20. 已知 $x=4+\sqrt{5}$，$y=4-\sqrt{5}$。求：
(1) $x+y$ 的值；
(2) $x^2 - 2xy + y^2$ 的值。

(1) $\because x=4+\sqrt{5},\ y=4-\sqrt{5},\therefore x+y=4+\sqrt{5}+4-\sqrt{5}=8$ (2) $\because x=4+\sqrt{5},\ y=4-\sqrt{5},\therefore x-y=4+\sqrt{5}-(4-\sqrt{5})=2\sqrt{5}. \therefore x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=(2\sqrt{5})^2=20$

【分析】
(1) 求$x+y$的值可直接将$x$、$y$的表达式代入，合并同类项时$\sqrt{5}$和$-\sqrt{5}$互为相反数，抵消后即可快速得出结果；(2) 观察待求式$x^2-2xy+y^2$，符合完全平方差公式的结构特征，可先变形为$(x-y)^2$，先计算$x-y$的值再代入平方计算，比直接代入原式计算更简便，能减少运算量。
【解析】
(1) 已知$x=4+\sqrt{5}$，$y=4-\sqrt{5}$，代入$x+y$可得：
$\begin{aligned}x+y&=(4+\sqrt{5})+(4-\sqrt{5})\\&=4+\sqrt{5}+4-\sqrt{5}\\&=8\end{aligned}$
(2) 由完全平方差公式可得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，先计算$x-y$的值：
$\begin{aligned}x-y&=(4+\sqrt{5})-(4-\sqrt{5})\\&=4+\sqrt{5}-4+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}\end{aligned}$
将$x-y=2\sqrt{5}$代入变形后的式子：
$\begin{aligned}(x-y)^2&=(2\sqrt{5})^2\\&=4×5\\&=20\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{20}$
【知识点】
二次根式的加减运算；完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，解题时注意观察代数式的结构特征，优先利用乘法公式对代数式变形，可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9

21. 某校有一块形状为正方形的绿地(如图)，其边长为$(\sqrt{35} + 2)\ \mathrm{m}$. 现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为$(\sqrt{7} + 1)\ \mathrm{m}$，宽为$(\sqrt{7} - 1)\ \mathrm{m}$，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，求通道的总面积.

由题意,得通道的总面积为：$(\sqrt{35}+2)^2 -4×(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)=(4\sqrt{35}+15)\mathrm{m}^2$

【分析】
要计算通道的总面积，首先明确面积的数量关系：通道总面积 = 正方形绿地的总面积减去4个长方形花坛的总面积。接下来分别计算两部分的面积即可，计算时可利用完全平方公式和平方差公式简化根式运算，避免繁琐的直接计算。
【解析】
解：通道的总面积等于正方形绿地面积减去4个长方形花坛的面积，计算过程如下：
$\begin{aligned}S &= (\sqrt{35}+2)^2 - 4×(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1) \\&= [(\sqrt{35})^2 + 2×\sqrt{35}×2 + 2^2] - 4×[(\sqrt{7})^2 - 1^2] \\&= (35 + 4\sqrt{35} + 4) - 4×(7-1) \\&= 39 + 4\sqrt{35} - 24 \\&= 4\sqrt{35} + 15\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$(4\sqrt{35}+15)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
面积和差计算、乘法公式应用、二次根式运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数式运算，解题的核心是理清面积的和差关系，灵活运用完全平方公式和平方差公式简化计算，可有效降低运算量，避免计算失误。
【难度系数】
0.7