7.（湖北中考）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度$i=3:4$是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20 m，$∠ C=18°$，求斜坡AB的长.（精确到0.1 m.参考数据：$\sin18° \approx 0.31$，$\cos18° \approx 0.95$，$\tan18° \approx 0.32$）

7. 如图,过点D作$DE ⊥ BC$,垂足为E.根据题意,得$AF ⊥ BC$, $DE=AF$. $\because$ 斜面AB的坡度$i=3 : 4$, $\therefore \dfrac{AF}{BF}=\dfrac{3}{4}$. 设$AF=3x\ \mathrm{m}$,则$BF=4x\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ DEC$中,$∠ C=18°$, $CD=20\ \mathrm{m}$. $\therefore DE = CD · \sin 18° \approx 20 × 0.31 = 6.2(\mathrm{m})$. $\therefore AF=DE=6.2\ \mathrm{m}$. $\therefore 3x=6.2$. 解得$x=\dfrac{31}{15}$. $\therefore AB=5x \approx 10.3(\mathrm{m})$. 即斜坡AB的长约为10.3 m

【分析】
要求斜坡AB的长，已知AB的坡度i=3:4，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比，因此只需要先求出拦水坝的高度AF，再利用坡度的比例关系结合勾股定理即可求出AB的长度。AF与梯形的另一条高DE长度相等，DE是Rt△DEC的直角边，已知斜边CD的长度和∠C的度数，可通过正弦函数先求出DE的长度，再代入AB的相关计算即可。
【解析】
解：如图，过点D作$DE ⊥ BC$，垂足为E。根据题意，得$AF ⊥ BC$，因此$DE=AF$。
$\because$ 斜面AB的坡度$i=3 : 4$，即坡面铅直高度与水平宽度的比，$\therefore \dfrac{AF}{BF}=\dfrac{3}{4}$。
设$AF=3x\ \mathrm{m}$，则$BF=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$∠ C=18°$，$CD=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore DE = CD · \sin 18° \approx 20 × 0.31 = 6.2(\mathrm{m})$。
$\therefore AF=DE=6.2\ \mathrm{m}$，即$3x=6.2$，解得$x=\dfrac{31}{15}$。
$\therefore AB=5x = 5×\dfrac{31}{15} \approx 10.3(\mathrm{m})$。
【答案】
斜坡AB的长约为10.3 m
【知识点】
1.坡度的概念
2.解直角三角形
3.勾股定理
【点评】
本题结合防洪工程的实际场景，考查了坡度的定义和解直角三角形的实际应用，解题的核心是利用梯形两条高相等的性质，将两个直角三角形的已知条件关联起来，属于基础应用类题型，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图,某超市门口要修建一座跨度为24m的人行天桥(即AB=24m),CD//AB,天桥架空高度为6m(CD与AB之间的距离为6m).若天桥两边的斜坡AD、BC的坡度均为2:3,求人行天桥的桥面CD的长.

8. 如图,过点D作$DE ⊥ AB$于点E,过点C作$CF ⊥ AB$于点F. 由题意,得$CD=EF$, $DE=CF=6\ \mathrm{m}$. $\because$ 天桥两边的斜坡AD、BC的坡度均为$2 : 3$, $\therefore \tan A=\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{2}{3}$, $\tan B=\dfrac{CF}{BF}=\dfrac{2}{3}$. $\therefore AE=FB=9\ \mathrm{m}$. $\because AB=24\ \mathrm{m}$, $\therefore CD=EF=AB-AE-FB=24-9-9=6(\mathrm{m})$. 即人行天桥的桥面CD的长为6 m

【分析】
本题是梯形背景下的解直角三角形实际应用题，求解思路如下：首先采用梯形常用辅助线作法，过C、D两点分别作AB的垂线，将梯形分割为两个直角三角形和中间的矩形，此时桥面CD的长等于矩形的水平边长EF，只需计算出两个直角三角形的水平直角边AE、BF的长度，再用AB的总长减去AE和BF的长度即可得到CD的长。已知斜坡坡度为垂直高度与水平宽度的比，结合给出的架空高度（即垂直高度），可直接利用坡度定义求出AE、BF的长度。
【解析】
解：过点D作$DE ⊥ AB$于点E，过点C作$CF ⊥ AB$于点F。
$\because CD// AB$，$\therefore$ 四边形CDEF为矩形，可得$CD=EF$，$DE=CF=6\ \mathrm{m}$。
$\because$ 斜坡AD、BC的坡度均为$2:3$（坡度为坡面垂直高度与水平宽度的比值），
$\therefore \tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{2}{3}$，$\tan B=\frac{CF}{BF}=\frac{2}{3}$。
将$DE=6\ \mathrm{m}$代入得$AE=\frac{3×6}{2}=9\ \mathrm{m}$，同理可得$FB=9\ \mathrm{m}$。
$\because AB=24\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=EF=AB-AE-FB=24-9-9=6(\mathrm{m})$。
【答案】
人行天桥的桥面CD的长为6 m
【知识点】
坡度的概念；解直角三角形的应用；梯形的性质
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题核心是通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，结合坡度的定义即可快速求解，这类题型是坡度相关应用的常见考法，需要熟练掌握辅助线的作法和坡度的含义。
【难度系数】
0.8

9. 如图,拦水坝的横断面为梯形$ABCD$,$AF=DE=6\mathrm{m}$,斜面坡度$i=1:1.5$是指坡面的铅直高度$AF$与水平宽度$BF$的比,斜面坡度$i=1:3$是指$DE$与$CE$的比.根据图中数据,得出斜坡$AB$的长为 【 】

A.$13\mathrm{m}$
B.$3\sqrt{13}\mathrm{m}$
C.$3\sqrt{11}\mathrm{m}$
D.$11\mathrm{m}$
(第9题)

B

【分析】
解题时首先利用斜坡AB的坡度定义，先求出水平宽度BF的长度，再在直角三角形ABF中运用勾股定理即可求出斜边AB的长度。第一步：明确坡度i是坡面铅直高度与水平宽度的比值，代入已知的铅直高度AF的数值可算出BF；第二步：直角三角形中已知两条直角边，用勾股定理计算斜边AB即可。
【解析】
已知斜坡AB的坡度$i=1:1.5=\frac{AF}{BF}$，且$AF=6\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{6}{BF}=\frac{1}{1.5}$
解得$BF=6×1.5=9\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ AFB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
坡度的定义；勾股定理
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题关键是准确理解坡度的含义，结合勾股定理计算边长，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.75

10.（扬州中考）如图①，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度$BM=7\ \mathrm{cm}$. 将此正方体放在坡角为$α$的斜坡上，此时水面$MN$恰好与点$A$齐平，其主视图如图②所示，则$\tanα=$.

10. $\dfrac{4}{9}$

【分析】
解题的核心是抓住密封容器内水的体积不变这一隐含条件。第一步先计算水平放置时水的体积；第二步容器放在斜坡上时，水为柱体，体积等于主视图水区域面积乘正方体前后棱长，据此求出主视图中无水直角三角形的面积；第三步利用三角形面积公式求出短直角边长，最后结合坡角与三角形内角的关系，根据正切定义求出$\tanα$的值。
【解析】
1. 计算水的体积：
正方体棱长为9 cm，水平放置时水面高度$BM=7\ \mathrm{cm}$，因此水的体积
$V=9×9×7=567\ \mathrm{cm}^3$。
2. 求主视图中无水区域的面积：
容器放在斜坡上时，水为柱体，前后方向棱长为9 cm。主视图正方形$ABCD$的面积为$9×9=81\ \mathrm{cm}^2$，设无水直角三角形面积为$S_空$，根据水的体积不变得：
$(81-S_空)×9=567$
解得$S_空=18\ \mathrm{cm}^2$。
3. 求直角三角形短直角边长：
无水直角三角形一条直角边为$AD=9\ \mathrm{cm}$，设另一条直角边$DN=x$，由三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×9× x=18$
解得$x=4\ \mathrm{cm}$，即$DN=4\ \mathrm{cm}$。
4. 求$\tanα$：
水面为水平面，和坡面夹角为$α$，由平行线的内错角关系可得：
$\tanα=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\dfrac{4}{9}$
【知识点】
坡度坡角问题，体积不变原理，正切的定义
【点评】
本题将立体体积和平面解直角三角形结合，解题关键是找到体积不变的隐含条件，将立体问题转化为平面图形的面积、角度问题求解，需要结合水面水平的生活常识找角度关系。
【难度系数】
0.6

11.（眉山中考）如图，斜坡CD的坡度$i=1:2$，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为$60°$时，大树在斜坡上的影子BE的长为10 m，则大树AB的

$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$

【分析】
解题时首先要将实际问题转化为解直角三角形问题：第一步作辅助线构造直角三角形，过E作水平线段EF垂直AB的延长线于F，将斜坡BE的坡度关系转化为Rt△BEF的边长比例；第二步利用勾股定理结合BE的长度求出EF、BF的长度；第三步根据太阳光与水平面的夹角，在Rt△AEF中用特殊角的三角函数求出AF的长度；最后根据AB=AF-BF计算出大树的高度。
【解析】
过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，则EF为水平线段，BF为竖直线段。
∵斜坡CD的坡度$i=1:2$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2$
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{1}{2}$，即$EF=2BF$
在$Rt△ BEF$中，$BE=10\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$BF^2 + EF^2 = BE^2$
代入$EF=2BF$得：$BF^2 + (2BF)^2 = 10^2$
$5BF^2=100$，解得$BF=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$（长度取正值），则$EF=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
由题意知太阳光与水平面夹角为$60°$，即$∠ AEF=60°$
在$Rt△ AEF$中，$\tan60°=\frac{AF}{EF}$
∴$AF=EF·\tan60°=4\sqrt{5}×\sqrt{3}=4\sqrt{15}\ \mathrm{m}$
∵$AB=AF - BF$
∴$AB=4\sqrt{15}-2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【答案】
$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角，特殊角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将坡度、光线夹角的条件转化为直角三角形的边角关系，结合勾股定理和三角函数即可求解，需要注意线段之间的和差关系不要混淆。
【难度系数】
0.6