登录
23. (11分)材料1:因为无理数是无限不循环小数,所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来.比如π、$\sqrt{2}$等,常用“…”或者“≈”来表示.
材料2:2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以看成是2.5-2得来的.
材料3:任何一个无理数,都夹在两个相邻的整数之间,如$2＜\sqrt{5}＜3$,是因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$.
根据上述材料,回答下列问题:
(1)$\sqrt{23}$的整数部分是,小数部分是.
(2)$9+\sqrt{3}$也是夹在相邻两个整数之间的,可以表示为$a＜9+\sqrt{3}＜b$,求$a+b$的值.
(3)若$\sqrt{30}-2=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,请求出$2x-y$的相反数.
材料2:2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以看成是2.5-2得来的.
材料3:任何一个无理数,都夹在两个相邻的整数之间,如$2＜\sqrt{5}＜3$,是因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$.
根据上述材料,回答下列问题:
(1)$\sqrt{23}$的整数部分是,小数部分是.
(2)$9+\sqrt{3}$也是夹在相邻两个整数之间的,可以表示为$a＜9+\sqrt{3}＜b$,求$a+b$的值.
(3)若$\sqrt{30}-2=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,请求出$2x-y$的相反数.
答案
解：
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，
所以$\sqrt{23}$的整数部分是$\boldsymbol{4}$，小数部分是$\boldsymbol{\sqrt{23}-4}$。
(2) 因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$9+1＜9+\sqrt{3}＜9+2$，即$10＜9+\sqrt{3}＜11$，
可得$a=10$，$b=11$，
$a+b=10+11=21$。
(3) 因为$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，
所以$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，即$3＜\sqrt{30}-2＜4$。
由$x$是整数，$0＜y＜1$，$\sqrt{30}-2=x+y$，
得$x=3$，$y=\sqrt{30}-2-3=\sqrt{30}-5$，
则$2x-y=2×3 - (\sqrt{30}-5)=11-\sqrt{30}$，
所以$2x-y$的相反数为$\sqrt{30}-11$。
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，
所以$\sqrt{23}$的整数部分是$\boldsymbol{4}$，小数部分是$\boldsymbol{\sqrt{23}-4}$。
(2) 因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$9+1＜9+\sqrt{3}＜9+2$，即$10＜9+\sqrt{3}＜11$，
可得$a=10$，$b=11$，
$a+b=10+11=21$。
(3) 因为$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，
所以$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，即$3＜\sqrt{30}-2＜4$。
由$x$是整数，$0＜y＜1$，$\sqrt{30}-2=x+y$，
得$x=3$，$y=\sqrt{30}-2-3=\sqrt{30}-5$，
则$2x-y=2×3 - (\sqrt{30}-5)=11-\sqrt{30}$，
所以$2x-y$的相反数为$\sqrt{30}-11$。
解析
【分析】
本题解题核心是通过找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，再结合题目要求完成计算：
(1) 要确定$\sqrt{23}$的整数和小数部分，先找到比23小、比23大的最近的完全平方数16、25，得到$\sqrt{23}$的范围，整数部分就是范围里较小的整数，小数部分=无理数本身-整数部分；
(2) 先估算$\sqrt{3}$的范围，给不等式各部分加9即可得到$9+\sqrt{3}$的范围，确定$a$、$b$的值后计算和即可；
(3) 先估算$\sqrt{30}$的范围，各部分减2得到$\sqrt{30}-2$的范围，根据$x$是整数、$0＜y＜1$的条件确定$x$、$y$的值，计算出$2x-y$后再求它的相反数。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，
所以$\sqrt{23}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{23}-4$。
(2) 因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$9+1＜9+\sqrt{3}＜9+2$，即$10＜9+\sqrt{3}＜11$，
可得$a=10$，$b=11$，
$a+b=10+11=21$。
(3) 因为$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，
所以$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，即$3＜\sqrt{30}-2＜4$。
由$x$是整数，$0＜y＜1$，$\sqrt{30}-2=x+y$，
得$x=3$，$y=\sqrt{30}-2-3=\sqrt{30}-5$，
则$2x-y=2×3 - (\sqrt{30}-5)=11-\sqrt{30}$，
所以$2x-y$的相反数为$-(11-\sqrt{30})=\sqrt{30}-11$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{23}-4$；(2) $21$；(3) $\sqrt{30}-11$
【知识点】
估算无理数的大小，实数的运算，相反数的概念
【点评】
本题依托材料引导学生掌握无理数估算的方法，考查学生读取材料信息、运用规律解决问题的能力，解题关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数确定无理数的范围。
【难度系数】
0.75
本题解题核心是通过找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，再结合题目要求完成计算：
(1) 要确定$\sqrt{23}$的整数和小数部分，先找到比23小、比23大的最近的完全平方数16、25，得到$\sqrt{23}$的范围，整数部分就是范围里较小的整数，小数部分=无理数本身-整数部分；
(2) 先估算$\sqrt{3}$的范围，给不等式各部分加9即可得到$9+\sqrt{3}$的范围，确定$a$、$b$的值后计算和即可；
(3) 先估算$\sqrt{30}$的范围，各部分减2得到$\sqrt{30}-2$的范围，根据$x$是整数、$0＜y＜1$的条件确定$x$、$y$的值，计算出$2x-y$后再求它的相反数。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，
所以$\sqrt{23}$的整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{23}-4$。
(2) 因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，
所以$9+1＜9+\sqrt{3}＜9+2$，即$10＜9+\sqrt{3}＜11$，
可得$a=10$，$b=11$，
$a+b=10+11=21$。
(3) 因为$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$，
所以$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，即$3＜\sqrt{30}-2＜4$。
由$x$是整数，$0＜y＜1$，$\sqrt{30}-2=x+y$，
得$x=3$，$y=\sqrt{30}-2-3=\sqrt{30}-5$，
则$2x-y=2×3 - (\sqrt{30}-5)=11-\sqrt{30}$，
所以$2x-y$的相反数为$-(11-\sqrt{30})=\sqrt{30}-11$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{23}-4$；(2) $21$；(3) $\sqrt{30}-11$
【知识点】
估算无理数的大小，实数的运算，相反数的概念
【点评】
本题依托材料引导学生掌握无理数估算的方法，考查学生读取材料信息、运用规律解决问题的能力，解题关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数确定无理数的范围。
【难度系数】
0.75
