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12. 如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活. 某移动公司为了提升网络信号，在坡度$i = 1:2.4$（即$DB:AB = 1:2.4$）的山坡$AD$上加装了信号塔$PQ$，信号塔底端$Q$到坡底$A$的距离为13m. 当太阳光线与水平线所成的夹角为$53°$时，太阳光线照射在竖直建筑物$MN$上的点$E$处，且$ME = 9\ \mathrm{m}$，$AM = 8\ \mathrm{m}$.
（1）$AQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$，$∠ PEN=\_\_\_\_\_\_°$.
（2）信号塔$PQ$的高度大约为多少米？（参考数据：$\sin53°\approx0.8$，$\cos53°\approx0.6$，$\tan53°\approx1.3$）
（1）$AQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$，$∠ PEN=\_\_\_\_\_\_°$.
（2）信号塔$PQ$的高度大约为多少米？（参考数据：$\sin53°\approx0.8$，$\cos53°\approx0.6$，$\tan53°\approx1.3$）
答案
12. （1）13 37 （2）如图,过点E作$EH ⊥ PQ$于点H,则四边形HGME为矩形. $\therefore HG=ME=9\ \mathrm{m}$, $HE=GM$. 设QG为$x\ \mathrm{m}$. $\because$ 斜坡AD的坡度为$1 : 2.4$, $\therefore AG=2.4x\ \mathrm{m}$. 由勾股定理,得$QG^2+AG^2=AQ^2$,即$x^2+(2.4x)^2=13^2$. 解得$x=5$或$x=-5$(负值舍去). $\therefore AG=12\ \mathrm{m}$, $HQ=9-5=4(\mathrm{m})$. $\therefore GM=12+8=20(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ PHE$中,$∠ PEH=53°$, $HE=20\ \mathrm{m}$. $\because \tan∠ PEH =\dfrac{PH}{HE}$, $\therefore PH=HE · \tan∠ PEH \approx 20 × 1.3 = 26(\mathrm{m})$. $\therefore PQ=PH+HQ=4+26=30(\mathrm{m})$. 即信号塔PQ的高度大约为30 m
解析
【分析】
（1）第一问可直接结合题干信息和角度关系求解：题干明确给出Q到坡底A的距离为13m，因此AQ长度直接可得；太阳光线与水平线夹角为53°，竖直方向的EN与水平线垂直，因此∠PEN与53°的角互余，即可求出角度。
（2）第二问求解信号塔PQ高度，首先通过作辅助线EH⊥PQ，将不规则图形转化为矩形和直角三角形：先利用坡度的定义设未知数，结合勾股定理求出QG、AG的长度；再利用矩形的性质得到HE、HQ的长度；最后在直角三角形PHE中利用53°的正切值求出PH，将PH与HQ相加即可得到PQ的高度。
【解析】
（1）由题干“信号塔底端Q到坡底A的距离为13m”，直接得$AQ=13\ \mathrm{m}$；
太阳光线与水平线夹角为$53°$，水平线与竖直方向的EN互相垂直，因此$∠ PEN=90°-53°=37°$。
（2）过点E作$EH ⊥ PQ$于点H，则四边形HGME为矩形，根据矩形的性质可得：$HG=ME=9\ \mathrm{m}$，$HE=GM$。
设$QG=x\ \mathrm{m}$，
∵斜坡AD的坡度$i=1:2.4$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2.4$，
∴$AG=2.4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△AQG$中，由勾股定理得$QG^2+AG^2=AQ^2$，代入数值得：
$x^2+(2.4x)^2=13^2$
整理得$6.76x^2=169$，解得$x=5$（$x=-5$不符合实际，舍去）。
∴$QG=5\ \mathrm{m}$，$AG=2.4×5=12\ \mathrm{m}$，$HQ=HG-QG=9-5=4\ \mathrm{m}$，$GM=AG+AM=12+8=20\ \mathrm{m}$，即$HE=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PHE$中，$∠ PEH=53°$，由$\tan∠ PEH =\dfrac{PH}{HE}$得：
$PH=HE · \tan53° \approx 20 × 1.3 = 26(\mathrm{m})$
因此$PQ=PH+HQ=26+4=30(\mathrm{m})$。
【答案】
12. （1）13 37 （2）如图,过点E作$EH ⊥ PQ$于点H,则四边形HGME为矩形. $\therefore HG=ME=9\ \mathrm{m}$, $HE=GM$. 设QG为$x\ \mathrm{m}$. $\because$ 斜坡AD的坡度为$1 : 2.4$, $\therefore AG=2.4x\ \mathrm{m}$. 由勾股定理,得$QG^2+AG^2=AQ^2$,即$x^2+(2.4x)^2=13^2$. 解得$x=5$或$x=-5$(负值舍去). $\therefore AG=12\ \mathrm{m}$, $HQ=9-5=4(\mathrm{m})$. $\therefore GM=12+8=20(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ PHE$中,$∠ PEH=53°$, $HE=20\ \mathrm{m}$. $\because \tan∠ PEH =\dfrac{PH}{HE}$, $\therefore PH=HE · \tan∠ PEH \approx 20 × 1.3 = 26(\mathrm{m})$. $\therefore PQ=PH+HQ=4+26=30(\mathrm{m})$. 即信号塔PQ的高度大约为30 m
【知识点】
解直角三角形应用；坡度坡角问题；矩形的性质
【点评】
本题结合5G信号塔安装的实际场景命题，将生活问题转化为几何问题求解，既考查了坡度、勾股定理、锐角三角函数、矩形性质的基础应用，也锻炼了学生构建数学模型解决实际问题的能力，解题的核心是正确作出辅助线拆分复杂图形。
【难度系数】
0.6
（1）第一问可直接结合题干信息和角度关系求解：题干明确给出Q到坡底A的距离为13m，因此AQ长度直接可得；太阳光线与水平线夹角为53°，竖直方向的EN与水平线垂直，因此∠PEN与53°的角互余，即可求出角度。
（2）第二问求解信号塔PQ高度，首先通过作辅助线EH⊥PQ，将不规则图形转化为矩形和直角三角形：先利用坡度的定义设未知数，结合勾股定理求出QG、AG的长度；再利用矩形的性质得到HE、HQ的长度；最后在直角三角形PHE中利用53°的正切值求出PH，将PH与HQ相加即可得到PQ的高度。
【解析】
（1）由题干“信号塔底端Q到坡底A的距离为13m”，直接得$AQ=13\ \mathrm{m}$；
太阳光线与水平线夹角为$53°$，水平线与竖直方向的EN互相垂直，因此$∠ PEN=90°-53°=37°$。
（2）过点E作$EH ⊥ PQ$于点H，则四边形HGME为矩形，根据矩形的性质可得：$HG=ME=9\ \mathrm{m}$，$HE=GM$。
设$QG=x\ \mathrm{m}$，
∵斜坡AD的坡度$i=1:2.4$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2.4$，
∴$AG=2.4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△AQG$中，由勾股定理得$QG^2+AG^2=AQ^2$，代入数值得：
$x^2+(2.4x)^2=13^2$
整理得$6.76x^2=169$，解得$x=5$（$x=-5$不符合实际，舍去）。
∴$QG=5\ \mathrm{m}$，$AG=2.4×5=12\ \mathrm{m}$，$HQ=HG-QG=9-5=4\ \mathrm{m}$，$GM=AG+AM=12+8=20\ \mathrm{m}$，即$HE=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PHE$中，$∠ PEH=53°$，由$\tan∠ PEH =\dfrac{PH}{HE}$得：
$PH=HE · \tan53° \approx 20 × 1.3 = 26(\mathrm{m})$
因此$PQ=PH+HQ=26+4=30(\mathrm{m})$。
【答案】
12. （1）13 37 （2）如图,过点E作$EH ⊥ PQ$于点H,则四边形HGME为矩形. $\therefore HG=ME=9\ \mathrm{m}$, $HE=GM$. 设QG为$x\ \mathrm{m}$. $\because$ 斜坡AD的坡度为$1 : 2.4$, $\therefore AG=2.4x\ \mathrm{m}$. 由勾股定理,得$QG^2+AG^2=AQ^2$,即$x^2+(2.4x)^2=13^2$. 解得$x=5$或$x=-5$(负值舍去). $\therefore AG=12\ \mathrm{m}$, $HQ=9-5=4(\mathrm{m})$. $\therefore GM=12+8=20(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ PHE$中,$∠ PEH=53°$, $HE=20\ \mathrm{m}$. $\because \tan∠ PEH =\dfrac{PH}{HE}$, $\therefore PH=HE · \tan∠ PEH \approx 20 × 1.3 = 26(\mathrm{m})$. $\therefore PQ=PH+HQ=4+26=30(\mathrm{m})$. 即信号塔PQ的高度大约为30 m
【知识点】
解直角三角形应用；坡度坡角问题；矩形的性质
【点评】
本题结合5G信号塔安装的实际场景命题，将生活问题转化为几何问题求解，既考查了坡度、勾股定理、锐角三角函数、矩形性质的基础应用，也锻炼了学生构建数学模型解决实际问题的能力，解题的核心是正确作出辅助线拆分复杂图形。
【难度系数】
0.6
13. (济南中考)某水上乐园有两个相邻的水上滑梯,如图所示,左边滑梯的长度AB为21 m,倾斜角为$40°$,右边滑梯的高度DF为11 m,倾斜角为$32°$,支架AC、NF都与地面垂直,AN、MD都与地面平行,两支架之间的距离CF为3 m(点B、C、F、E在同一条直线上).
(1) 求两滑梯的高度差；
(2) 两滑梯的底端分别为B、E,求BE的长.(精确到0.01 m.参考数据:$\sin32°\approx0.530$,$\cos32°\approx0.848$,$\tan32°\approx0.625$,$\sin40°\approx0.643$,$\cos40°\approx0.766$,$\tan40°\approx0.839$)
(1) 求两滑梯的高度差；
(2) 两滑梯的底端分别为B、E,求BE的长.(精确到0.01 m.参考数据:$\sin32°\approx0.530$,$\cos32°\approx0.848$,$\tan32°\approx0.625$,$\sin40°\approx0.643$,$\cos40°\approx0.766$,$\tan40°\approx0.839$)
答案
13. （1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, $∠ B=40°$. $\because \sin∠ B =\dfrac{AC}{AB}$, $\therefore AC = AB\sin∠ B = AB\sin40° \approx 21 × 0.643 = 13.503(\mathrm{m})$. $\therefore AC-DF = 13.503 - 11 = 2.503 \approx 2.50(\mathrm{m})$. 即两滑梯的高度差为2.50 m （2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, $∠ B=40°$. $\because \cos∠ B =\dfrac{BC}{AB}$, $\therefore BC=AB\cos∠ B = AB\cos40° \approx 21 × 0.766 = 16.086 (\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ EFD$中,$∠ DFE=90°$, $∠ DEF=32°$. $\because \tan∠ DEF =\dfrac{DF}{EF}$, $\therefore EF =\dfrac{DF}{\tan∠ DEF} =\dfrac{DF}{\tan32°} \approx \dfrac{11}{0.625} = 17.6(\mathrm{m})$. $\therefore BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6=36.686\approx36.69(\mathrm{m})$. 即BE的长为36.69 m
解析
【分析】
(1) 求两滑梯高度差，需先算出左侧滑梯高度$AC$，再减去右侧滑梯高度$DF$。$AC$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知斜边$AB$和$∠ B$的度数，根据正弦函数“对边比斜边”的定义即可求出$AC$，进而得到高度差。
(2) 求$BE$的长度，由图可知$BE=BC+CF+EF$，其中$CF$已知为$3\mathrm{m}$，只需分别求出$BC$和$EF$即可。$BC$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知斜边$AB$和$∠ B$的度数，根据余弦函数“邻边比斜边”的定义可求出$BC$；$EF$在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，已知$DF$和$∠ E$的度数，根据正切函数“对边比邻边”的定义可求出$EF$，三者相加后按要求保留小数位数即可得到$BE$的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，
由$\sin B=\dfrac{AC}{AB}$得：
$AC=AB·\sin40°\approx21×0.643=13.503(\mathrm{m})$，
两滑梯高度差为$AC-DF=13.503-11=2.503\approx2.50(\mathrm{m})$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，
由$\cos B=\dfrac{BC}{AB}$得：
$BC=AB·\cos40°\approx21×0.766=16.086(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，$∠ DFE=90°$，$∠ DEF=32°$，
由$\tan∠ DEF=\dfrac{DF}{EF}$得：
$EF=\dfrac{DF}{\tan32°}\approx\dfrac{11}{0.625}=17.6(\mathrm{m})$，
因此$BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6=36.686\approx36.69(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 两滑梯的高度差为$\boldsymbol{2.50\ \mathrm{m}}$；
(2) $BE$的长为$\boldsymbol{36.69\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 锐角三角函数
2. 解直角三角形
3. 实际应用计算
【点评】
本题是解直角三角形结合生活场景的基础应用题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，根据已知条件选择对应三角函数求解即可，计算时需注意精确度要求，主要考察学生的模型转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求两滑梯高度差，需先算出左侧滑梯高度$AC$，再减去右侧滑梯高度$DF$。$AC$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知斜边$AB$和$∠ B$的度数，根据正弦函数“对边比斜边”的定义即可求出$AC$，进而得到高度差。
(2) 求$BE$的长度，由图可知$BE=BC+CF+EF$，其中$CF$已知为$3\mathrm{m}$，只需分别求出$BC$和$EF$即可。$BC$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知斜边$AB$和$∠ B$的度数，根据余弦函数“邻边比斜边”的定义可求出$BC$；$EF$在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，已知$DF$和$∠ E$的度数，根据正切函数“对边比邻边”的定义可求出$EF$，三者相加后按要求保留小数位数即可得到$BE$的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，
由$\sin B=\dfrac{AC}{AB}$得：
$AC=AB·\sin40°\approx21×0.643=13.503(\mathrm{m})$，
两滑梯高度差为$AC-DF=13.503-11=2.503\approx2.50(\mathrm{m})$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，
由$\cos B=\dfrac{BC}{AB}$得：
$BC=AB·\cos40°\approx21×0.766=16.086(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ DFE$中，$∠ DFE=90°$，$∠ DEF=32°$，
由$\tan∠ DEF=\dfrac{DF}{EF}$得：
$EF=\dfrac{DF}{\tan32°}\approx\dfrac{11}{0.625}=17.6(\mathrm{m})$，
因此$BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6=36.686\approx36.69(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 两滑梯的高度差为$\boldsymbol{2.50\ \mathrm{m}}$；
(2) $BE$的长为$\boldsymbol{36.69\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 锐角三角函数
2. 解直角三角形
3. 实际应用计算
【点评】
本题是解直角三角形结合生活场景的基础应用题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，根据已知条件选择对应三角函数求解即可，计算时需注意精确度要求，主要考察学生的模型转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
