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19. (9分)已知$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根. 求$M-N$的值的平方根.
答案
解：
∵ $M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
∴ $m-4=2$，
解得 $m=6$。
∵ $N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
∴ $2m-4n+3=3$，
将$m=6$代入上式，得：
$2×6 -4n +3=3$，
解得 $n=3$。
∴ $M=\sqrt{m+3}=\sqrt{6+3}=3$，
$N=\sqrt[3]{n-2}=\sqrt[3]{3-2}=1$，
∴ $M-N=3-1=2$，
∴ $M-N$的值的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
∵ $M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
∴ $m-4=2$，
解得 $m=6$。
∵ $N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
∴ $2m-4n+3=3$，
将$m=6$代入上式，得：
$2×6 -4n +3=3$，
解得 $n=3$。
∴ $M=\sqrt{m+3}=\sqrt{6+3}=3$，
$N=\sqrt[3]{n-2}=\sqrt[3]{3-2}=1$，
∴ $M-N=3-1=2$，
∴ $M-N$的值的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时从根式的定义入手推导：首先，算术平方根的根指数固定为2，因此M的根指数表达式$m-4$的值等于2，可先求出m的值；其次，立方根的根指数固定为3，因此N的根指数表达式$2m-4n+3$的值等于3，将已求出的m代入就能解出n的值；最后把m、n分别代入M、N的表达式算出对应数值，计算$M-N$的差后，再根据平方根的定义求出这个差的平方根即可，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
∴ $m-4=2$，
解得 $m=6$。
∵ $N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
∴ $2m-4n+3=3$，
将$m=6$代入上式，得：
$2×6 -4n +3=3$，
解得 $n=3$。
∴ $M=\sqrt{m+3}=\sqrt{6+3}=3$，
$N=\sqrt[3]{n-2}=\sqrt[3]{3-2}=1$，
∴ $M-N=3-1=2$，
∴ $M-N$的值的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 立方根的定义
3. 平方根的运算
【点评】
本题是根式概念的综合基础题，解题关键是抓住不同类型根式的根指数特征列方程求解未知参数，需要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
解题时从根式的定义入手推导：首先，算术平方根的根指数固定为2，因此M的根指数表达式$m-4$的值等于2，可先求出m的值；其次，立方根的根指数固定为3，因此N的根指数表达式$2m-4n+3$的值等于3，将已求出的m代入就能解出n的值；最后把m、n分别代入M、N的表达式算出对应数值，计算$M-N$的差后，再根据平方根的定义求出这个差的平方根即可，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
∴ $m-4=2$，
解得 $m=6$。
∵ $N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
∴ $2m-4n+3=3$，
将$m=6$代入上式，得：
$2×6 -4n +3=3$，
解得 $n=3$。
∴ $M=\sqrt{m+3}=\sqrt{6+3}=3$，
$N=\sqrt[3]{n-2}=\sqrt[3]{3-2}=1$，
∴ $M-N=3-1=2$，
∴ $M-N$的值的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 立方根的定义
3. 平方根的运算
【点评】
本题是根式概念的综合基础题，解题关键是抓住不同类型根式的根指数特征列方程求解未知参数，需要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
20. (9分)某小区为了促进全民健身活动的开展,决定在一块面积约为$1000\ \mathrm{m}^2$的正方形空地上建一个篮球场.已知篮球场的面积为$420\ \mathrm{m}^2$,其中长是宽的$\dfrac{28}{15}$倍,篮球场的四周必须留出1 m宽的空地,请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场.
答案
解：
设篮球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \dfrac{28}{15}x \, \mathrm{m} $。
根据题意，得：
$x · \dfrac{28}{15}x = 420$
整理得：
$x^2 = 225$
因为$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{225} = 15 $。
则篮球场的长为$ \dfrac{28}{15} × 15 = 28 \, \mathrm{m} $。
篮球场四周留出1m宽的空地后，所需场地的长为$ 28 + 2×1 = 30 \, \mathrm{m} $，宽为$ 15 + 2×1 = 17 \, \mathrm{m} $。
已知正方形空地的面积为$ 1000 \, \mathrm{m}^2 $，因此该正方形空地的边长为$ \sqrt{1000} \, \mathrm{m} $。
因为$ 30^2 = 900 ＜ 1000 $，所以$ \sqrt{1000} ＞ 30 $，即正方形空地的边长大于30m，满足场地尺寸要求。
答：能按规定在这块空地上建一个篮球场。
设篮球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \dfrac{28}{15}x \, \mathrm{m} $。
根据题意，得：
$x · \dfrac{28}{15}x = 420$
整理得：
$x^2 = 225$
因为$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{225} = 15 $。
则篮球场的长为$ \dfrac{28}{15} × 15 = 28 \, \mathrm{m} $。
篮球场四周留出1m宽的空地后，所需场地的长为$ 28 + 2×1 = 30 \, \mathrm{m} $，宽为$ 15 + 2×1 = 17 \, \mathrm{m} $。
已知正方形空地的面积为$ 1000 \, \mathrm{m}^2 $，因此该正方形空地的边长为$ \sqrt{1000} \, \mathrm{m} $。
因为$ 30^2 = 900 ＜ 1000 $，所以$ \sqrt{1000} ＞ 30 $，即正方形空地的边长大于30m，满足场地尺寸要求。
答：能按规定在这块空地上建一个篮球场。
解析
【分析】
要判断能否按要求修建篮球场，核心是比较“包含篮球场及四周1m空地的长方形的最大边长”和“正方形空地的边长”的大小。解题思路如下：①先根据篮球场的面积、长宽的倍数关系，设未知数列方程求出篮球场的长和宽；②四周各留1m空地，因此长和宽都需要加2m，得到所需场地的长和宽，取较大的边长作为修建需要的最小边长；③计算正方形空地的边长，和上一步的较大边长比较，若空地边长更大则可修建，反之不能。
【解析】
设篮球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \dfrac{28}{15}x \, \mathrm{m} $。
根据题意（篮球场面积为$420\ \mathrm{m}^2$），列方程得：
$x · \dfrac{28}{15}x = 420$
整理得：$x^2 = 225$
因为边长为正数，即$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{225} = 15 $。
则篮球场的长为：$\dfrac{28}{15} × 15 = 28 \, \mathrm{m} $。
四周留出1m宽的空地后，所需场地的长为$28 + 2×1 = 30 \, \mathrm{m} $，宽为$15 + 2×1 = 17 \, \mathrm{m} $。
已知正方形空地的面积为$1000\ \mathrm{m}^2$，因此该正方形空地的边长为$ \sqrt{1000} \, \mathrm{m} $。
因为$ 30^2 = 900 ＜ 1000 $，所以$ \sqrt{1000} ＞ 30 $，即正方形空地的边长大于所需场地的最大边长30m，满足修建要求。
【答案】
能按规定在这块空地上建一个篮球场。
【知识点】
一元二次方程应用，算术平方根计算，实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查实际问题解决能力，解题关键是理清各尺寸的关系，尤其注意四周预留空地时长和宽都需要加2m，再通过实数大小比较得出结论，侧重对基础知识运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
要判断能否按要求修建篮球场，核心是比较“包含篮球场及四周1m空地的长方形的最大边长”和“正方形空地的边长”的大小。解题思路如下：①先根据篮球场的面积、长宽的倍数关系，设未知数列方程求出篮球场的长和宽；②四周各留1m空地，因此长和宽都需要加2m，得到所需场地的长和宽，取较大的边长作为修建需要的最小边长；③计算正方形空地的边长，和上一步的较大边长比较，若空地边长更大则可修建，反之不能。
【解析】
设篮球场的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ \dfrac{28}{15}x \, \mathrm{m} $。
根据题意（篮球场面积为$420\ \mathrm{m}^2$），列方程得：
$x · \dfrac{28}{15}x = 420$
整理得：$x^2 = 225$
因为边长为正数，即$ x＞0 $，所以$ x = \sqrt{225} = 15 $。
则篮球场的长为：$\dfrac{28}{15} × 15 = 28 \, \mathrm{m} $。
四周留出1m宽的空地后，所需场地的长为$28 + 2×1 = 30 \, \mathrm{m} $，宽为$15 + 2×1 = 17 \, \mathrm{m} $。
已知正方形空地的面积为$1000\ \mathrm{m}^2$，因此该正方形空地的边长为$ \sqrt{1000} \, \mathrm{m} $。
因为$ 30^2 = 900 ＜ 1000 $，所以$ \sqrt{1000} ＞ 30 $，即正方形空地的边长大于所需场地的最大边长30m，满足修建要求。
【答案】
能按规定在这块空地上建一个篮球场。
【知识点】
一元二次方程应用，算术平方根计算，实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查实际问题解决能力，解题关键是理清各尺寸的关系，尤其注意四周预留空地时长和宽都需要加2m，再通过实数大小比较得出结论，侧重对基础知识运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
