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14.（唐山二模）滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制订了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题.
【方案设计】如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE（BE // AG），使CE＝1 m，并将原来的滑梯CF改为EG（图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在同一条直线上，点A、D、F、G在同一条直线上）.
【测量数据】滑梯的高CD＝1.8 m，滑梯CF的坡度为3：4，滑梯EG的坡角∠EGD＝32°.
【解决问题】（1）求滑梯CF的长度.
（2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：$\sin32° \approx \frac{17}{32}$，$\cos32° \approx \frac{17}{20}$，$\tan32° \approx \frac{5}{8}$）
【方案设计】如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE（BE // AG），使CE＝1 m，并将原来的滑梯CF改为EG（图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在同一条直线上，点A、D、F、G在同一条直线上）.
【测量数据】滑梯的高CD＝1.8 m，滑梯CF的坡度为3：4，滑梯EG的坡角∠EGD＝32°.
【解决问题】（1）求滑梯CF的长度.
（2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：$\sin32° \approx \frac{17}{32}$，$\cos32° \approx \frac{17}{20}$，$\tan32° \approx \frac{5}{8}$）
答案
14. （1）由题意,得$CD : CF = 3 : 5$. $\because CD=1.8\ \mathrm{m}$, $\therefore 1.8 : CF = 3 : 5$. 解得$CF=3\ \mathrm{m}$. $\therefore$ 滑梯CF的长度为3 m （2）如图,过点E作$EH ⊥ AG$,垂足为H. $\because CD ⊥ AG$, $\therefore CD // EH$. $\because BE // AG$, $\therefore EH = CD = 1.8\ \mathrm{m}$, $DH = CE = 1\ \mathrm{m}$. $\therefore DF = \sqrt{CF^2-CD^2} =2.4(\mathrm{m})$. $\therefore \tan∠ EGH =\dfrac{EH}{HG} =\dfrac{5}{8}$, 即$\dfrac{1.8}{HG} =\dfrac{5}{8}$. $\therefore HG=2.88\ \mathrm{m}$. $\therefore FG=DH+HG-DF=1+2.88-2.4=1.48(\mathrm{m})$. 即调整后的滑梯会多占1.48 m的地面
解析
【分析】
（1）要求滑梯CF的长度，首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值，已知CF的坡度为3:4，即$CD:DF=3:4$，结合$CD⊥ DF$，可得直角三角形CDF的三边比为3:4:5，因此$CD:CF=3:5$，代入CD的长度即可直接求出CF的长。
（2）要求FG的长度，首先需要构造直角三角形求解EG对应的水平宽度HG：过E作$EH⊥ AG$于H，由$BE// AG$、$CD⊥ AG$，可得四边形CDHE是矩形，因此$EH=CD=1.8\mathrm{m}$，$DH=CE=1\mathrm{m}$。先利用勾股定理求出原滑梯的水平宽度DF，再在Rt△EHG中利用32°的正切值求出HG的长度，最后根据线段的和差关系$FG=DH+HG-DF$计算即可得到FG的长度。
【解析】
（1）由题意可知$CD⊥ AG$，滑梯CF的坡度为3:4，即$\frac{CD}{DF}=\frac{3}{4}$。
在Rt△CDF中，由勾股定理可得$CD:DF:CF=3:4:5$，即$\frac{CD}{CF}=\frac{3}{5}$。
已知$CD=1.8\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{1.8}{CF}=\frac{3}{5}$，
解得$CF=3\ \mathrm{m}$。
（2）如图，过点E作$EH ⊥ AG$，垂足为H。
$\because CD ⊥ AG$，$EH ⊥ AG$，
$\therefore CD// EH$，
又$\because BE// AG$，即$CE// DH$，
$\therefore$ 四边形CDHE是矩形，
$\therefore EH = CD = 1.8\ \mathrm{m}$，$DH = CE = 1\ \mathrm{m}$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$DF = \sqrt{CF^2-CD^2} = \sqrt{3^2-1.8^2}=2.4(\mathrm{m})$。
在Rt△EHG中，$∠ EGD=32°$，$\tan32° \approx \frac{5}{8}$，
$\because \tan∠ EGH =\dfrac{EH}{HG}$，
$\therefore \dfrac{1.8}{HG} =\dfrac{5}{8}$，
解得$HG=2.88\ \mathrm{m}$。
$\therefore FG=DH+HG-DF=1+2.88-2.4=1.48(\mathrm{m})$。
【答案】
（1）滑梯CF的长度为3 m；（2）调整后的滑梯会多占1.48 m的地面
【知识点】
1. 坡度与坡角
2. 解直角三角形应用
3. 矩形的性质
【点评】
本题以生活中滑梯改造的实际场景为载体，考查了解直角三角形的相关知识，解题的关键是理解坡度、坡角的定义，合理构造直角三角形将实际问题转化为数学计算问题，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求滑梯CF的长度，首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值，已知CF的坡度为3:4，即$CD:DF=3:4$，结合$CD⊥ DF$，可得直角三角形CDF的三边比为3:4:5，因此$CD:CF=3:5$，代入CD的长度即可直接求出CF的长。
（2）要求FG的长度，首先需要构造直角三角形求解EG对应的水平宽度HG：过E作$EH⊥ AG$于H，由$BE// AG$、$CD⊥ AG$，可得四边形CDHE是矩形，因此$EH=CD=1.8\mathrm{m}$，$DH=CE=1\mathrm{m}$。先利用勾股定理求出原滑梯的水平宽度DF，再在Rt△EHG中利用32°的正切值求出HG的长度，最后根据线段的和差关系$FG=DH+HG-DF$计算即可得到FG的长度。
【解析】
（1）由题意可知$CD⊥ AG$，滑梯CF的坡度为3:4，即$\frac{CD}{DF}=\frac{3}{4}$。
在Rt△CDF中，由勾股定理可得$CD:DF:CF=3:4:5$，即$\frac{CD}{CF}=\frac{3}{5}$。
已知$CD=1.8\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{1.8}{CF}=\frac{3}{5}$，
解得$CF=3\ \mathrm{m}$。
（2）如图，过点E作$EH ⊥ AG$，垂足为H。
$\because CD ⊥ AG$，$EH ⊥ AG$，
$\therefore CD// EH$，
又$\because BE// AG$，即$CE// DH$，
$\therefore$ 四边形CDHE是矩形，
$\therefore EH = CD = 1.8\ \mathrm{m}$，$DH = CE = 1\ \mathrm{m}$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$DF = \sqrt{CF^2-CD^2} = \sqrt{3^2-1.8^2}=2.4(\mathrm{m})$。
在Rt△EHG中，$∠ EGD=32°$，$\tan32° \approx \frac{5}{8}$，
$\because \tan∠ EGH =\dfrac{EH}{HG}$，
$\therefore \dfrac{1.8}{HG} =\dfrac{5}{8}$，
解得$HG=2.88\ \mathrm{m}$。
$\therefore FG=DH+HG-DF=1+2.88-2.4=1.48(\mathrm{m})$。
【答案】
（1）滑梯CF的长度为3 m；（2）调整后的滑梯会多占1.48 m的地面
【知识点】
1. 坡度与坡角
2. 解直角三角形应用
3. 矩形的性质
【点评】
本题以生活中滑梯改造的实际场景为载体，考查了解直角三角形的相关知识，解题的关键是理解坡度、坡角的定义，合理构造直角三角形将实际问题转化为数学计算问题，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
