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10. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个.若这种商品每件降价0.5元，则每天能多售出4个.如果该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元？设每个口风琴的售价应该是x元，则下列方程正确的是
【 】
A.$(x - 20)(8 + \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$
B.$(x - 12)(8 + \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$
C.$(20 - 12)(8 - \dfrac{x - 20}{0.5} × 4) = 144$
D.$(x - 12)(8 - \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$
【 】
A.$(x - 20)(8 + \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$
B.$(x - 12)(8 + \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$
C.$(20 - 12)(8 - \dfrac{x - 20}{0.5} × 4) = 144$
D.$(x - 12)(8 - \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$
答案
B
解析
【分析】
解这类利润问题的核心是抓住等量关系：每天总销售利润=每件商品的利润×每天的销售量。第一步先确定单件利润：已知售价为x元，进价是12元，单件利润=售价-进价，即x-12，可直接排除利润表示错误的A、C选项；第二步确定销售量：原售价20元时日均卖8个，售价降为x元时，降价总额为20-x元，每降0.5元多卖4个，因此共多卖$\frac{20-x}{0.5}×4$个，总销售量为原来的8个加上多卖的数量，销售量是增加的，可排除写减号的D选项，最终列方程对应B选项。
【解析】
根据销售利润的核心公式：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件利润} × \mathrm{总销售量}$，分步推导：
1. 计算单件利润：进价为12元，售价为x元，因此单件利润为 $x-12$ 元；
2. 计算总销售量：原售价20元时日均销售8个，售价降为x元时，降价金额为$20-x$元；每降价0.5元多售出4个，因此多售出的数量为 $\dfrac{20-x}{0.5} × 4$ 个，总销售量为 $8 + \dfrac{20-x}{0.5} × 4$ 个；
3. 结合总利润为144元，列方程得：
$(x - 12)(8 + \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用
【点评】
本题是销售类利润问题的常考题型，解题的关键是找准总利润的等量关系，准确表示出随售价变化的单件利润和销售量即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解这类利润问题的核心是抓住等量关系：每天总销售利润=每件商品的利润×每天的销售量。第一步先确定单件利润：已知售价为x元，进价是12元，单件利润=售价-进价，即x-12，可直接排除利润表示错误的A、C选项；第二步确定销售量：原售价20元时日均卖8个，售价降为x元时，降价总额为20-x元，每降0.5元多卖4个，因此共多卖$\frac{20-x}{0.5}×4$个，总销售量为原来的8个加上多卖的数量，销售量是增加的，可排除写减号的D选项，最终列方程对应B选项。
【解析】
根据销售利润的核心公式：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件利润} × \mathrm{总销售量}$，分步推导：
1. 计算单件利润：进价为12元，售价为x元，因此单件利润为 $x-12$ 元；
2. 计算总销售量：原售价20元时日均销售8个，售价降为x元时，降价金额为$20-x$元；每降价0.5元多售出4个，因此多售出的数量为 $\dfrac{20-x}{0.5} × 4$ 个，总销售量为 $8 + \dfrac{20-x}{0.5} × 4$ 个；
3. 结合总利润为144元，列方程得：
$(x - 12)(8 + \dfrac{20 - x}{0.5} × 4) = 144$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用
【点评】
本题是销售类利润问题的常考题型，解题的关键是找准总利润的等量关系，准确表示出随售价变化的单件利润和销售量即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 某男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），若比赛总场数为380场，则参赛队伍有
20
支.答案
11. 20
解析
【分析】
解题时首先要明确双循环赛制的总场数计算规则：若有x支参赛队伍，每两队之间要进行2场比赛，每支队伍需和其余(x-1)支队伍各赛2场，因此总比赛场数为x(x-1)。接下来根据题目给出的总场数380列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根即可得到参赛队伍数量。
【解析】
设参赛队伍有$ x $支。
根据双循环赛制总场数的计算规则，可列方程：
$ x(x-1) = 380 $
整理得：
$ x^2 - x - 380 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 20)(x + 19) = 0 $
解得：$ x_1 = 20 $，$ x_2 = -19 $
由于参赛队伍数量不能为负数，故舍去$ x_2 = -19 $，即参赛队伍有20支。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环赛制计数
【点评】
本题结合实际赛事场景考查用方程解决实际问题的能力，解题核心是准确理解双循环赛制的场数计算逻辑，求出方程的解后要注意验证是否符合实际意义，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确双循环赛制的总场数计算规则：若有x支参赛队伍，每两队之间要进行2场比赛，每支队伍需和其余(x-1)支队伍各赛2场，因此总比赛场数为x(x-1)。接下来根据题目给出的总场数380列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根即可得到参赛队伍数量。
【解析】
设参赛队伍有$ x $支。
根据双循环赛制总场数的计算规则，可列方程：
$ x(x-1) = 380 $
整理得：
$ x^2 - x - 380 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 20)(x + 19) = 0 $
解得：$ x_1 = 20 $，$ x_2 = -19 $
由于参赛队伍数量不能为负数，故舍去$ x_2 = -19 $，即参赛队伍有20支。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环赛制计数
【点评】
本题结合实际赛事场景考查用方程解决实际问题的能力，解题核心是准确理解双循环赛制的场数计算逻辑，求出方程的解后要注意验证是否符合实际意义，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
12. 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数.
答案
12. 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x. 根据题意,得$1+x+x^2=73$. 解得$x_1=8$,$x_2=-9$(不符合题意,舍去).
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8
解析
【分析】
我们可以通过设未知数逐步梳理各部分数量：首先主干的数量固定为1个，若设每个支干长出的小分支个数为x，那么支干的总数量就是x个；又因为每个支干长出x个小分支，所以小分支的总数量为x·x=x²个。题目明确三者的总数是73，因此可以列出关于x的一元二次方程，求解后结合实际意义（小分支个数不可能为负数）舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x。
根据主干、支干、小分支的总数是73，列方程得：
$1+x+x^2=73$
整理得：$x^2+x-72=0$
因式分解得：$(x+9)(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-9$
由于小分支个数不能为负数，因此$x_2=-9$不符合题意，舍去。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的分支类实际应用题，解题关键是理清各层级的数量关系，列方程时不要漏算主干，求解后要结合实际问题的取值范围对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数逐步梳理各部分数量：首先主干的数量固定为1个，若设每个支干长出的小分支个数为x，那么支干的总数量就是x个；又因为每个支干长出x个小分支，所以小分支的总数量为x·x=x²个。题目明确三者的总数是73，因此可以列出关于x的一元二次方程，求解后结合实际意义（小分支个数不可能为负数）舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x。
根据主干、支干、小分支的总数是73，列方程得：
$1+x+x^2=73$
整理得：$x^2+x-72=0$
因式分解得：$(x+9)(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-9$
由于小分支个数不能为负数，因此$x_2=-9$不符合题意，舍去。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的分支类实际应用题，解题关键是理清各层级的数量关系，列方程时不要漏算主干，求解后要结合实际问题的取值范围对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
13. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业.某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个.
（1）已知每季度生产量的平均增长率相同，求前三季度生产量的平均增长率.
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
（1）已知每季度生产量的平均增长率相同，求前三季度生产量的平均增长率.
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
答案
13.（1）设前三季度生产量的平均增长率为x. 根据题意,得$200(1+x)^2=288$. 解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).
∴前三季度生产量的平均增长率为20% （2）设应该再增加m条生产线,则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度. 根据题意,得$(m+1)(600-20m)=2600$. 解得$m_1=4$,$m_2=25$. 又
∵在增加产能同时又要节省投入成本,
∴m=4. 即应该再增加4条生产线
∴前三季度生产量的平均增长率为20% （2）设应该再增加m条生产线,则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度. 根据题意,得$(m+1)(600-20m)=2600$. 解得$m_1=4$,$m_2=25$. 又
∵在增加产能同时又要节省投入成本,
∴m=4. 即应该再增加4条生产线
解析
【分析】
（1）第一问是平均增长率类问题，解题需用到平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+平均增长率)^增长次数=最终量。本题中初始生产量为第一季度的200万个，到第三季度共经历2次增长，最终生产量为288万个，据此设未知数列方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）第二问是产能优化类实际问题，核心等量关系为：总产能=生产线总条数×单条生产线最大产能。设增加m条生产线后，总生产线数量为(m+1)条，每新增1条生产线单条产能减少20万个，因此单条产能为(600-20m)万个/季度，结合总产能要求2600万个列方程求解，最后根据“生产线越少投入成本越低”的条件选取合适的根即可。
【解析】
（1）设前三季度生产量的平均增长率为x。
根据题意列方程：$200(1+x)^2=288$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，增长率不能为负，故舍去$x_2$。
（2）设应该再增加m条生产线，则此时共有(m+1)条生产线，每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度。
根据总产能要求列方程：$(m+1)(600-20m)=2600$
整理得：$m^2-29m+100=0$
因式分解得：$(m-4)(m-25)=0$
解得$m_1=4$，$m_2=25$。
∵要节省投入成本，生产线数量越少投入越低，
∴选取较小的m值，即m=4。
【答案】
（1）前三季度生产量的平均增长率为20%；（2）应该再增加4条生产线。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题、最优方案选择
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，结合当下产业发展的热点背景出题，既考查学生对平均增长率等基础公式的掌握，也要求学生结合实际场景对运算结果进行合理取舍，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是平均增长率类问题，解题需用到平均增长率的核心等量关系：初始量×(1+平均增长率)^增长次数=最终量。本题中初始生产量为第一季度的200万个，到第三季度共经历2次增长，最终生产量为288万个，据此设未知数列方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）第二问是产能优化类实际问题，核心等量关系为：总产能=生产线总条数×单条生产线最大产能。设增加m条生产线后，总生产线数量为(m+1)条，每新增1条生产线单条产能减少20万个，因此单条产能为(600-20m)万个/季度，结合总产能要求2600万个列方程求解，最后根据“生产线越少投入成本越低”的条件选取合适的根即可。
【解析】
（1）设前三季度生产量的平均增长率为x。
根据题意列方程：$200(1+x)^2=288$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，增长率不能为负，故舍去$x_2$。
（2）设应该再增加m条生产线，则此时共有(m+1)条生产线，每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度。
根据总产能要求列方程：$(m+1)(600-20m)=2600$
整理得：$m^2-29m+100=0$
因式分解得：$(m-4)(m-25)=0$
解得$m_1=4$，$m_2=25$。
∵要节省投入成本，生产线数量越少投入越低，
∴选取较小的m值，即m=4。
【答案】
（1）前三季度生产量的平均增长率为20%；（2）应该再增加4条生产线。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题、最优方案选择
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，结合当下产业发展的热点背景出题，既考查学生对平均增长率等基础公式的掌握，也要求学生结合实际场景对运算结果进行合理取舍，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
