分题。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确这是等可能事件的概率计算问题，适用古典概型的概率公式。解题可分为两步：第一步先计算从袋中摸出1个球的所有等可能结果总数，也就是袋中球的总个数；第二步计算摸出白球这个事件包含的结果数，也就是白球的个数，最后将两个数值代入概率公式即可得到结果。
【解析】
解：袋中球的总个数为：$3+2=5$（个）
从袋中随机摸取1个球时，每个球被摸到的可能性相等，总共有5种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$
可得摸出白球的概率为：$P(摸出白球)=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的理解与应用，解题的关键是准确统计总样本数和符合条件的样本数，属于基础必得分题。
【难度系数】
0.9
2. 某班有男生30人，女生20人，现要随机选取1名学生领队，选中的这名学生不是女生的概率为
$\frac{3}{5}$
.答案
2. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰可遵循：第一步先计算所有等可能的结果总数，也就是全班的总人数；第二步明确“选中的学生不是女生”的含义，对应的符合条件的结果数就是男生的人数；第三步直接套用等可能事件的概率公式，代入对应数值计算就能得到结果。
【解析】
解：首先计算全班总人数：$30+20=50$（人）
随机选取1名学生时，每个学生被选中的可能性相等，符合等可能事件的特征。
“选中的学生不是女生”即选中男生，符合条件的结果数为30。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{选中的不是女生})=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算、概率公式应用
【点评】
本题是概率基础题型，难度较低，解题核心是准确审题，明确限定条件对应的统计群体，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰可遵循：第一步先计算所有等可能的结果总数，也就是全班的总人数；第二步明确“选中的学生不是女生”的含义，对应的符合条件的结果数就是男生的人数；第三步直接套用等可能事件的概率公式，代入对应数值计算就能得到结果。
【解析】
解：首先计算全班总人数：$30+20=50$（人）
随机选取1名学生时，每个学生被选中的可能性相等，符合等可能事件的特征。
“选中的学生不是女生”即选中男生，符合条件的结果数为30。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{选中的不是女生})=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算、概率公式应用
【点评】
本题是概率基础题型，难度较低，解题核心是准确审题，明确限定条件对应的统计群体，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 一副扑克牌中,去掉大小王牌,随机抽取一张:
(1)$P$(摸到红桃)=______;
(2)$P$(摸到A)=______;
(3)$P$(摸到A、K、Q、J中的任意一张)=______.
(1)$P$(摸到红桃)=______;
(2)$P$(摸到A)=______;
(3)$P$(摸到A、K、Q、J中的任意一张)=______.
答案
(1) $\frac{1}{4}$ (2) $\frac{1}{13}$ (3) $\frac{4}{13}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定去掉大小王后扑克牌的总张数，即所有等可能的结果总数；第二步分别找出每个问题中符合条件的牌的张数，即对应事件包含的结果数；第三步根据概率公式$P=\frac{事件包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$代入计算即可。
【解析】
去掉大小王后，扑克牌总张数为$54-2=52$张，即抽取一张的所有等可能结果共52种。
(1) 红桃共有13张，因此$P(摸到红桃)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$；
(2) A共有4张（4种花色各1张），因此$P(摸到A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$；
(3) A、K、Q、J每种各有4张，符合条件的牌总共有$4×4=16$张，因此$P(摸到A、K、Q、J中的任意一张)=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{13}$；(3) $\frac{4}{13}$
【知识点】
1. 等可能事件概率 2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查古典概型的概率计算，解题的关键是明确扑克牌的花色、牌面构成，准确统计总情况数和事件对应情况数，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定去掉大小王后扑克牌的总张数，即所有等可能的结果总数；第二步分别找出每个问题中符合条件的牌的张数，即对应事件包含的结果数；第三步根据概率公式$P=\frac{事件包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$代入计算即可。
【解析】
去掉大小王后，扑克牌总张数为$54-2=52$张，即抽取一张的所有等可能结果共52种。
(1) 红桃共有13张，因此$P(摸到红桃)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$；
(2) A共有4张（4种花色各1张），因此$P(摸到A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$；
(3) A、K、Q、J每种各有4张，符合条件的牌总共有$4×4=16$张，因此$P(摸到A、K、Q、J中的任意一张)=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{13}$；(3) $\frac{4}{13}$
【知识点】
1. 等可能事件概率 2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查古典概型的概率计算，解题的关键是明确扑克牌的花色、牌面构成，准确统计总情况数和事件对应情况数，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
4. 如图1，△ABC中，D，E，F分别是AF，BD，CE的中点.一只蚂蚁在△ABC区域内爬行，它踩到空白部分(△DEF)的概率为
$\frac{1}{7}$
. 答案
4. $\frac{1}{7}$
解析
【分析】
本题属于几何概率问题，概率等于空白区域△DEF的面积与△ABC总面积的比值，因此解题核心是求两个三角形的面积比。我们可以利用“等底同高的三角形面积相等”的性质，结合各点是中点的条件，将△ABC的各部分面积都用△DEF的面积表示，进而求出面积比得到概率。
【解析】
设$ S_{△ DEF} = 1 $。
1. 因为F是CE的中点，所以$ EF = CF $，$ △ DEF $和$ △ DCF $等底同高，故$ S_{△ DCF} = S_{△ DEF} = 1 $；
2. 因为E是BD的中点，所以$ BE = DE $，$ △ DEF $和$ △ BEF $等底同高，故$ S_{△ BEF} = S_{△ DEF} = 1 $；
3. 因为D是AF的中点，所以$ AD = DF $，$ △ DEF $和$ △ ADE $等底同高，故$ S_{△ ADE} = S_{△ DEF} = 1 $；
4. 同理，E是BD中点，$ △ ABE $和$ △ ADE $等底同高，得$ S_{△ ABE} = S_{△ ADE} =1 $；
F是CE中点，$ △ BCF $和$ △ BEF $等底同高，得$ S_{△ BCF} = S_{△ BEF} =1 $；
D是AF中点，$ △ ACD $和$ △ DCF $等底同高，得$ S_{△ ACD} = S_{△ DCF} =1 $。
因此$ S_{△ ABC} = S_{△ DEF} + S_{△ ADE} + S_{△ BEF} + S_{△ DCF} + S_{△ ABE} + S_{△ BCF} + S_{△ ACD} = 1×7 =7 $。
蚂蚁踩到空白部分的概率$ P = \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{7} $。
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
几何概率计算，三角形面积性质，中点的性质
【点评】
本题结合概率计算考查三角形面积的相关规律，解题的关键是灵活运用等底同高的三角形面积相等的性质，通过设份数的方法简化面积计算，掌握该规律可以快速解决同类三角形面积比问题。
【难度系数】
0.6
本题属于几何概率问题，概率等于空白区域△DEF的面积与△ABC总面积的比值，因此解题核心是求两个三角形的面积比。我们可以利用“等底同高的三角形面积相等”的性质，结合各点是中点的条件，将△ABC的各部分面积都用△DEF的面积表示，进而求出面积比得到概率。
【解析】
设$ S_{△ DEF} = 1 $。
1. 因为F是CE的中点，所以$ EF = CF $，$ △ DEF $和$ △ DCF $等底同高，故$ S_{△ DCF} = S_{△ DEF} = 1 $；
2. 因为E是BD的中点，所以$ BE = DE $，$ △ DEF $和$ △ BEF $等底同高，故$ S_{△ BEF} = S_{△ DEF} = 1 $；
3. 因为D是AF的中点，所以$ AD = DF $，$ △ DEF $和$ △ ADE $等底同高，故$ S_{△ ADE} = S_{△ DEF} = 1 $；
4. 同理，E是BD中点，$ △ ABE $和$ △ ADE $等底同高，得$ S_{△ ABE} = S_{△ ADE} =1 $；
F是CE中点，$ △ BCF $和$ △ BEF $等底同高，得$ S_{△ BCF} = S_{△ BEF} =1 $；
D是AF中点，$ △ ACD $和$ △ DCF $等底同高，得$ S_{△ ACD} = S_{△ DCF} =1 $。
因此$ S_{△ ABC} = S_{△ DEF} + S_{△ ADE} + S_{△ BEF} + S_{△ DCF} + S_{△ ABE} + S_{△ BCF} + S_{△ ACD} = 1×7 =7 $。
蚂蚁踩到空白部分的概率$ P = \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{7} $。
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
几何概率计算，三角形面积性质，中点的性质
【点评】
本题结合概率计算考查三角形面积的相关规律，解题的关键是灵活运用等底同高的三角形面积相等的性质，通过设份数的方法简化面积计算，掌握该规律可以快速解决同类三角形面积比问题。
【难度系数】
0.6
5*. 有一电路AB是由如图2所示的开关控制，随机闭合C,D,E,F,G五个开关中的任意两个，则能使电路形成通路的概率是
$\frac{3}{5}$
.答案
5. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
这是一道结合电路知识的古典概率计算题，解题思路如下：首先明确概率计算公式为“所求事件发生的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先计算总情况数：从5个开关中任选2个，属于无顺序的选择，可通过列表法计数得到所有等可能结果；第二步分析通路的条件：要使电路AB形成通路，需要所选的两个开关分别在{C,D}和{E,F,G}两组中各选1个（即一个是C或D，另一个是E、F、G中的一个），统计出符合条件的情况数；最后代入公式计算概率即可。
【解析】
解：首先计算从5个开关中随机选2个的所有等可能结果：
列举如下：$(C,D)$、$(C,E)$、$(C,F)$、$(C,G)$、$(D,E)$、$(D,F)$、$(D,G)$、$(E,F)$、$(E,G)$、$(F,G)$，共10种等可能的结果。
再判断能使电路通路的结果：
当所选两个开关一个为C/D，另一个为E/F/G时电路通路，符合条件的结果有：$(C,E)$、$(C,F)$、$(C,G)$、$(D,E)$、$(D,F)$、$(D,G)$，共6种。
根据概率公式：
$P=\frac{\mathrm{通路的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
列举法求概率；电路通路判断；古典概型计算
【点评】
本题是概率与电路的跨知识点综合题，需要熟练掌握等可能事件概率的计算方法，同时能准确判断电路通路的条件，考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合电路知识的古典概率计算题，解题思路如下：首先明确概率计算公式为“所求事件发生的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先计算总情况数：从5个开关中任选2个，属于无顺序的选择，可通过列表法计数得到所有等可能结果；第二步分析通路的条件：要使电路AB形成通路，需要所选的两个开关分别在{C,D}和{E,F,G}两组中各选1个（即一个是C或D，另一个是E、F、G中的一个），统计出符合条件的情况数；最后代入公式计算概率即可。
【解析】
解：首先计算从5个开关中随机选2个的所有等可能结果：
列举如下：$(C,D)$、$(C,E)$、$(C,F)$、$(C,G)$、$(D,E)$、$(D,F)$、$(D,G)$、$(E,F)$、$(E,G)$、$(F,G)$，共10种等可能的结果。
再判断能使电路通路的结果：
当所选两个开关一个为C/D，另一个为E/F/G时电路通路，符合条件的结果有：$(C,E)$、$(C,F)$、$(C,G)$、$(D,E)$、$(D,F)$、$(D,G)$，共6种。
根据概率公式：
$P=\frac{\mathrm{通路的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
列举法求概率；电路通路判断；古典概型计算
【点评】
本题是概率与电路的跨知识点综合题，需要熟练掌握等可能事件概率的计算方法，同时能准确判断电路通路的条件，考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图3，转盘分成20个全等的扇形，请在这个转盘的适当地方涂上颜色（黑色），使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针停在黑色区域的概率为$\frac{3}{10}$（规定：指针停在分界线时，视为指向其右侧扇形）。
1. 如图3，转盘分成20个全等的扇形，请在这个转盘的适当地方涂上颜色（黑色），使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针停在黑色区域的概率为$\frac{3}{10}$（规定：指针停在分界线时，视为指向其右侧扇形）。
答案
1. 提示:任意将其中6个小扇形涂黑即可
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确转盘转动后指针停在任意扇形的可能性相等，属于等可能事件的概率问题。我们可以根据等可能事件的概率公式计算需要涂黑的扇形数量，再按要求涂色即可：第一步回忆概率计算公式，指针停在黑色区域的概率=黑色扇形数量÷总扇形数量；第二步将已知概率和总扇形数代入公式，求解得到需要涂黑的扇形数量；第三步按计算出的数量任意涂黑对应个数的扇形即可满足要求。
【解析】
因为转盘被分成20个全等的扇形，自由转动转盘停止后，指针停在每个扇形的可能性相等。
设需要涂黑的扇形个数为$ x $，根据等可能事件的概率公式：
$ P(\mathrm{指针停在黑色区域})=\frac{\mathrm{黑色扇形个数}}{\mathrm{总扇形个数}} $
代入已知条件$ P=\frac{3}{10} $，总扇形个数为20，可得：
$ \frac{x}{20}=\frac{3}{10} $
解得$ x=20×\frac{3}{10}=6 $
因此只需任意选择6个小扇形涂黑，即可满足题目要求。
【答案】
任意将其中6个小扇形涂黑即可
【知识点】
等可能事件概率计算、概率公式应用
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，核心是理解等可能事件中概率对应所求情况数和总情况数的比值，解题思路清晰，答案不唯一，只要满足涂黑扇形的数量为6个均符合要求。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确转盘转动后指针停在任意扇形的可能性相等，属于等可能事件的概率问题。我们可以根据等可能事件的概率公式计算需要涂黑的扇形数量，再按要求涂色即可：第一步回忆概率计算公式，指针停在黑色区域的概率=黑色扇形数量÷总扇形数量；第二步将已知概率和总扇形数代入公式，求解得到需要涂黑的扇形数量；第三步按计算出的数量任意涂黑对应个数的扇形即可满足要求。
【解析】
因为转盘被分成20个全等的扇形，自由转动转盘停止后，指针停在每个扇形的可能性相等。
设需要涂黑的扇形个数为$ x $，根据等可能事件的概率公式：
$ P(\mathrm{指针停在黑色区域})=\frac{\mathrm{黑色扇形个数}}{\mathrm{总扇形个数}} $
代入已知条件$ P=\frac{3}{10} $，总扇形个数为20，可得：
$ \frac{x}{20}=\frac{3}{10} $
解得$ x=20×\frac{3}{10}=6 $
因此只需任意选择6个小扇形涂黑，即可满足题目要求。
【答案】
任意将其中6个小扇形涂黑即可
【知识点】
等可能事件概率计算、概率公式应用
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，核心是理解等可能事件中概率对应所求情况数和总情况数的比值，解题思路清晰，答案不唯一，只要满足涂黑扇形的数量为6个均符合要求。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两人进行掷骰子游戏，两人骰子质地均匀. 甲的骰子6个面中2个面为红色，剩余4个面分别为黄、蓝、白、黑；乙的骰子6个面分别为红、黄、蓝、白、黑、紫。规则：两人各抛掷自己的骰子，红色面朝上得2分，其余颜色面朝上得1分，共进行10次抛掷，总得分高者获胜。你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
答案
不公平,因为甲红色向上的概率比其他颜色向上的概率大
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是看甲、乙两人获胜的概率是否相等。我们可以先分别计算两人单次抛掷骰子时红色面朝上（得2分）的概率，再结合得分规则比较两人的得分优势，若得分优势不同，则优势更大的一方获胜概率更高，游戏就不公平。
【解析】
解：判断游戏公平性需对比双方获胜的可能性：
1. 计算甲红色面朝上的概率：甲的骰子共有6个等可能的面，其中2个为红色面，因此甲红色面朝上的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，其余单个颜色面朝上的概率均为$\frac{1}{6}$，可见甲红色面朝上的概率大于其他单个颜色面朝上的概率，单次抛掷得2分的概率更高。
2. 计算乙红色面朝上的概率：乙的骰子共6个等可能的面，仅1个为红色面，因此红色面朝上的概率为$\frac{1}{6}$，单次得2分的概率远低于甲。
3. 对比得分优势：甲单次抛掷的平均得分高于乙，进行10次抛掷后，甲总得分更高的概率明显更大，因此游戏不公平。
【答案】
不公平,因为甲红色向上的概率比其他颜色向上的概率大
【知识点】
概率计算，游戏公平性判断，概率的实际应用
【点评】
本题结合掷骰子场景考查概率的基础应用，解题的关键是明确游戏公平的判断标准，通过计算事件发生的概率对比双方的得分优势即可得出结论。
【难度系数】
0.7
判断游戏是否公平的核心是看甲、乙两人获胜的概率是否相等。我们可以先分别计算两人单次抛掷骰子时红色面朝上（得2分）的概率，再结合得分规则比较两人的得分优势，若得分优势不同，则优势更大的一方获胜概率更高，游戏就不公平。
【解析】
解：判断游戏公平性需对比双方获胜的可能性：
1. 计算甲红色面朝上的概率：甲的骰子共有6个等可能的面，其中2个为红色面，因此甲红色面朝上的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，其余单个颜色面朝上的概率均为$\frac{1}{6}$，可见甲红色面朝上的概率大于其他单个颜色面朝上的概率，单次抛掷得2分的概率更高。
2. 计算乙红色面朝上的概率：乙的骰子共6个等可能的面，仅1个为红色面，因此红色面朝上的概率为$\frac{1}{6}$，单次得2分的概率远低于甲。
3. 对比得分优势：甲单次抛掷的平均得分高于乙，进行10次抛掷后，甲总得分更高的概率明显更大，因此游戏不公平。
【答案】
不公平,因为甲红色向上的概率比其他颜色向上的概率大
【知识点】
概率计算，游戏公平性判断，概率的实际应用
【点评】
本题结合掷骰子场景考查概率的基础应用，解题的关键是明确游戏公平的判断标准，通过计算事件发生的概率对比双方的得分优势即可得出结论。
【难度系数】
0.7
