13. 已知实数a是一元二次方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，求代数式$a^2 - 2026a - \frac{a^2 + 1}{2027}$的值。

由题意，得$a^2 - 2027a + 1 = 0$. $\therefore a^2 + 1 = 2027a$. $\therefore a^2 - 2026a = a - 1$. $\therefore a^2 - 2026a - \frac{a^2 + 1}{2027}=a - 1 - \frac{2027a}{2027}=a - 1 - a = -1$

【分析】
已知a是给定一元二次方程的根，首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到关于a的等式。观察所求代数式含有a²的高次项，若直接求解a的具体值计算量极大，因此考虑对得到的等式做适当变形，用a的一次式分别表示a²和a²+1，再整体代入所求代数式，消去二次项后化简即可得到结果，无需计算a的具体值，大幅简化计算过程。
【解析】
∵ 实数a是一元二次方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2027a + 1 = 0$，
∴ 变形可得：$a^2 + 1 = 2027a$，$a^2 = 2027a - 1$，
∴ $a^2 - 2026a = 2027a - 1 - 2026a = a - 1$，
将$a^2 - 2026a = a - 1$、$a^2 + 1 = 2027a$代入所求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a - \frac{a^2 + 1}{2027} &= a - 1 - \frac{2027a}{2027} \\&= a - 1 - a \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式化简求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值类的常考题型，解题关键是利用方程根的性质得到等量关系，通过整体代换的思路消去高次项，避免了求解无理根的复杂运算，考察了学生的代数式变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.6

14. 如果一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 满足 $ a - b + c = 0 $，那么我们称这个方程为“凤凰方程”。
（1）判断一元二次方程 $ 3x^2 + 4x + 1 = 0 $ 是否为“凤凰方程”，并说明理由；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + mx - 5 = 0 $ 是“凤凰方程”，求 $ m $ 的值。

(1) 是“凤凰方程”. 理由如下：$\because$ 一元二次方程$3x^2 + 4x + 1=0$满足$3 - 4 + 1=0$，符合“凤凰方程”的定义，$\therefore$ 一元二次方程$3x^2 + 4x + 1=0$是“凤凰方程” (2) 若关于$x$的方程$x^2 + mx - 5=0$是“凤凰方程”，则$1 - m - 5=0$，解得$m = -4$

【分析】
解决本题的核心是准确理解“凤凰方程”的定义：即一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$。（1）问解题思路：先确定给定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$a-b+c$计算，判断结果是否为0即可验证是否为凤凰方程；（2）问解题思路：先确定给定方程对应的$a、b、c$的值，根据凤凰方程的定义列关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）对于一元二次方程$3x^2 + 4x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=4$，常数项$c=1$，
代入$a-b+c$计算得：$3-4+1=0$，符合“凤凰方程”的定义，因此该方程是“凤凰方程”。
（2）已知方程$x^2 + mx - 5 = 0$是“凤凰方程”，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-5$，
根据“凤凰方程”的定义$a-b+c=0$，代入系数得：
$1 - m + (-5) = 0$，
整理得：$1 - m - 5 = 0$，
移项解得：$m=-4$。
【答案】
(1) 是“凤凰方程”，理由：一元二次方程$3x^2 + 4x + 1=0$满足$3 - 4 + 1=0$，符合“凤凰方程”的定义；(2) $m = -4$
【知识点】
新定义理解，一元二次方程系数，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新定义的提取和应用能力，解题关键是准确对应方程各项系数，代入定义给出的等量关系计算或列方程求解，题型比较典型，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.8