13. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.
（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数.

(1) $\because △ ABC$与$△ DEF$的相似比为$1:2, \therefore \frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}. \therefore DF=2AC=4$
(2) $\because ∠ O=22°, ∠ ABC=38°, \therefore ∠ OCB=180°-22°-38°=120°. \because △ ABC$与$△ DEF$位似,点$O$为位似中心,$\therefore \frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{EF}. \therefore △ OBC ∽ △ OEF. \therefore ∠ OFE = ∠ OCB=120°$

【分析】
（1）位似图形是特殊的相似图形，相似比等于对应边的比值。已知△ABC与△DEF的相似比为1:2，AC和DF是一组对应边，直接根据对应边的比例关系代入AC的长度即可求出DF的长。
（2）要求∠OFE的度数，先利用三角形内角和定理，在△OBC中结合已知的∠O和∠ABC（即∠OBC）求出∠OCB的度数；再根据位似图形的性质可证△OBC∽△OEF，利用相似三角形对应角相等的性质，即可得到∠OFE的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC与△DEF位似，相似比为$1:2$，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，
又
∵$AC=2$，
∴$DF=2AC=2×2=4$。
(2) 在△OBC中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ OCB=180°-∠ O-∠ OBC$，
已知$∠ O=22°$，$∠ OBC=∠ ABC=38°$，
∴$∠ OCB=180°-22°-38°=120°$，
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{EF}$，且∠O为公共角，
∴△OBC∽△OEF，
∴$∠ OFE=∠ OCB=120°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是位似图形的基础应用题型，解题核心是抓住位似图形的相似特征，结合相似三角形边角的对应关系，配合三角形内角和定理即可求解，属于基础知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7

14. 如图，已知$B'C' // BC$，$C'D' // CD$，$D'E' // DE$。
（1）求证：四边形BCDE与四边形$B'C'D'E'$位似；
（2）若$\frac{AB'}{B'B}=3$，四边形$B'C'D'E'$的面积$S_{四边形B'C'D'E'}=20$，求四边形BCDE的面积$S_{四边形BCDE}$。

14. (1) $\because B'C' // BC, C'D' // CD, D'E' // DE, \therefore \frac{AD'}{AD}=\frac{AC'}{AC}=\frac{C'D'}{CD}=\frac{E'D'}{ED}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{B'E'}{BE}$. 又 $\because$ 四边形 $BCDE$ 与四边形 $B'C'D'E'$ 的对应顶点相交于点 $A, \therefore$ 四边形 $BCDE$ 与四边形 $B'C'D'E'$ 位似
(2) $\because \frac{AB'}{B'B}=3, \therefore \frac{AB'}{AB}=\frac{3}{4}. \therefore$ 四边形 $BCDE$ 与四边形 $B'C'D'E'$ 的位似比为 $4:3. \because S_{四边形B'C'D'E'}=20, \therefore S_{四边形BCDE}=\frac{16}{9}×20=\frac{320}{9}$

【分析】
（1）要证明两个四边形位似，首先需证二者相似，再验证对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行即可。先利用已知的三组平行线，结合平行线分线段成比例定理，可推出两个四边形对应边成比例、对应角相等，先证得相似；再观察对应顶点连线都经过点A，且对应边互相平行，即可完成位似的证明。
（2）先根据给出的线段比例求出两个四边形的位似比，再利用“位似图形的面积比等于位似比的平方”这一性质，结合已知的小四边形面积，就能求出大四边形的面积。
【解析】
（1）证明：
$\because B'C' // BC$，$C'D' // CD$，$D'E' // DE$，
由平行线分线段成比例可得：$\frac{AC'}{AC}=\frac{AD'}{AD}=\frac{AB'}{AB}=\frac{AE'}{AE}$，
且$\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}=\frac{D'E'}{DE}=\frac{B'E'}{BE}$，两个四边形的对应角也分别相等，
$\therefore$ 四边形$BCDE ∽$ 四边形$B'C'D'E'$，
又$\because$ 四边形$BCDE$与四边形$B'C'D'E'$的对应顶点连线都交于点$A$，且对应边互相平行，
$\therefore$ 四边形$BCDE$与四边形$B'C'D'E'$位似。
（2）解：
$\because \frac{AB'}{B'B}=3$，即$AB'=3B'B$，
$\therefore AB=AB'+B'B=3B'B+B'B=4B'B$，
$\therefore \frac{AB'}{AB}=\frac{3}{4}$，即四边形$BCDE$与四边形$B'C'D'E'$的位似比为$4:3$，
$\because$ 位似图形的面积比等于位似比的平方，
$\therefore \frac{S_{四边形BCDE}}{S_{四边形B'C'D'E'}}=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，
代入$S_{四边形B'C'D'E'}=20$，得：
$S_{四边形BCDE}=\frac{16}{9} × 20=\frac{320}{9}$。
【答案】
（1）四边形$BCDE$与四边形$B'C'D'E'$位似，证明成立；
（2）$\frac{320}{9}$
【知识点】
位似图形的判定，平行线分线段成比例，位似图形的性质
【点评】
本题属于位似相关的基础常考题，既考查了位似图形的判定逻辑，又结合比例计算和位似性质求解图形面积，解题时要注意位似比的对应关系，避免计算面积比时搞反比例。
【难度系数】
0.7