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8. 已知关于 $ x $ 的方程 $(m^2 - 1)x^2 - (m + 1)x + m = 0$。
（1）当 $ m $ 为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当 $ m $ 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数和常数项。
（1）当 $ m $ 为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当 $ m $ 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数和常数项。
答案
(1) 由题意，得$m^2 - 1=0$且$m + 1 ≠ 0$. 解得$m = 1$. $\therefore$ 当$m = 1$时，此方程是一元一次方程 (2) 由题意，得$m^2 - 1 ≠ 0$. 解得$m ≠ \pm 1$. $\therefore$ 当$m ≠ \pm 1$时，此方程是一元二次方程. 此一元二次方程的二次项系数为$m^2 - 1$，常数项为$m$
解析
【分析】
解题时需结合一元一次方程、一元二次方程的定义推导限制条件：
（1）一元一次方程要求未知数最高次数为1，且一次项系数不为0，因此本题需让二次项系数为0，同时保证一次项系数不等于0，据此列条件求解m的值即可；
（2）一元二次方程要求未知数最高次数为2，因此本题只需让二次项系数不为0，即可求出m的取值范围，再根据一元二次方程项的对应定义，写出二次项系数和常数项即可。
【解析】
（1）根据一元一次方程的定义，列条件：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 0 \\ m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 1 = 0$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，解得$m=1$。
$\therefore$ 当$m = 1$时，此方程是一元一次方程。
（2）根据一元二次方程的定义，列条件：
$m^2 - 1 ≠ 0$
解得$m≠\pm1$。
此时一元二次方程的二次项系数为$x^2$项的系数$m^2 - 1$，常数项为不含未知数的项$m$。
$\therefore$ 当$m ≠ \pm1$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为$m^2 - 1$，常数项为$m$。
【答案】
(1) 当$m = 1$时，此方程是一元一次方程；(2) 当$m ≠ \pm1$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为$m^2 - 1$，常数项为$m$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 一元二次方程的定义
3. 一元二次方程的相关概念
【点评】
本题为基础概念类题型，核心考查两类整式方程的判定标准，解题时需注意不要遗漏一元一次方程中一次项系数不为0的限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
解题时需结合一元一次方程、一元二次方程的定义推导限制条件：
（1）一元一次方程要求未知数最高次数为1，且一次项系数不为0，因此本题需让二次项系数为0，同时保证一次项系数不等于0，据此列条件求解m的值即可；
（2）一元二次方程要求未知数最高次数为2，因此本题只需让二次项系数不为0，即可求出m的取值范围，再根据一元二次方程项的对应定义，写出二次项系数和常数项即可。
【解析】
（1）根据一元一次方程的定义，列条件：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 0 \\ m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 1 = 0$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，解得$m=1$。
$\therefore$ 当$m = 1$时，此方程是一元一次方程。
（2）根据一元二次方程的定义，列条件：
$m^2 - 1 ≠ 0$
解得$m≠\pm1$。
此时一元二次方程的二次项系数为$x^2$项的系数$m^2 - 1$，常数项为不含未知数的项$m$。
$\therefore$ 当$m ≠ \pm1$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为$m^2 - 1$，常数项为$m$。
【答案】
(1) 当$m = 1$时，此方程是一元一次方程；(2) 当$m ≠ \pm1$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为$m^2 - 1$，常数项为$m$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 一元二次方程的定义
3. 一元二次方程的相关概念
【点评】
本题为基础概念类题型，核心考查两类整式方程的判定标准，解题时需注意不要遗漏一元一次方程中一次项系数不为0的限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
9. 关于$x$的一元二次方程$(4 - a)x^2 + a^2x = 16x + 1$化为一般形式后不含一次项，则$a$的值为 【 】
A.0
B.$\pm 4$
C.4
D.$-4$
A.0
B.$\pm 4$
C.4
D.$-4$
答案
D
解析
【分析】
解题需按以下思路展开：第一步，先将原方程移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式（等号右侧为0，左侧按x的降幂排列）；第二步，明确两个核心条件：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会退化为一次方程，不符合题意；② 不含一次项意味着一次项的系数为0。结合这两个条件即可求出符合要求的a的值，注意排除不符合二次项系数要求的取值。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$(4 - a)x^2 + a^2x - 16x - 1 = 0$
合并同类项得：
$(4 - a)x^2 + (a^2 - 16)x - 1 = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$4 - a ≠ 0 \implies a ≠ 4$
2. 由方程不含一次项可知，一次项系数为0：
$a^2 - 16 = 0 \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4$
结合$a ≠ 4$的限制条件，可得$a = -4$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项。解题时要先根据一元二次方程的定义确定二次项系数的取值范围，再结合“不含某一项即该项的系数为0”的规则列等式求解即可。
【难度系数】
0.6
解题需按以下思路展开：第一步，先将原方程移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式（等号右侧为0，左侧按x的降幂排列）；第二步，明确两个核心条件：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会退化为一次方程，不符合题意；② 不含一次项意味着一次项的系数为0。结合这两个条件即可求出符合要求的a的值，注意排除不符合二次项系数要求的取值。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$(4 - a)x^2 + a^2x - 16x - 1 = 0$
合并同类项得：
$(4 - a)x^2 + (a^2 - 16)x - 1 = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$4 - a ≠ 0 \implies a ≠ 4$
2. 由方程不含一次项可知，一次项系数为0：
$a^2 - 16 = 0 \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4$
结合$a ≠ 4$的限制条件，可得$a = -4$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项。解题时要先根据一元二次方程的定义确定二次项系数的取值范围，再结合“不含某一项即该项的系数为0”的规则列等式求解即可。
【难度系数】
0.6
10. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件.设该快递店揽件日平均增长率为$x$，则根据题意，下面所列方程正确的是 【 】
A.$200(1+x)^2=662$
B.$200(1+2x)^2=662$
C.$200(1-x)^2=662$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=662$
A.$200(1+x)^2=662$
B.$200(1+2x)^2=662$
C.$200(1-x)^2=662$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=662$
答案
D
解析
【分析】
本题属于增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的计算公式：后一期的数量=前一期的数量×(1+增长率)；其次审题抓住核心条件“三天共揽件662件”，明确需要计算三天揽件量的总和，而非仅第三天的揽件量；最后依次表示出三天的揽件量，相加等于总揽件量即可列出方程。
【解析】
已知第一天揽件200件，揽件日平均增长率为$x$：
1. 第二天的揽件量为第一天的量乘以$(1+x)$，即$200(1+x)$件；
2. 第三天的揽件量为第二天的量乘以$(1+x)$，即$200(1+x) · (1+x) = 200(1+x)^2$件；
3. 题目给出三天总揽件量为662件，因此三天揽件量相加等于总揽件量，列方程得：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 662$
因此选项D正确。
补充说明易错选项：A选项仅表示第三天的揽件量，不符合“三天共揽件”的条件；B选项增长率计算错误，平均增长率为复利增长，不存在$1+2x$的形式；C选项为降低率公式，与题目“增长”的条件不符，因此均错误。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率应用的基础题型，易错点是忽略“共”“累计”等关键词，误将总数量等同于第n期的数量，解题时只要仔细审题，熟练掌握增长率的计算逻辑，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
本题属于增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的计算公式：后一期的数量=前一期的数量×(1+增长率)；其次审题抓住核心条件“三天共揽件662件”，明确需要计算三天揽件量的总和，而非仅第三天的揽件量；最后依次表示出三天的揽件量，相加等于总揽件量即可列出方程。
【解析】
已知第一天揽件200件，揽件日平均增长率为$x$：
1. 第二天的揽件量为第一天的量乘以$(1+x)$，即$200(1+x)$件；
2. 第三天的揽件量为第二天的量乘以$(1+x)$，即$200(1+x) · (1+x) = 200(1+x)^2$件；
3. 题目给出三天总揽件量为662件，因此三天揽件量相加等于总揽件量，列方程得：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 662$
因此选项D正确。
补充说明易错选项：A选项仅表示第三天的揽件量，不符合“三天共揽件”的条件；B选项增长率计算错误，平均增长率为复利增长，不存在$1+2x$的形式；C选项为降低率公式，与题目“增长”的条件不符，因此均错误。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率应用的基础题型，易错点是忽略“共”“累计”等关键词，误将总数量等同于第n期的数量，解题时只要仔细审题，熟练掌握增长率的计算逻辑，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
11. 如图，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480 cm³。设矩形的宽为x cm，则可列方程：
4(2x-8)(x-8)=480
。答案
11. 4(2x-8)(x-8)=480
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：题目已设矩形宽为x cm，根据长是宽的2倍可先得到原矩形的长为2x cm；接下来分析剪去小正方形后无盖盒子的长宽高：四角剪去的小正方形边长就是盒子的高，即4cm，原矩形的长和宽都会因为左右、上下各剪去一个4cm，分别减少8cm，由此得到盒子底面的长和宽；最后结合长方体容积=长×宽×高的公式，代入已知容积480cm³即可列出方程。
【解析】
解：已知矩形铁皮的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则矩形的长为$2x\ \mathrm{cm}$。
四角各剪去边长为4cm的小正方形后，无盖盒子的参数如下：
高为$4\ \mathrm{cm}$，
底面的长为$2x - 4×2=2x-8\ \mathrm{cm}$，
底面的宽为$x - 4×2=x-8\ \mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式$V=长×宽×高$，结合盒子容积为$480\ \mathrm{cm}^3$，可列方程：
$4(2x-8)(x-8)=480$
【答案】
$4(2x-8)(x-8)=480$
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体容积计算，列代数式
【点评】
本题是基础的方程几何应用题，解题关键是准确判断图形剪拼后无盖盒子的长、宽、高，再代入对应公式列方程即可，注意不要出现仅减去单侧小正方形边长的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：题目已设矩形宽为x cm，根据长是宽的2倍可先得到原矩形的长为2x cm；接下来分析剪去小正方形后无盖盒子的长宽高：四角剪去的小正方形边长就是盒子的高，即4cm，原矩形的长和宽都会因为左右、上下各剪去一个4cm，分别减少8cm，由此得到盒子底面的长和宽；最后结合长方体容积=长×宽×高的公式，代入已知容积480cm³即可列出方程。
【解析】
解：已知矩形铁皮的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则矩形的长为$2x\ \mathrm{cm}$。
四角各剪去边长为4cm的小正方形后，无盖盒子的参数如下：
高为$4\ \mathrm{cm}$，
底面的长为$2x - 4×2=2x-8\ \mathrm{cm}$，
底面的宽为$x - 4×2=x-8\ \mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式$V=长×宽×高$，结合盒子容积为$480\ \mathrm{cm}^3$，可列方程：
$4(2x-8)(x-8)=480$
【答案】
$4(2x-8)(x-8)=480$
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体容积计算，列代数式
【点评】
本题是基础的方程几何应用题，解题关键是准确判断图形剪拼后无盖盒子的长、宽、高，再代入对应公式列方程即可，注意不要出现仅减去单侧小正方形边长的错误。
【难度系数】
0.8
12. (凉州区期末)已知$m$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根.
(1) $-2m^2 + 4m + 1$的值为
(2) 求$m - \frac{1}{m}$的值.
(1) $-2m^2 + 4m + 1$的值为
-1
.(2) 求$m - \frac{1}{m}$的值.
答案
12. (1) -1 (2) 由条件可知，$m^2 - 2m - 1=0$，且$m ≠ 0$. 将等式两边都除以$m$，得$m - 2 - \frac{1}{m}=0$. $\therefore m - \frac{1}{m}=2$
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根代入方程可使等式成立。
(1) 先将m代入原方程得到$m^2-2m=1$，观察所求代数式$-2m^2+4m+1$，可变形为含$m^2-2m$的形式，整体代入即可计算结果；
(2) 首先判断$m≠0$（若$m=0$代入原方程不成立），再将$m^2-2m-1=0$两边同时除以$m$，整理即可得到$m-\frac{1}{m}$的值。
【解析】
∵$m$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m - 1 = 0$，即$m^2 - 2m = 1$
(1) 对$-2m^2 + 4m + 1$变形可得：
$-2m^2 + 4m + 1 = -2(m^2 - 2m) + 1$
将$m^2 - 2m = 1$代入得：
原式$= -2×1 + 1 = -1$
(2) 当$m=0$时，代入原方程左边$=0 - 0 -1 = -1≠0$，故$m≠0$
将$m^2 - 2m -1 = 0$两边同时除以$m$，得：
$m - 2 - \frac{1}{m} = 0$
移项得：$m - \frac{1}{m} = 2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值，等式的性质
【点评】
本题解题的核心是灵活运用一元二次方程根的定义得到关于$m$的等式，再结合所求代数式的特征合理变形，整体代入可大幅简化计算，第二问要注意先确认分母不为0再做除法变形，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根代入方程可使等式成立。
(1) 先将m代入原方程得到$m^2-2m=1$，观察所求代数式$-2m^2+4m+1$，可变形为含$m^2-2m$的形式，整体代入即可计算结果；
(2) 首先判断$m≠0$（若$m=0$代入原方程不成立），再将$m^2-2m-1=0$两边同时除以$m$，整理即可得到$m-\frac{1}{m}$的值。
【解析】
∵$m$是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m - 1 = 0$，即$m^2 - 2m = 1$
(1) 对$-2m^2 + 4m + 1$变形可得：
$-2m^2 + 4m + 1 = -2(m^2 - 2m) + 1$
将$m^2 - 2m = 1$代入得：
原式$= -2×1 + 1 = -1$
(2) 当$m=0$时，代入原方程左边$=0 - 0 -1 = -1≠0$，故$m≠0$
将$m^2 - 2m -1 = 0$两边同时除以$m$，得：
$m - 2 - \frac{1}{m} = 0$
移项得：$m - \frac{1}{m} = 2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值，等式的性质
【点评】
本题解题的核心是灵活运用一元二次方程根的定义得到关于$m$的等式，再结合所求代数式的特征合理变形，整体代入可大幅简化计算，第二问要注意先确认分母不为0再做除法变形，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
