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17. (9分)求下列各式中$x$的值：
(1) $(x-1)^2 -9=0$；
(2) $27+(1-2x)^3=0$。
(1) $(x-1)^2 -9=0$；
(2) $27+(1-2x)^3=0$。
答案
解：
(1) 移项，得$(x-1)^2 = 9$，
由平方根的定义，得$x-1 = \pm 3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
所以$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 移项，得$(1-2x)^3 = -27$，
由立方根的定义，得$1-2x = -3$，
移项整理，得$-2x = -4$，
解得$x=2$。
(1) 移项，得$(x-1)^2 = 9$，
由平方根的定义，得$x-1 = \pm 3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
所以$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 移项，得$(1-2x)^3 = -27$，
由立方根的定义，得$1-2x = -3$，
移项整理，得$-2x = -4$，
解得$x=2$。
解析
【分析】
本题分为两个小问，分别对应平方根和立方根的求解。解题时先通过移项，将含x的幂形式单独放在等式左侧，常数项移到右侧，再根据平方根、立方根的定义降次转化为一元一次方程求解。需注意：正数的平方根有2个，互为相反数，求解第一问时不要漏解；任意实数的立方根只有1个，第二问直接求解即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x-1)^2 = 9$，
由平方根的定义，得$x-1 = \pm 3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
所以$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 移项，得$(1-2x)^3 = -27$，
由立方根的定义，得$1-2x = -3$，
移项整理，得$-2x = -4$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-2$；(2) $x=2$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方根与立方根的性质差异，解题时需注意正数开平方有两个结果，不要漏解，开立方只有唯一结果，按照运算规则逐步计算即可。
【难度系数】
0.85
本题分为两个小问，分别对应平方根和立方根的求解。解题时先通过移项，将含x的幂形式单独放在等式左侧，常数项移到右侧，再根据平方根、立方根的定义降次转化为一元一次方程求解。需注意：正数的平方根有2个，互为相反数，求解第一问时不要漏解；任意实数的立方根只有1个，第二问直接求解即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x-1)^2 = 9$，
由平方根的定义，得$x-1 = \pm 3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
所以$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 移项，得$(1-2x)^3 = -27$，
由立方根的定义，得$1-2x = -3$，
移项整理，得$-2x = -4$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=-2$；(2) $x=2$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查平方根与立方根的性质差异，解题时需注意正数开平方有两个结果，不要漏解，开立方只有唯一结果，按照运算规则逐步计算即可。
【难度系数】
0.85
18. (9分)甲同学用如图4所示方法作出C点,表示数$\sqrt{13}$,在$△ OAB$中,$∠ OAB = 90°$,OA=2,AB=3,且点O、A、C在同一数轴上,OB=OC.
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法,在图5所给数轴上描出表示$-\sqrt{29}$的点A.
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法,在图5所给数轴上描出表示$-\sqrt{29}$的点A.
答案
解：(1) 在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，
由勾股定理得：$OB^2 = OA^2 + AB^2$，
$\because OA=2$，$AB=3$，
$\therefore OB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，
$\therefore OB=\sqrt{13}$，
又$\because OB=OC$，
$\therefore OC=\sqrt{13}$，
$\because$ 点$O$、$A$、$C$在同一数轴上，点$O$为数轴原点，点$C$在原点右侧，
$\therefore$ 点$C$表示的数就是$\sqrt{13}$。
(2) 作图步骤：
① 在数轴原点$O$左侧取点$M$，使$OM=2$，过点$M$作数轴的垂线；
② 在垂线上截取长度为5的线段$MB$，连接$OB$，由勾股定理得$OB=\sqrt{OM^2 + MB^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$；
③ 以点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，交数轴负半轴于点$A$，该点即为表示$-\sqrt{29}$的点。
（注：最终得到的点$A$位于数轴上$-6$和$-5$之间，距离原点长度为$\sqrt{29}$）
由勾股定理得：$OB^2 = OA^2 + AB^2$，
$\because OA=2$，$AB=3$，
$\therefore OB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，
$\therefore OB=\sqrt{13}$，
又$\because OB=OC$，
$\therefore OC=\sqrt{13}$，
$\because$ 点$O$、$A$、$C$在同一数轴上，点$O$为数轴原点，点$C$在原点右侧，
$\therefore$ 点$C$表示的数就是$\sqrt{13}$。
(2) 作图步骤：
① 在数轴原点$O$左侧取点$M$，使$OM=2$，过点$M$作数轴的垂线；
② 在垂线上截取长度为5的线段$MB$，连接$OB$，由勾股定理得$OB=\sqrt{OM^2 + MB^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$；
③ 以点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，交数轴负半轴于点$A$，该点即为表示$-\sqrt{29}$的点。
（注：最终得到的点$A$位于数轴上$-6$和$-5$之间，距离原点长度为$\sqrt{29}$）
解析
【分析】
(1) 要说明点C表示$\sqrt{13}$，首先观察到$△ OAB$是直角三角形，已知两条直角边长度，优先用勾股定理求出斜边OB的长度；再结合$OB=OC$的条件得到OC的长度，最后根据C在数轴正半轴、O为原点，即可推出点C对应的数。
(2) 要表示$-\sqrt{29}$，首先需要构造长度为$\sqrt{29}$的线段：将29拆为两个正整数的平方和$29=2^2+5^2$，因此可作直角边为2和5的直角三角形，斜边即为$\sqrt{29}$；再以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴负半轴的交点就是所求的点。
【解析】
(1) 在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，
由勾股定理得：$OB^2 = OA^2 + AB^2$，
$\because OA=2$，$AB=3$，
$\therefore OB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，
$\therefore OB=\sqrt{13}$，
又$\because OB=OC$，
$\therefore OC=\sqrt{13}$，
$\because$ 点$O$、$A$、$C$在同一数轴上，点$O$为数轴原点，点$C$在原点右侧，
$\therefore$ 点$C$表示的数就是$\sqrt{13}$。
(2) 作图步骤：
① 在数轴原点$O$左侧取点$M$，使$OM=2$，过点$M$作数轴的垂线；
② 在垂线上截取长度为5的线段$MB$，连接$OB$，由勾股定理得$OB=\sqrt{OM^2 + MB^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$；
③ 以点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，交数轴负半轴于点$A$，该点即为表示$-\sqrt{29}$的点。
（注：最终得到的点$A$位于数轴上$-6$和$-5$之间，距离原点长度为$\sqrt{29}$）
【答案】
(1) 理由见上述解析；
(2) 作图方法见上述解析，点A在数轴-6和-5之间。
【知识点】
勾股定理、实数与数轴的对应、无理数尺规作图
【点评】
本题重点考查勾股定理的应用以及在数轴上表示无理数的方法，解题核心是将无理数转化为直角三角形的斜边长度，再通过圆规等长转化对应到数轴上，既考查了定理计算能力，也锻炼了几何实操作图能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要说明点C表示$\sqrt{13}$，首先观察到$△ OAB$是直角三角形，已知两条直角边长度，优先用勾股定理求出斜边OB的长度；再结合$OB=OC$的条件得到OC的长度，最后根据C在数轴正半轴、O为原点，即可推出点C对应的数。
(2) 要表示$-\sqrt{29}$，首先需要构造长度为$\sqrt{29}$的线段：将29拆为两个正整数的平方和$29=2^2+5^2$，因此可作直角边为2和5的直角三角形，斜边即为$\sqrt{29}$；再以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴负半轴的交点就是所求的点。
【解析】
(1) 在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，
由勾股定理得：$OB^2 = OA^2 + AB^2$，
$\because OA=2$，$AB=3$，
$\therefore OB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，
$\therefore OB=\sqrt{13}$，
又$\because OB=OC$，
$\therefore OC=\sqrt{13}$，
$\because$ 点$O$、$A$、$C$在同一数轴上，点$O$为数轴原点，点$C$在原点右侧，
$\therefore$ 点$C$表示的数就是$\sqrt{13}$。
(2) 作图步骤：
① 在数轴原点$O$左侧取点$M$，使$OM=2$，过点$M$作数轴的垂线；
② 在垂线上截取长度为5的线段$MB$，连接$OB$，由勾股定理得$OB=\sqrt{OM^2 + MB^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$；
③ 以点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，交数轴负半轴于点$A$，该点即为表示$-\sqrt{29}$的点。
（注：最终得到的点$A$位于数轴上$-6$和$-5$之间，距离原点长度为$\sqrt{29}$）
【答案】
(1) 理由见上述解析；
(2) 作图方法见上述解析，点A在数轴-6和-5之间。
【知识点】
勾股定理、实数与数轴的对应、无理数尺规作图
【点评】
本题重点考查勾股定理的应用以及在数轴上表示无理数的方法，解题核心是将无理数转化为直角三角形的斜边长度，再通过圆规等长转化对应到数轴上，既考查了定理计算能力，也锻炼了几何实操作图能力。
【难度系数】
0.7
