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1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 【 】
A.$x^2 + \frac{3}{x} -5=0$
B.$x^2 -2=(x+3)^2$
C.$x^2 -5=0$
D.$ax^2 +bx +c=0$
A.$x^2 + \frac{3}{x} -5=0$
B.$x^2 -2=(x+3)^2$
C.$x^2 -5=0$
D.$ax^2 +bx +c=0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时对照这4个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程中含有$\frac{3}{x}$项，属于分式，因此该方程是分式方程，不满足整式方程的要求，不是一元二次方程；
B选项：先将方程右侧展开化简，$(x+3)^2=x^2+6x+9$，代入原方程得：$x^2-2=x^2+6x+9$，移项合并同类项后可得$-6x-11=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
C选项：$x^2-5=0$是整式方程，仅含未知数$x$，未知数最高次数为2，且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义；
D选项：当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，因未明确$a≠0$，因此该方程不一定是一元二次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式方程的判定
3.方程的化简
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，易错点有三处：一是误将含分式的方程当成整式方程错选A；二是未对B选项先化简，仅看表面含$x^2$就误判为二次方程；三是忽略D选项中二次项系数$a$可能为0的隐含要求。掌握一元二次方程的定义要点就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时对照这4个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程中含有$\frac{3}{x}$项，属于分式，因此该方程是分式方程，不满足整式方程的要求，不是一元二次方程；
B选项：先将方程右侧展开化简，$(x+3)^2=x^2+6x+9$，代入原方程得：$x^2-2=x^2+6x+9$，移项合并同类项后可得$-6x-11=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
C选项：$x^2-5=0$是整式方程，仅含未知数$x$，未知数最高次数为2，且二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义；
D选项：当$a=0$时，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，因未明确$a≠0$，因此该方程不一定是一元二次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式方程的判定
3.方程的化简
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，易错点有三处：一是误将含分式的方程当成整式方程错选A；二是未对B选项先化简，仅看表面含$x^2$就误判为二次方程；三是忽略D选项中二次项系数$a$可能为0的隐含要求。掌握一元二次方程的定义要点就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2. 将一元二次方程$3x^2 -1=2x$化成一般形式后(二次项系数为正数),二次项系数和一次项系数分别是 【 】
A.3、-2
B.3、2
C.3、-1
D.3、1
A.3、-2
B.3、2
C.3、-1
D.3、1
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数。解题时先将给定方程通过移项变形为一般形式，注意移项要改变符号，本题原方程二次项系数已经为正数，无需调整符号，整理后直接对应提取二次项系数和一次项系数，匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。
对原方程$3x^2 -1=2x$移项，将右侧的$2x$移到左侧并变号，可得：
$3x^2 -2x -1=0$
由此可知二次项系数为3，一次项系数为-2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是移项时忽略符号变化，导致一次项系数判断错误，熟练掌握一元二次方程的基本定义和等式变形规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数。解题时先将给定方程通过移项变形为一般形式，注意移项要改变符号，本题原方程二次项系数已经为正数，无需调整符号，整理后直接对应提取二次项系数和一次项系数，匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。
对原方程$3x^2 -1=2x$移项，将右侧的$2x$移到左侧并变号，可得：
$3x^2 -2x -1=0$
由此可知二次项系数为3，一次项系数为-2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是移项时忽略符号变化，导致一次项系数判断错误，熟练掌握一元二次方程的基本定义和等式变形规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.（达州期末）下列叙述中，正确的是 【 】
A.形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程叫做一元二次方程
B.方程$5x^2 + 2x = 6$不含有常数项
C.$(3 - x)^2 = 0$是一元二次方程
D.一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项均不能为0
A.形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程叫做一元二次方程
B.方程$5x^2 + 2x = 6$不含有常数项
C.$(3 - x)^2 = 0$是一元二次方程
D.一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项均不能为0
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关概念，解题时需先明确一元二次方程的判定标准、一般形式及各项系数的要求，再逐一分析每个选项，排除不符合概念的选项即可得到正确答案。首先回忆核心判定规则：一元二次方程需满足3个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0；判断方程的项时需先将方程化为一般形式再分析。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：形如$ax^2+bx+c=0$的方程，只有当$a≠0$时才是一元二次方程，若$a=0$，方程变为一次方程，因此A错误；
B选项：将方程$5x^2+2x=6$化为一般形式为$5x^2+2x-6=0$，常数项为$-6$，含有常数项，因此B错误；
C选项：将$(3-x)^2=0$展开得$x^2-6x+9=0$，该方程是整式方程，只含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，二次项系数不为0，符合一元二次方程的定义，因此C正确；
D选项：一元二次方程中仅要求二次项系数不能为0，一次项系数、常数项均可以为0，例如$x^2=0$是合法的一元二次方程，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程的系数要求
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元二次方程相关概念的辨析能力，解题的关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意“二次项系数不为0”这个隐含前提，判断项和系数时要先把方程整理为一般形式再分析，避免误判。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的相关概念，解题时需先明确一元二次方程的判定标准、一般形式及各项系数的要求，再逐一分析每个选项，排除不符合概念的选项即可得到正确答案。首先回忆核心判定规则：一元二次方程需满足3个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0；判断方程的项时需先将方程化为一般形式再分析。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：形如$ax^2+bx+c=0$的方程，只有当$a≠0$时才是一元二次方程，若$a=0$，方程变为一次方程，因此A错误；
B选项：将方程$5x^2+2x=6$化为一般形式为$5x^2+2x-6=0$，常数项为$-6$，含有常数项，因此B错误；
C选项：将$(3-x)^2=0$展开得$x^2-6x+9=0$，该方程是整式方程，只含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，二次项系数不为0，符合一元二次方程的定义，因此C正确；
D选项：一元二次方程中仅要求二次项系数不能为0，一次项系数、常数项均可以为0，例如$x^2=0$是合法的一元二次方程，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程的系数要求
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元二次方程相关概念的辨析能力，解题的关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意“二次项系数不为0”这个隐含前提，判断项和系数时要先把方程整理为一般形式再分析，避免误判。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于$x$的方程$x^2 + 2x + a = 0$有一个根是$-3$，则$a$的值为 【 】
A.1
B.$-1$
C.3
D.$-3$
A.1
B.$-1$
C.3
D.$-3$
答案
D
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知方程的一个根是-3，解题时只需将x=-3代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 + 2x + a = 0$有一个根是$-3$
∴ 将$x=-3$代入原方程，等式成立，可得：
$(-3)^2 + 2×(-3) + a = 0$
计算得：$9 - 6 + a = 0$
化简得：$3 + a = 0$
解得：$a=-3$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的定义的应用，解题思路直接，计算量小，只要掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知方程的一个根是-3，解题时只需将x=-3代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 + 2x + a = 0$有一个根是$-3$
∴ 将$x=-3$代入原方程，等式成立，可得：
$(-3)^2 + 2×(-3) + a = 0$
计算得：$9 - 6 + a = 0$
化简得：$3 + a = 0$
解得：$a=-3$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的定义的应用，解题思路直接，计算量小，只要掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - 3x + 1 = 0$是一元二次方程，则$m$的值为________.
答案
5. -1
解析
【分析】
要确定m的值，需紧扣一元二次方程的定义，明确两个核心要求：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，二次项会消失，方程不再是二次方程）。本题先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - 3x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：$\left|m\right| + 1 = 2$
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$
解$\left|m\right| + 1 = 2$可得：$\left|m\right| = 1$，即$m = 1$或$m = -1$
解$m - 1 ≠ 0$可得：$m ≠ 1$
综上，m只能取$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值的运算
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用题，是常见的易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，出现误取m=1的错误，求解时要注意验证所有限制要求。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需紧扣一元二次方程的定义，明确两个核心要求：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，二次项会消失，方程不再是二次方程）。本题先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - 3x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：$\left|m\right| + 1 = 2$
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$
解$\left|m\right| + 1 = 2$可得：$\left|m\right| = 1$，即$m = 1$或$m = -1$
解$m - 1 ≠ 0$可得：$m ≠ 1$
综上，m只能取$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值的运算
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用题，是常见的易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，出现误取m=1的错误，求解时要注意验证所有限制要求。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$的一个根是0，则$a=$
2
.答案
6. 2
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，先得到a的取值限制；第二步，根据方程根的定义，将x=0代入原方程，得到关于a的方程，求解后结合前面的取值限制排除不符合的解，即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 方程$(a + 2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ -2$
∵ $x=0$是方程的一个根，将$x=0$代入原方程，得：
$a^2 - 4 = 0$
解得$a = 2$或$a = -2$
结合$a ≠ -2$的限制，舍去$a = -2$
∴ $a = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题，解题时需注意一元二次方程的二次项系数不为0这个隐含条件，避免未排除增根导致错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，先得到a的取值限制；第二步，根据方程根的定义，将x=0代入原方程，得到关于a的方程，求解后结合前面的取值限制排除不符合的解，即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 方程$(a + 2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ -2$
∵ $x=0$是方程的一个根，将$x=0$代入原方程，得：
$a^2 - 4 = 0$
解得$a = 2$或$a = -2$
结合$a ≠ -2$的限制，舍去$a = -2$
∴ $a = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题，解题时需注意一元二次方程的二次项系数不为0这个隐含条件，避免未排除增根导致错误。
【难度系数】
0.7
7. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式$(a＞0)$，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(x + 4)(x - 3) = 12$；
(2) $(x + 2)^2 - 2x(x - 2) = 4x + 4$.
(1) $(x + 4)(x - 3) = 12$；
(2) $(x + 2)^2 - 2x(x - 2) = 4x + 4$.
答案
7. (1) $x^2 + x - 24=0$. 它的二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-24 (2) $x^2 - 4x=0$. 它的二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为0
解析
【分析】
要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，解题思路分三步：第一步，利用整式乘法法则（多项式乘多项式、完全平方公式、单项式乘多项式）去掉方程中的括号；第二步，通过移项把所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；第三步，合并同类项，若二次项系数为负，给方程两边同时乘-1保证$a＞0$，最后根据化简后的一般形式对应写出二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
(1) 先展开方程左边的括号：
$(x+4)(x-3)=x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$
原方程转化为：$x^2 + x - 12 = 12$
移项，将右侧常数项移到左侧：$x^2 + x - 12 - 12 = 0$
合并同类项得：$x^2 + x - 24 = 0$，满足二次项系数$1＞0$的要求，因此二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-24。
(2) 分别展开方程左侧的两项：
根据完全平方公式得$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，根据单项式乘多项式法则得$-2x(x-2) = -2x^2 + 4x$
左侧合并得：$x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 8x + 4$
原方程转化为：$-x^2 + 8x + 4 = 4x + 4$
移项，将右侧所有项移到左侧：$-x^2 + 8x + 4 - 4x - 4 = 0$
合并同类项得：$-x^2 + 4x = 0$
给方程两边同时乘$-1$，使二次项系数为正：$x^2 - 4x = 0$，因此二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为0。
【答案】
(1) $x^2 + x - 24=0$. 它的二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-24
(2) $x^2 - 4x=0$. 它的二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为0
【知识点】
一元二次方程的一般形式，整式的乘法运算，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础化简题，核心是掌握一元二次方程一般形式的要求，化简时注意去括号、移项的符号问题，不要漏写为0的常数项。
【难度系数】
0.8
要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，解题思路分三步：第一步，利用整式乘法法则（多项式乘多项式、完全平方公式、单项式乘多项式）去掉方程中的括号；第二步，通过移项把所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；第三步，合并同类项，若二次项系数为负，给方程两边同时乘-1保证$a＞0$，最后根据化简后的一般形式对应写出二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
(1) 先展开方程左边的括号：
$(x+4)(x-3)=x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$
原方程转化为：$x^2 + x - 12 = 12$
移项，将右侧常数项移到左侧：$x^2 + x - 12 - 12 = 0$
合并同类项得：$x^2 + x - 24 = 0$，满足二次项系数$1＞0$的要求，因此二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-24。
(2) 分别展开方程左侧的两项：
根据完全平方公式得$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$，根据单项式乘多项式法则得$-2x(x-2) = -2x^2 + 4x$
左侧合并得：$x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 8x + 4$
原方程转化为：$-x^2 + 8x + 4 = 4x + 4$
移项，将右侧所有项移到左侧：$-x^2 + 8x + 4 - 4x - 4 = 0$
合并同类项得：$-x^2 + 4x = 0$
给方程两边同时乘$-1$，使二次项系数为正：$x^2 - 4x = 0$，因此二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为0。
【答案】
(1) $x^2 + x - 24=0$. 它的二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-24
(2) $x^2 - 4x=0$. 它的二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为0
【知识点】
一元二次方程的一般形式，整式的乘法运算，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础化简题，核心是掌握一元二次方程一般形式的要求，化简时注意去括号、移项的符号问题，不要漏写为0的常数项。
【难度系数】
0.8
