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21. (10分)已知$4a+1$的平方根是$\pm3$，$b-1$的算术平方根是2.
(1)求$a$与$b$的值；
(2)求$2a+b-1$的立方根.
(1)求$a$与$b$的值；
(2)求$2a+b-1$的立方根.
答案
解：
(1) ∵ 4a+1的平方根是±3，
∴ 4a+1 = (±3)² = 9，
解得a=2。
∵ b-1的算术平方根是2，
∴ b-1 = 2² = 4，
解得b=5。
(2) 将a=2，b=5代入2a+b-1，得
2a+b-1 = 2×2 + 5 - 1 = 8，
∵ 8的立方根是2，
∴ 2a+b-1的立方根是2。
(1) ∵ 4a+1的平方根是±3，
∴ 4a+1 = (±3)² = 9，
解得a=2。
∵ b-1的算术平方根是2，
∴ b-1 = 2² = 4，
解得b=5。
(2) 将a=2，b=5代入2a+b-1，得
2a+b-1 = 2×2 + 5 - 1 = 8，
∵ 8的立方根是2，
∴ 2a+b-1的立方根是2。
解析
【分析】
解题思路可分为两步：
1. 求a、b的值：根据平方根的定义，若一个数的平方根是±3，则这个数等于3的平方，据此列关于a的方程即可求出a；再根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是2，则这个数等于2的平方，据此列关于b的方程即可求出b。
2. 求代数式的立方根：把求出的a、b代入2a+b-1算出结果，再根据立方根的定义找到立方等于该结果的数，就是所求的立方根。
【解析】
(1)
∵ 4a+1的平方根是±3，
∴ 4a+1 = (±3)² = 9，
解得a=2。
∵ b-1的算术平方根是2，
∴ b-1 = 2² = 4，
解得b=5。
(2) 将a=2，b=5代入2a+b-1，得
2a+b-1 = 2×2 + 5 - 1 = 8，
∵ 8的立方根是2，
∴ 2a+b-1的立方根是2。
【答案】
(1) a=2，b=5；
(2) 2
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义运用，只要牢记相关概念，准确根据定义列等式计算即可得分，整体解题难度低。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：
1. 求a、b的值：根据平方根的定义，若一个数的平方根是±3，则这个数等于3的平方，据此列关于a的方程即可求出a；再根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是2，则这个数等于2的平方，据此列关于b的方程即可求出b。
2. 求代数式的立方根：把求出的a、b代入2a+b-1算出结果，再根据立方根的定义找到立方等于该结果的数，就是所求的立方根。
【解析】
(1)
∵ 4a+1的平方根是±3，
∴ 4a+1 = (±3)² = 9，
解得a=2。
∵ b-1的算术平方根是2，
∴ b-1 = 2² = 4，
解得b=5。
(2) 将a=2，b=5代入2a+b-1，得
2a+b-1 = 2×2 + 5 - 1 = 8，
∵ 8的立方根是2，
∴ 2a+b-1的立方根是2。
【答案】
(1) a=2，b=5；
(2) 2
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义运用，只要牢记相关概念，准确根据定义列等式计算即可得分，整体解题难度低。
【难度系数】
0.8
22. (10分)阅读下面材料,完成相应的任务.
图6中是小云同学的作业.
老师看了后,找来小云,问道:“小云同学,你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数,是吗?”
小云点点头.
老师又说:“你这两个无理数对应的点找得非常准确,遗憾的是没有完成全部解答.”
任务:请你帮小云同学将上面的作业在图7中做完.
图6中是小云同学的作业.
老师看了后,找来小云,问道:“小云同学,你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数,是吗?”
小云点点头.
老师又说:“你这两个无理数对应的点找得非常准确,遗憾的是没有完成全部解答.”
任务:请你帮小云同学将上面的作业在图7中做完.
答案
解：
在数轴的对应整数刻度位置分别标注出有理数$-3$、$0$、$2$，将所有5个实数全部在数轴上标注完毕。
根据数轴上的点表示的数，右边的数总大于左边的数，可得大小关系：
$-π ＜ -3 ＜ 0 ＜ 2 ＜ \sqrt{8}$
在数轴的对应整数刻度位置分别标注出有理数$-3$、$0$、$2$，将所有5个实数全部在数轴上标注完毕。
根据数轴上的点表示的数，右边的数总大于左边的数，可得大小关系：
$-π ＜ -3 ＜ 0 ＜ 2 ＜ \sqrt{8}$
解析
【分析】
解题时首先明确题意：小云已经准确标注了两个无理数（分别为-π和√8），我们需要完成两项任务：一是将剩余的3个有理数-3、0、2标注到数轴上，二是对所有5个实数排序。思考步骤如下：1. 先回忆数轴的基本特征：原点对应0，负半轴向左整数依次减小，正半轴向右整数依次增大，-3、0、2都是整数，可直接对应数轴上的整数刻度标注；2. 回忆实数大小比较的规则：数轴上右边的数始终大于左边的数，只需按点的位置从左到右排列即可得到大小关系，另外可先估算无理数范围验证位置：-π≈-3.14在-3左侧，√8≈2.83在2右侧，符合标注正确的条件，无需调整位置。
【解析】
第一步：标注剩余有理数：根据数轴刻度，在原点位置标注有理数0，原点左侧第3个整数刻度处标注有理数-3，原点右侧第2个整数刻度处标注有理数2，至此5个实数全部在数轴上标注完毕。
第二步：比较大小：根据数轴的性质：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，观察数轴上各点从左到右的顺序，依次写出各数并用小于号连接。
【答案】
在数轴的对应整数刻度位置分别标注出有理数$-3$、$0$、$2$，将所有5个实数全部在数轴上标注完毕。
根据数轴上的点表示的数，右边的数总大于左边的数，可得大小关系：
$-π ＜ -3 ＜ 0 ＜ 2 ＜ \sqrt{8}$
【知识点】
实数与数轴的对应；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，考查数轴的基本应用和实数的大小比较规则，解题的关键是掌握数轴上数的大小规律，具备基础的无理数估算能力，细心作答即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题意：小云已经准确标注了两个无理数（分别为-π和√8），我们需要完成两项任务：一是将剩余的3个有理数-3、0、2标注到数轴上，二是对所有5个实数排序。思考步骤如下：1. 先回忆数轴的基本特征：原点对应0，负半轴向左整数依次减小，正半轴向右整数依次增大，-3、0、2都是整数，可直接对应数轴上的整数刻度标注；2. 回忆实数大小比较的规则：数轴上右边的数始终大于左边的数，只需按点的位置从左到右排列即可得到大小关系，另外可先估算无理数范围验证位置：-π≈-3.14在-3左侧，√8≈2.83在2右侧，符合标注正确的条件，无需调整位置。
【解析】
第一步：标注剩余有理数：根据数轴刻度，在原点位置标注有理数0，原点左侧第3个整数刻度处标注有理数-3，原点右侧第2个整数刻度处标注有理数2，至此5个实数全部在数轴上标注完毕。
第二步：比较大小：根据数轴的性质：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，观察数轴上各点从左到右的顺序，依次写出各数并用小于号连接。
【答案】
在数轴的对应整数刻度位置分别标注出有理数$-3$、$0$、$2$，将所有5个实数全部在数轴上标注完毕。
根据数轴上的点表示的数，右边的数总大于左边的数，可得大小关系：
$-π ＜ -3 ＜ 0 ＜ 2 ＜ \sqrt{8}$
【知识点】
实数与数轴的对应；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，考查数轴的基本应用和实数的大小比较规则，解题的关键是掌握数轴上数的大小规律，具备基础的无理数估算能力，细心作答即可得分。
【难度系数】
0.8
