14. 计算：(1) $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 2 =$ ；(2) $\frac{1}{1 - \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} =$ 。

14. (1) 1 (2) -1

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 第一个式子可先化简分子中的二次根式，合并分子的同类二次根式后除以分母，再计算减法；也可拆分分式，分别利用二次根式除法法则计算后合并，最后减2得到结果。
(2) 第二个式子先对第一个分式做分母有理化消除分母的根号，再将第二个分式化简为最简二次根式，最后合并同类项即可，注意分母有理化时的符号变化。
【解析】
(1) 先化简分子：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
则分子和为$\sqrt{20}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$，
分式部分计算得$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$，
代入原式得：$3-2=1$。
(2) 第一步：对$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$1+\sqrt{2}$：
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1×(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{1+\sqrt{2}}{-1}=-1-\sqrt{2}$；
第二步：化简$\frac{2}{\sqrt{2}}$：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；
第三步：合并结果：
原式$=-1-\sqrt{2}+\sqrt{2}=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
二次根式化简；分母有理化；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的化简规则和分母有理化的方法，计算时注意分母有理化后的符号变化，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

15. 若$ n $为正整数，且满足估算$ n ＜ \sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) ＜ n+1 $，则$ n $的值为。

15. 20

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用二次根式的乘法分配律化简$\sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6})$，得到含无理数的最简表达式；第二步，估算化简后表达式中无理数的取值范围，进而得到整个式子的取值范围；第三步，结合题目给出的$n ＜ 式子 ＜ n+1$的关系，确定正整数$n$的值。
【解析】
首先利用乘法分配律展开计算：
$\sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) = \sqrt{5}×3\sqrt{5} + \sqrt{5}×\sqrt{6}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算：
$\sqrt{5}×3\sqrt{5}=3×(\sqrt{5})^2=3×5=15$，$\sqrt{5}×\sqrt{6}=\sqrt{30}$
因此原式化简为：$15+\sqrt{30}$
接下来估算$\sqrt{30}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$
不等式三边同时加15得：
$15+5 ＜ 15+\sqrt{30} ＜ 15+6$，即$20 ＜ 15+\sqrt{30} ＜ 21$
结合题意$n ＜ \sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) ＜ n+1$，且$n$为正整数，可得$n=20$
【答案】
20
【知识点】
二次根式的运算；无理数的估算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是先通过二次根式运算化简待求式，再根据平方数估算无理数的取值范围，即可确定对应的整数$n$，解题时注意二次根式乘法运算的准确性。
【难度系数】
0.8

16. 已知 $ y - 2 = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1} $，则 $ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} - 2 $ 的值为 ______。

$\frac{9\sqrt{2}}{4}-2$

【分析】
要计算所求代数式的值，首先需要确定x和y的取值。观察已知等式右边是两个二次根式的和，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可列出关于x的不等式组，求解得到x的值，再代入已知等式求出y的值，最后将x、y代入所求代数式，化简计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件列不等式组
要使$\sqrt{1-4x}$和$\sqrt{4x-1}$同时有意义，则：
$\begin{cases}1-4x≥0 \\4x-1≥0\end{cases}$
解不等式$1-4x≥0$得：$x≤\frac{1}{4}$
解不等式$4x-1≥0$得：$x≥\frac{1}{4}$
所以$x=\frac{1}{4}$
第二步：求y的值
将$x=\frac{1}{4}$代入$y - 2 = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1}$得：
$y-2=\sqrt{1-4×\frac{1}{4}}+\sqrt{4×\frac{1}{4}-1}=0+0=0$
解得$y=2$
第三步：代入所求代数式化简计算
将$x=\frac{1}{4},y=2$代入$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} - 2$：
$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}}+\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{4}}}-2=\sqrt{\frac{1}{8}}+\sqrt{8}-2$
化简二次根式：$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
所以原式$=\frac{\sqrt{2}}{4}+2\sqrt{2}-2=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{8\sqrt{2}}{4}-2=\frac{9\sqrt{2}}{4}-2$
【答案】
$\frac{9\sqrt{2}}{4}-2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【点评】
本题核心是利用二次根式的非负性确定未知数的值，是二次根式性质的常见应用题型，解题的关键是正确列出不等式组求出x的取值，后续计算要注意二次根式化简的规范性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

17. 设实数$\sqrt{7}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$\sqrt{7}(a^2 + ab) =$。

17. 14

【分析】
解题思路分为三步：第一步先估算无理数$\sqrt{7}$的取值范围，确定它的整数部分$a$；第二步用$\sqrt{7}$减去整数部分得到小数部分$b$；第三步先对所求代数式因式分解化简，再代入$a$、$b$的值计算即可，先化简再代入能大幅降低计算量。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{7}-2$
对所求代数式因式分解可得：
$\sqrt{7}(a^2+ab)=\sqrt{7}· a(a+b)$
又$\because a+b=2+(\sqrt{7}-2)=\sqrt{7}$，代入上式得：
原式$=\sqrt{7}× 2× \sqrt{7}=2× (\sqrt{7}× \sqrt{7})=2×7=14$
【答案】
14
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式化简求值 3. 因式分解的应用
【点评】
本题核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题时优先对代数式化简再代入数值，可避免直接代入小数部分产生的复杂运算，提高正确率。
【难度系数】
0.7

18. 计算：
(1) $\frac{1}{6}\sqrt{1\frac{3}{5}} × (-5\sqrt{3\frac{3}{5}}) ÷ (-2\sqrt{\frac{1}{2}})$；
(2) $\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{18} + \sqrt{24} - |3 - \sqrt{6}|$；
(3) $(\sqrt{6} × \sqrt{3} - 4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{8}) ÷ 2\sqrt{2}$；
(4) $\frac{2}{\sqrt{3} - 2} - (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$。

(1) $\sqrt{2}$ (2) $2\sqrt{6}$ (3) $\frac{7}{2}$ (4) $-2\sqrt{3}-5$

【分析】
这组题目是二次根式的混合运算，解题时遵循以下思路：①先确定运算顺序：有括号先算括号内，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右进行；②乘除运算中，可先将系数、被开方数分别运算，再合并化简；③涉及分母有理化、平方差公式、绝对值化简时，先按对应规则转化，再合并同类二次根式即可。
(1)题是乘除同级运算，先判断符号（负负得正），再将系数和二次根式分别运算化简；
(2)题先分别计算二次根式乘除、化简绝对值，再合并同类二次根式；
(3)题先化简括号内的每一项二次根式，合并后再除以除数；
(4)题先对第一项分母有理化，第二项用平方差公式计算，最后合并结果。
【解析】
(1) 先确定符号为正，将带分数化为假分数：
原式$=\frac{1}{6}×5÷2 × \sqrt{\frac{8}{5}×\frac{18}{5}×2}$
$=\frac{5}{12} × \sqrt{\frac{288}{25}}$
$=\frac{5}{12} × \frac{12\sqrt{2}}{5}$
$=\sqrt{2}$
(2) 分别计算各部分：
$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=\sqrt{9}=3$，
$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{18}=\sqrt{6}$，
$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
$|3-\sqrt{6}|=3-\sqrt{6}$（因为$3=\sqrt{9}＞\sqrt{6}$），
代入原式：
原式$=3 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - (3 - \sqrt{6})$
$=3 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} -3 + \sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}$
(3) 先化简括号内各项：
$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$4\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，
$3\sqrt{8}=6\sqrt{2}$，
括号内合并得：$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=7\sqrt{2}$，
原式$=7\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=\frac{7}{2}$
(4) 第一项分母有理化，第二项用平方差公式：
$\frac{2}{\sqrt{3}-2}=\frac{2(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=-2\sqrt{3}-4$，
$(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$，
原式$=(-2\sqrt{3}-4)-1=-2\sqrt{3}-5$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $2\sqrt{6}$；(3) $\frac{7}{2}$；(4) $-2\sqrt{3}-5$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，绝对值化简
【点评】
本题重点考查二次根式的运算能力，解题时需注意运算顺序、符号处理，熟练掌握二次根式化简规则，灵活运用乘法公式可有效简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.7

19. 先化简,再求值:$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})+a(4-a)$,其中,$a=\sqrt{2}+1$.

原式$= a^2 -3 +4a -a^2 = 4a -3$. 当$a=\sqrt{2}+1$时,原式$= 4×(\sqrt{2}+1)-3= 4\sqrt{2}+1$

【分析】
这道题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，观察原式第一项$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构，可直接用公式展开；第二项$a(4-a)$属于单项式乘多项式，按照单项式乘多项式法则展开即可，之后合并同类项得到最简整式；第二步将$a=\sqrt{2}+1$代入最简整式计算结果，先化简再代值能减少计算量，提高准确率。
【解析】
解：利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开并化简：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - (\sqrt{3})^2 + a×4 - a× a \\&=a^2 - 3 + 4a - a^2 \\&=4a - 3\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}+1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=4×(\sqrt{2}+1)-3 \\&=4\sqrt{2}+4-3 \\&=4\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}+1$
【知识点】
1.平方差公式
2.整式混合运算
3.二次根式求值
【点评】
本题是整式运算与二次根式求值的结合题型，核心考查乘法公式的应用和整式运算的熟练度，采用先化简后代入的解题思路，可有效降低计算复杂度，是代数式求值类题目的基础考法。
【难度系数】
0.8