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8. 如图，如果 $AC // BD$，$CE // DF$，那么$△ ACE$ 与$△ BDF$ 是位似三角形吗？为什么？
答案
是位似三角形.理由如下: $\because AC // BD, CE // DF, \therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$,
$\frac{OE}{OF}=\frac{OC}{OD}. \therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OE}{OF}$. 又 $\because ∠ AOE = ∠ BOF, \therefore △ OAE ∽ △ OBF. \therefore ∠ OAE = ∠ OBF. \therefore AE // BF$. 又 $\because △ ACE$ 与 $△ BDF$ 的对应点相交于点 $O, \therefore △ ACE$ 与 $△ BDF$ 是位似三角形
$\frac{OE}{OF}=\frac{OC}{OD}. \therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OE}{OF}$. 又 $\because ∠ AOE = ∠ BOF, \therefore △ OAE ∽ △ OBF. \therefore ∠ OAE = ∠ OBF. \therefore AE // BF$. 又 $\because △ ACE$ 与 $△ BDF$ 的对应点相交于点 $O, \therefore △ ACE$ 与 $△ BDF$ 是位似三角形
解析
【分析】
要判断两个三角形是否为位似三角形，需紧扣位似三角形的定义：首先两个三角形相似，其次对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行（或共线）。解题时先利用已知的两组平行线，通过平行线分线段成比例得到线段的比例关系，再证明△OAE与△OBF相似，推出第三组对应边AE//BF，即可证得△ACE与△BDF相似，最后验证两个三角形所有对应顶点的连线都交于点O，即可完成判定。
【解析】
解：△ACE与△BDF是位似三角形，理由如下：
$\because AC // BD$，由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，
$\because CE // DF$，同理可得：$\frac{OE}{OF}=\frac{OC}{OD}$，
$\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OE}{OF}$，
又$\because ∠ AOE = ∠ BOF$（公共角），
$\therefore △ OAE ∽ △ OBF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ OAE = ∠ OBF$，
$\therefore AE // BF$（同位角相等，两直线平行）。
此时△ACE与△BDF的三组对应边分别平行：$AC // BD$，$CE // DF$，$AE // BF$，因此$△ ACE ∽ △ BDF$。
又$\because$两个三角形的对应顶点连线$AB$、$CD$、$EF$都相交于同一点$O$，符合位似三角形的定义，
$\therefore △ ACE$与$△ BDF$是位似三角形。
【答案】
$△ ACE$与$△ BDF$是位似三角形。
【知识点】
位似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是位似判定的基础题型，解题核心是掌握位似图形的两个判定条件，推导过程需要结合平行线的性质和相似三角形的判定知识，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否为位似三角形，需紧扣位似三角形的定义：首先两个三角形相似，其次对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行（或共线）。解题时先利用已知的两组平行线，通过平行线分线段成比例得到线段的比例关系，再证明△OAE与△OBF相似，推出第三组对应边AE//BF，即可证得△ACE与△BDF相似，最后验证两个三角形所有对应顶点的连线都交于点O，即可完成判定。
【解析】
解：△ACE与△BDF是位似三角形，理由如下：
$\because AC // BD$，由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，
$\because CE // DF$，同理可得：$\frac{OE}{OF}=\frac{OC}{OD}$，
$\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OE}{OF}$，
又$\because ∠ AOE = ∠ BOF$（公共角），
$\therefore △ OAE ∽ △ OBF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ OAE = ∠ OBF$，
$\therefore AE // BF$（同位角相等，两直线平行）。
此时△ACE与△BDF的三组对应边分别平行：$AC // BD$，$CE // DF$，$AE // BF$，因此$△ ACE ∽ △ BDF$。
又$\because$两个三角形的对应顶点连线$AB$、$CD$、$EF$都相交于同一点$O$，符合位似三角形的定义，
$\therefore △ ACE$与$△ BDF$是位似三角形。
【答案】
$△ ACE$与$△ BDF$是位似三角形。
【知识点】
位似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是位似判定的基础题型，解题核心是掌握位似图形的两个判定条件，推导过程需要结合平行线的性质和相似三角形的判定知识，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9.（遂宁期末）如图，$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形，位似中心是点$O$，$OA:AD=1:2$，则下列结论中正确的是 【 】
A.$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{△ OBC的周长}{△ OEF的周长}=\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=\dfrac{1}{4}$
A.$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{△ OBC的周长}{△ OEF的周长}=\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=\dfrac{1}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，对应边之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。第一步先根据已知的$OA:AD=1:2$，求出两个位似三角形的相似比，再结合上述性质逐个判断选项即可。
【解析】
∵$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形，位似中心为点$O$，
∴对应点到位似中心的距离之比等于相似比，即$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{DF}$，且相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
已知$OA:AD=1:2$，即$AD=2OA$，
∴$OD=OA+AD=OA+2OA=3OA$，
∴相似比$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$，即$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$。
接下来逐一判断选项：
A选项：$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$，该选项错误；
B选项：$\frac{AC}{DF}$等于相似比$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$，该选项错误；
C选项：$△ OBC$和$△ OEF$也是位似图形，相似比为$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，因此周长比等于相似比$\frac{1}{3}$，该选项正确；
D选项：$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为相似比的平方，即$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，不是$\frac{1}{4}$，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题核心考查位似与相似性质的结合应用，解题的关键是准确计算位似比，注意不要误将$OA:AD$的比值当成相似比，理清对应线段的关系是避免出错的核心。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆位似图形的性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，对应边之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。第一步先根据已知的$OA:AD=1:2$，求出两个位似三角形的相似比，再结合上述性质逐个判断选项即可。
【解析】
∵$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形，位似中心为点$O$，
∴对应点到位似中心的距离之比等于相似比，即$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{DF}$，且相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
已知$OA:AD=1:2$，即$AD=2OA$，
∴$OD=OA+AD=OA+2OA=3OA$，
∴相似比$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$，即$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$。
接下来逐一判断选项：
A选项：$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$，该选项错误；
B选项：$\frac{AC}{DF}$等于相似比$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$，该选项错误；
C选项：$△ OBC$和$△ OEF$也是位似图形，相似比为$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，因此周长比等于相似比$\frac{1}{3}$，该选项正确；
D选项：$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为相似比的平方，即$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，不是$\frac{1}{4}$，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题核心考查位似与相似性质的结合应用，解题的关键是准确计算位似比，注意不要误将$OA:AD$的比值当成相似比，理清对应线段的关系是避免出错的核心。
【难度系数】
0.6
10. 如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：1.若五边形ABCDE的面积为16 cm²，周长为20 cm，则五边形A'B'C'D'E'的面积为
4
cm²，周长为10
cm.答案
10. 4 10
解析
【分析】
遇到位似图形的计算问题，首先明确位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形的全部性质。本题已知两个五边形的位似比为2:1，即五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为2:1，接下来结合相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，代入已知的周长和面积数值即可计算得到结果。
【解析】
解：
∵位似图形是特殊的相似图形，位似比等于相似比，
∴五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为2:1。
1. 计算周长：
相似多边形的周长比等于相似比，即$\frac{C_{ABCDE}}{C_{A'B'C'D'E'}}=\frac{2}{1}$，
已知$C_{ABCDE}=20\mathrm{cm}$，代入得$C_{A'B'C'D'E'}=20÷2=10\mathrm{cm}$。
2. 计算面积：
相似多边形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{ABCDE}}{S_{A'B'C'D'E'}}=(\frac{2}{1})^2=\frac{4}{1}$，
已知$S_{ABCDE}=16\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{A'B'C'D'E'}=16÷4=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】
4；10
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形周长性质；相似多边形面积性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查位似与相似的关系，以及相似多边形的周长、面积和相似比的对应关系，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到位似图形的计算问题，首先明确位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形的全部性质。本题已知两个五边形的位似比为2:1，即五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为2:1，接下来结合相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，代入已知的周长和面积数值即可计算得到结果。
【解析】
解：
∵位似图形是特殊的相似图形，位似比等于相似比，
∴五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为2:1。
1. 计算周长：
相似多边形的周长比等于相似比，即$\frac{C_{ABCDE}}{C_{A'B'C'D'E'}}=\frac{2}{1}$，
已知$C_{ABCDE}=20\mathrm{cm}$，代入得$C_{A'B'C'D'E'}=20÷2=10\mathrm{cm}$。
2. 计算面积：
相似多边形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{ABCDE}}{S_{A'B'C'D'E'}}=(\frac{2}{1})^2=\frac{4}{1}$，
已知$S_{ABCDE}=16\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{A'B'C'D'E'}=16÷4=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】
4；10
【知识点】
位似图形的性质；相似多边形周长性质；相似多边形面积性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查位似与相似的关系，以及相似多边形的周长、面积和相似比的对应关系，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11.（韶关模拟）如图，已知$□ ABCD$的面积为24，以点B为位似中心，作$□ ABCD$的位似图形$□ EBFG$，位似图形与原图形的位似比为$\frac{2}{3}$，连结AG、DG，则$△ ADG$的面积为
4
。答案
11. 4
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形，算出△ABD的面积；2. 再结合位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比，得到线段DG与BD的长度比值；3. 最后观察△ADG和△ABD，二者同高，面积比等于底的比，代入数值即可求出△ADG的面积。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，面积为24
∴ 对角线BD平分平行四边形面积，即$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD} = \frac{1}{2} × 24 = 12$
∵ $□ EBFG$与$□ ABCD$是以点B为位似中心的位似图形，位似比为$\frac{2}{3}$
∴ 对应点D、G的连线过位似中心B，且$\frac{BG}{BD} = \frac{2}{3}$
∴ $DG = BD - BG = BD - \frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BD$，即$\frac{DG}{BD} = \frac{1}{3}$
∵ $△ ADG$和$△ ABD$以DG、BD为底时，高均为点A到直线BD的距离，二者高相等
∴ 面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ ADG}}{S_{△ ABD}} = \frac{DG}{BD} = \frac{1}{3}$
∴ $S_{△ ADG} = \frac{1}{3} × S_{△ ABD} = \frac{1}{3} × 12 = 4$
【答案】
4
【知识点】
位似图形的性质，平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将位似图形与面积计算结合考查，解题的核心是利用位似性质推导出DG与BD的比例关系，再结合同高三角形面积比等于底边长的比这一规律求解，能有效检验学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 先根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形，算出△ABD的面积；2. 再结合位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比，得到线段DG与BD的长度比值；3. 最后观察△ADG和△ABD，二者同高，面积比等于底的比，代入数值即可求出△ADG的面积。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，面积为24
∴ 对角线BD平分平行四边形面积，即$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD} = \frac{1}{2} × 24 = 12$
∵ $□ EBFG$与$□ ABCD$是以点B为位似中心的位似图形，位似比为$\frac{2}{3}$
∴ 对应点D、G的连线过位似中心B，且$\frac{BG}{BD} = \frac{2}{3}$
∴ $DG = BD - BG = BD - \frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BD$，即$\frac{DG}{BD} = \frac{1}{3}$
∵ $△ ADG$和$△ ABD$以DG、BD为底时，高均为点A到直线BD的距离，二者高相等
∴ 面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ ADG}}{S_{△ ABD}} = \frac{DG}{BD} = \frac{1}{3}$
∴ $S_{△ ADG} = \frac{1}{3} × S_{△ ABD} = \frac{1}{3} × 12 = 4$
【答案】
4
【知识点】
位似图形的性质，平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将位似图形与面积计算结合考查，解题的核心是利用位似性质推导出DG与BD的比例关系，再结合同高三角形面积比等于底边长的比这一规律求解，能有效检验学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的端点都在格点（网格线的交点）上.
（1）以点O为位似中心，将△ABC在点O的另一侧放大2倍得到△A'B'C'，作出△A'B'C'.
（2）计算四边形A'OC'B'的面积.
（1）以点O为位似中心，将△ABC在点O的另一侧放大2倍得到△A'B'C'，作出△A'B'C'.
（2）计算四边形A'OC'B'的面积.
答案
12. (1) 如图,$△ A'B'C'$即为所求
(2) $6×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×6-\frac{1}{2}×2×2=12$
解析
【分析】
（1）位似作图首先要明确位似三要素：本题位似中心是点O，位似比为2，且放大后的图形在O的另一侧。解题时先连接原三角形各顶点与O，将连线向O的另一侧延长，使延长后的线段长度是原线段的2倍，得到各顶点的对应点，最后顺次连接对应点即可得到所求位似图形。
（2）四边形A'OC'B'是不规则图形，网格中求不规则图形面积常用割补法，这里选择补形法：将四边形放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去四边形外的三个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接AO并延长至A'，使$OA'=2OA$；
② 同理连接BO并延长至B'，使$OB'=2OB$；连接CO并延长至C'，使$OC'=2OC$；
③ 顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得$△ A'B'C'$即为所求图形。
（2）面积计算：
将四边形$A'OC'B'$置于长为6、宽为4的矩形内，四边形外的3个直角三角形面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_2=\frac{1}{2}×2×6=6$，$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$
矩形面积为$6×4=24$
因此四边形$A'OC'B'$的面积为：
$24-4-6-2=12$
【答案】
(1) 如图,$△ A'B'C'$即为所求
(2) 12
【知识点】
位似作图，割补法求面积，位似的性质
【点评】
本题考查位似图形的作图和网格中不规则图形的面积计算，属于基础题型。作图时要注意位似比、位似中心的位置和新图形的方位要求；面积计算的割补法是网格类面积题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）位似作图首先要明确位似三要素：本题位似中心是点O，位似比为2，且放大后的图形在O的另一侧。解题时先连接原三角形各顶点与O，将连线向O的另一侧延长，使延长后的线段长度是原线段的2倍，得到各顶点的对应点，最后顺次连接对应点即可得到所求位似图形。
（2）四边形A'OC'B'是不规则图形，网格中求不规则图形面积常用割补法，这里选择补形法：将四边形放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去四边形外的三个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接AO并延长至A'，使$OA'=2OA$；
② 同理连接BO并延长至B'，使$OB'=2OB$；连接CO并延长至C'，使$OC'=2OC$；
③ 顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得$△ A'B'C'$即为所求图形。
（2）面积计算：
将四边形$A'OC'B'$置于长为6、宽为4的矩形内，四边形外的3个直角三角形面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_2=\frac{1}{2}×2×6=6$，$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$
矩形面积为$6×4=24$
因此四边形$A'OC'B'$的面积为：
$24-4-6-2=12$
【答案】
(1) 如图,$△ A'B'C'$即为所求
(2) 12
【知识点】
位似作图，割补法求面积，位似的性质
【点评】
本题考查位似图形的作图和网格中不规则图形的面积计算，属于基础题型。作图时要注意位似比、位似中心的位置和新图形的方位要求；面积计算的割补法是网格类面积题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
