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在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数2 5 8 3 9 6 4 1 7，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字。
(1)请你写出所有符合要求的4位数；
(2)若小明按规则猜某商品价格，则最多猜几下一定能猜中该商品的价格？
(1)请你写出所有符合要求的4位数；
(2)若小明按规则猜某商品价格，则最多猜几下一定能猜中该商品的价格？
答案
1. 2583,5839,8396,3964,9641,6417
2. 6下
2. 6下
解析
【分析】
(1)要找出9位数中所有连续4位组成的四位数，我们可以按从左到右的顺序确定连续四位的起始位置：由于四位数需要占4个连续数位，9位数的数位序号从左到右为1~9，因此起始位最小为1，最大为9-4+1=6，共6个不同的起始位置，按顺序列举即可得到所有结果，避免遗漏或重复。
(2)“最多猜几下一定猜中”对应最不利情况：即把所有可能的价格都猜一遍，最后一次才猜中，因此次数等于所有符合要求的四位数的总个数。
【解析】
(1)按从左到右的顺序依次取连续4位：
①第1~4位数字为2、5、8、3，组成2583；
②第2~5位数字为5、8、3、9，组成5839；
③第3~6位数字为8、3、9、6，组成8396；
④第4~7位数字为3、9、6、4，组成3964；
⑤第5~8位数字为9、6、4、1，组成9641；
⑥第6~9位数字为6、4、1、7，组成6417。
(2)由(1)可知，符合要求的四位数共有6个，因此最多猜6次就能覆盖所有可能的价格，一定能猜中。
【答案】
(1)2583,5839,8396,3964,9641,6417；(2)6下
【知识点】
枚举法，有序计数，可能性分析
【点评】
本题主要考察有序列举的思维能力，解题时要注意按固定顺序列举，避免出现漏数或重复计数的问题，同时要理解“一定猜中”对应的最不利原则含义，整体难度较低，细心即可得分。
【难度系数】
0.85
(1)要找出9位数中所有连续4位组成的四位数，我们可以按从左到右的顺序确定连续四位的起始位置：由于四位数需要占4个连续数位，9位数的数位序号从左到右为1~9，因此起始位最小为1，最大为9-4+1=6，共6个不同的起始位置，按顺序列举即可得到所有结果，避免遗漏或重复。
(2)“最多猜几下一定猜中”对应最不利情况：即把所有可能的价格都猜一遍，最后一次才猜中，因此次数等于所有符合要求的四位数的总个数。
【解析】
(1)按从左到右的顺序依次取连续4位：
①第1~4位数字为2、5、8、3，组成2583；
②第2~5位数字为5、8、3、9，组成5839；
③第3~6位数字为8、3、9、6，组成8396；
④第4~7位数字为3、9、6、4，组成3964；
⑤第5~8位数字为9、6、4、1，组成9641；
⑥第6~9位数字为6、4、1、7，组成6417。
(2)由(1)可知，符合要求的四位数共有6个，因此最多猜6次就能覆盖所有可能的价格，一定能猜中。
【答案】
(1)2583,5839,8396,3964,9641,6417；(2)6下
【知识点】
枚举法，有序计数，可能性分析
【点评】
本题主要考察有序列举的思维能力，解题时要注意按固定顺序列举，避免出现漏数或重复计数的问题，同时要理解“一定猜中”对应的最不利原则含义，整体难度较低，细心即可得分。
【难度系数】
0.85
一、选择题
1. 掷一枚均匀的正六面体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,则3的倍数朝上的概率为(
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
1. 掷一枚均匀的正六面体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,则3的倍数朝上的概率为(
B
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路分为三步：第一步先确定掷骰子所有等可能出现的结果总数；第二步筛选出朝上数字是3的倍数的结果数量；第三步利用概率计算公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）代入数值计算，即可得到最终结果。
【解析】
掷一枚均匀的正六面体骰子，朝上的数字共有6种等可能的结果，分别为1、2、3、4、5、6。
其中朝上的数字为3的倍数的情况有2种，分别是3和6。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得3的倍数朝上的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、倍数判定
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，主要考察等可能事件概率的计算方法，只要准确统计总情况数和符合题意的情况数即可正确解答，计算难度低。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路分为三步：第一步先确定掷骰子所有等可能出现的结果总数；第二步筛选出朝上数字是3的倍数的结果数量；第三步利用概率计算公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）代入数值计算，即可得到最终结果。
【解析】
掷一枚均匀的正六面体骰子，朝上的数字共有6种等可能的结果，分别为1、2、3、4、5、6。
其中朝上的数字为3的倍数的情况有2种，分别是3和6。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得3的倍数朝上的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
概率计算、倍数判定
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，主要考察等可能事件概率的计算方法，只要准确统计总情况数和符合题意的情况数即可正确解答，计算难度低。
【难度系数】
0.8
2. 一个口袋中有8个红球，2个黑球，每个球除颜色不同外，其他都相同，若从中任意拿出3个球，则下列结论成立的是(
A.所取3个球中至少有1个是黑球
B.所取3个球中至少有2个是红球
C.所取3个球中至少有1个是红球
D.所取3个球中最多有2个红球
C
)A.所取3个球中至少有1个是黑球
B.所取3个球中至少有2个是红球
C.所取3个球中至少有1个是红球
D.所取3个球中最多有2个红球
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道考查事件可能性判断的题目，解题可采用“极端情况分析法”：先考虑取球时的最极端情况，再判断各选项描述的事件是否一定成立。首先明确口袋中黑球仅有2个，红球有8个，我们可以通过举反例排除错误选项，再验证正确选项的必然性。
【解析】
已知口袋中有8个红球，2个黑球，从中任意取3个球，逐一分析选项：
A. 若取出的3个球均为红球（红球有8个，可满足取3个的要求），此时没有黑球，因此“至少有1个黑球”不成立，排除A；
B. 若取出2个黑球+1个红球（黑球共2个，可满足取2个的要求），此时仅有1个红球，因此“至少有2个红球”不成立，排除B；
C. 由于黑球总共只有2个，因此取3个球时最多只能取出2个黑球，剩下的1个一定是红球，即“至少有1个红球”必然成立；
D. 红球有8个，完全可以取出3个红球，因此“最多有2个红球”不成立，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
事件的分类；可能性大小判断；抽屉原理
【点评】
本题属于基础题型，核心是区分必然事件、随机事件和不可能事件，解题时通过举反例、考虑极端取值的方式能快速排除干扰选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.85
这是一道考查事件可能性判断的题目，解题可采用“极端情况分析法”：先考虑取球时的最极端情况，再判断各选项描述的事件是否一定成立。首先明确口袋中黑球仅有2个，红球有8个，我们可以通过举反例排除错误选项，再验证正确选项的必然性。
【解析】
已知口袋中有8个红球，2个黑球，从中任意取3个球，逐一分析选项：
A. 若取出的3个球均为红球（红球有8个，可满足取3个的要求），此时没有黑球，因此“至少有1个黑球”不成立，排除A；
B. 若取出2个黑球+1个红球（黑球共2个，可满足取2个的要求），此时仅有1个红球，因此“至少有2个红球”不成立，排除B；
C. 由于黑球总共只有2个，因此取3个球时最多只能取出2个黑球，剩下的1个一定是红球，即“至少有1个红球”必然成立；
D. 红球有8个，完全可以取出3个红球，因此“最多有2个红球”不成立，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
事件的分类；可能性大小判断；抽屉原理
【点评】
本题属于基础题型，核心是区分必然事件、随机事件和不可能事件，解题时通过举反例、考虑极端取值的方式能快速排除干扰选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.85
3. 要从小强、小红和小华三人中随机选取两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{6}$
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题目，解题思路清晰可分为三步：首先确定所有等可能的选取结果总数，其次找到“小强和小红同时入选”的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算最终结果。由于本题是从3人中无序选取2人，用列举法就能快速、不重不漏地列出所有组合，避免计数出错。
【解析】
解：先列举从三人中随机选取2人的所有等可能情况：
① 小强和小红；② 小强和小华；③ 小红和小华。
总共有3种等可能的结果，其中小强和小红同时入选的情况只有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得小强和小红同时入选的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型概率计算、列举法计数
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是准确列举所有等可能的选取情况，注意选取两人不考虑先后顺序，无需额外排序避免重复计数，熟练掌握基础概率公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算题目，解题思路清晰可分为三步：首先确定所有等可能的选取结果总数，其次找到“小强和小红同时入选”的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算最终结果。由于本题是从3人中无序选取2人，用列举法就能快速、不重不漏地列出所有组合，避免计数出错。
【解析】
解：先列举从三人中随机选取2人的所有等可能情况：
① 小强和小红；② 小强和小华；③ 小红和小华。
总共有3种等可能的结果，其中小强和小红同时入选的情况只有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得小强和小红同时入选的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型概率计算、列举法计数
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是准确列举所有等可能的选取情况，注意选取两人不考虑先后顺序，无需额外排序避免重复计数，熟练掌握基础概率公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
4. 有两组卡片，每组有3张卡片，卡片上的数字都分别为1,2,3. 现从每组卡片中各随机抽取一张，则摸出的两张卡片数字之和为5的概率是(
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$
B
)A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{9}$
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确该试验属于古典概型，所有抽取结果出现的可能性相等；第一步先计算从两组卡片中各抽1张的所有等可能的总结果数，可通过列表法或树状图法枚举所有情况；第二步找出两张卡片数字之和为5的符合条件的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们用列表法列出所有可能的抽取结果：
| 第一组\第二组 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 和为2 | 和为3 | 和为4 |
| 2 | 和为3 | 和为4 | 和为5 |
| 3 | 和为4 | 和为5 | 和为6 |
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为5的结果有2种。
根据概率公式可得，摸出的两张卡片数字之和为5的概率$P=\frac{2}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对枚举法的运用，只要能有序列举出所有等可能结果，准确筛选符合条件的情况就能正确求解，细心作答即可避免失分。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确该试验属于古典概型，所有抽取结果出现的可能性相等；第一步先计算从两组卡片中各抽1张的所有等可能的总结果数，可通过列表法或树状图法枚举所有情况；第二步找出两张卡片数字之和为5的符合条件的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们用列表法列出所有可能的抽取结果：
| 第一组\第二组 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 和为2 | 和为3 | 和为4 |
| 2 | 和为3 | 和为4 | 和为5 |
| 3 | 和为4 | 和为5 | 和为6 |
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为5的结果有2种。
根据概率公式可得，摸出的两张卡片数字之和为5的概率$P=\frac{2}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对枚举法的运用，只要能有序列举出所有等可能结果，准确筛选符合条件的情况就能正确求解，细心作答即可避免失分。
【难度系数】
0.8
5. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿服务活动,每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加:①敬老院做义工;②文化广场地面保洁;③路口文明岗值勤. 则小明和小慧选择参加同一项目的概率是(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
A
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
5. A
解析
【分析】
本题考查两步试验的概率计算，解题思路如下：首先明确该事件属于等可能事件，可通过列举法（列表或画树状图）列出所有等可能的结果，再找出小明和小慧选择同一项目的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
将三个项目分别记为①、②、③，列举所有可能的选择情况：
小明选①时，小慧可选①、②、③，共3种情况；
小明选②时，小慧可选①、②、③，共3种情况；
小明选③时，小慧可选①、②、③，共3种情况。
所有等可能的结果共有$3×3=9$种，其中两人选择同一项目的情况有（①,①）、（②,②）、（③,③），共3种。
根据概率公式可得，小明和小慧选择同一项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心是掌握用列举法梳理两步试验的所有等可能结果，列举时注意做到不重复、不遗漏，再结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查两步试验的概率计算，解题思路如下：首先明确该事件属于等可能事件，可通过列举法（列表或画树状图）列出所有等可能的结果，再找出小明和小慧选择同一项目的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
将三个项目分别记为①、②、③，列举所有可能的选择情况：
小明选①时，小慧可选①、②、③，共3种情况；
小明选②时，小慧可选①、②、③，共3种情况；
小明选③时，小慧可选①、②、③，共3种情况。
所有等可能的结果共有$3×3=9$种，其中两人选择同一项目的情况有（①,①）、（②,②）、（③,③），共3种。
根据概率公式可得，小明和小慧选择同一项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心是掌握用列举法梳理两步试验的所有等可能结果，列举时注意做到不重复、不遗漏，再结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
